ВОПРОСЫ ТЕОРИИ. И ИННОВАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ. ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ. ГЕЛИОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ЭКСЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОТОКОВЫЙ ГРАФ СОЛНЕЧНО-ТЕПЛОНАСОСНЫХ СИСТЕМ С СЕЗОННЫМ АККУМУЛИРОВАНИЕМ

Под эксергетическим потоковым графом СТНССА про­извольной структуры будем понимать граф Е = (А, Г) = (A, U), множество А = {а1, а2, ..., ак, ..., аК} вершин которого соответствует отдельным элементам СТНССА, множество дуг U = {ak, аг}, k Ф 1; к = 1, 2, ..., К; 1 = 1, 2, ..., К соответ­ствует распределению эксергетических потоков в системе, а Г представляет собой многозначное отображение множе­ства А в себя.

Обозначение дуг U. = {ak, at} упорядоченной парой вер­шин ak, аг означает, что поток эксергии направлен от вер­шины ak к вершине а1 (в моделируемой СТНССА от элемен­та ak к элементу аг).

Описание эксергетического потокового графа Е = (А, Г) с помощью соответствия Г позволяет указать множество вер­шин (элементов), непосредственно связанных эксергетиче - скими потоками с рассматриваемой вершиной (элементом).

Запись Г(а.) = Ф означает, что из вершины а. не выходит ни одна дуга, т. е. нет потока эксергии, выходящего из дан­ного элемента.

Иногда удобным оказывается использование обратного отображения, обозначаемого Г_1(а() и представляющего со­бой множество вершин, из которых эксергия поступает не­посредственно в вершину а..

Если отображение действует на множество вершин А = {av а2, ..., aq}, то под Г(А?) понимают объединение Г(А?) = ГЮ и Г(а2) и... и Г(а?).

Отображение Г(Г(а;)) записывается как Г2 (а.).

Пусть в эксергетическом потоковом графе Е = (A, U) по­следовательность дуг такова, что конец каждой предыду­щей дуги (за исключением последней) совпадает с началом последующей. Таким образом, понятию пути в эксергети­ческом графе Е = (A, U) отвечает реальная последователь­ность эксергетических превращений эксергетического по­тока по дугам рассматриваемого пути.

Путь является простым, если каждая из дуг в нем используется не более одного раза. Это означает, что номера эксергетических потоков в простых путях не повторяются.

Путь считается элементарным, если каждая вершина в этом пути встречается не более одного раза. Это означа­ет, что если все пути в эксергетическом потоковом графе Е = (A, U) элементарные, то такой граф описывает СТНССА ациклической структуры. Следовательно, любой элемен­тарный путь является простым. Обратное утверждение в общем случае неверно.

Путь U = {и1, и2,..., ир} называется замкнутым, если на­чальная вершина дуги иг совпадает с конечной вершиной дуги ир. Следовательно, замкнутый путь в эксергетическом потоковом графе Е = (A, U) отвечает некоторому рециклу эксергии в рассматриваемой СТНССА.

Контуром называется простой замкнутый путь. Это означает, что эксергетический поток, выходящий из неко­торого элемента и проходящий последовательность других (без повторений) элементов СТНССА, вновь возвращается в исходный элемент.

Контур, проходящий через все вершины графа, называ­ется гамильтоновым. Не все графы обладают гамильтоно­вым контуром.

Дуги и = (аг, ак), аг Ф ак являются смежными, если они имеют хотя бы одну общую концевую вершину.

Следовательно, эксергетические потоки по смежным дугам графа обязательно включаются в эксергетический баланс элемента, отвечающего общей вершине этих дуг.

Вершины аг и ак называются смежными, если граф со­держит хотя бы одну из дуг (аг, ак) или (ак, аг). Это означает, что изменение параметров в элементе, отвечающем началь­ной вершине дуги, вызывает изменение эксергетического потока по этой дуге и, следовательно, изменение параме­тров в смежной вершине (элементе).

Число дуг d0(at) = Г(аг) выходящих из вершины аг, на­зывается полустепенью исхода вершины аг, а число дуг dt{at) = Г-1(аг), входящих в вершину аг, называется полусте­пенью захода вершины аг

Таким образом, число <і0(аг) отражает количество экс - ергетических потоков, выходящих из элементов СТНССА, а число dt(at) - входящих в этот элемент (для вершины аг).

Подграфом Ё=(А, й) графа Е = (A, U) называется граф, для которого Ас А, и си • При эксерготопологическом мо­делировании подграфы эксергетических потоковых гра­фов отвечают некоторым подсистемам СТНССА.

Эксергетических потоковый граф представим в ма­тричной форме. Матрицей смежности эксергетического потокового графа Е = (A, U), А = {аг, а2, ..., аг..., ат} яв­ляется матрица размером тхт, элементы которой отвеча­ют условиям: т[Л = i,f(a[,ak)eU, т. е. вершины аг и ah связаны непосредственно эксергетическим потоком (дугой av ak); m“ =о, v(a„ak)eu f если такой связи нет [23].

Матрица смежности полностью определяет структу­ру графа, а следовательно, и структуру моделируемой СТНССА. Множество столбцов, имеющих единицу в строке av есть Г(аг), т. е. это множество таких элементов СТНССА, которые получают эксергию непосредственно из элемента аг Множество строк, имеющих единицу в столбце аг есть Г "На,), т. е. это множество таких элементов СГСМ, из кото­рых эксергия поступает непосредственно в элемент.

При возведении матрицы смежности в степень р эле­мент полученной матрицы равен числу путей длиной р, идущих от at к ah.

Матрицей инциденций эксергетического потокового графа Е(А, U), U = {uv и2, ..., .... ип} является матрица

размером тхп, элементы которой отвечают условиям:

/Пу = 1, если at является конечной вершиной дуги и., т. е. ]-й эксергетический поток входит в 1-й элемент СТНССА;

/Пу = -1, если а1 является начальной вершиной дуги и., т. е. /-й эксергетический поток выходит из 1-го элемента СТНССА;

/Пу = 0, если аг не является ни начальной, ни конечной вершиной дуги и., т. е. /'-й эксергетический поток и 1-й эле­мент не связаны.

Матрицей достижимостей эксергетического потокового графа Е = (А, Г) называется матрица размером тхт, эле­менты которой отвечают условиям:

р

mik = 1, Va* e^ljr^a,;

P=1

P

mlh= 0, Vafe gadjr^a,.

p=i

Таким образом, единицы в рассматриваемой строке а2 матрицы достижимостей отвечают тем столбцам (элемен­там), через которые проходит эксергетический поток из вершины аг

Матрицей циклов эксергетического потокового графа Е = (A, U) называется матрица размером nxR (где R - число циклов графа), элементы которой отвечают условиям:

mjr =i> vujeUr, если ориентации дуги и цикла совпадают, т. е. /-й эксергетический поток направлен по ориентации r-го цикла;

mjr =-1, Vu, j eUr, если ориентации дуги и цикла противо­положны, т. е. /-й эксергетический поток направлен против ориентации г-го цикла;

mjr =0, Vm; є Uг , если дуга не входит в цикл, т. е. если /-й эксергетический поток не включается в г-й цикл.

Здесь Uт — множество дуг графа, входящих в r-й цикл. Положительной считается ориентация циклов по ходу ча­совой стрелки.

Рассмотрим подробно наиболее важные свойства эксер­гетического потокового графа Е = (А, Г).

Свойство 1. Эксергетический потоковый граф Е = (А, Г) является связным. Это и последующие свойства докажем методом от противного.

Доказательство. Допустим, что свойство 1 неверно и за* є а такое, что Г(й^) = 0 и r_1(aft) = 0. Следовательно, изме­нение параметров в элементе ak не влияло бы на поведение СТНССА в целом. Тогда по определению СТНССА ak * А, но

CLj, Є ^ о

по допущению h. Это противоречие доказывает свой­ство 1.

Применительно к реальной СТНССА связность графа Е = (А, Г) означает наличие потоковой связи каждого из элементов СТНССА по крайней мере с одним из остальных элементов.

Свойство 2. Эксергетический потоковый граф Е = (А, Г) является ориентированным:

(Vak є А, Ущ є А) => (а*, аг) ± (ог, а*) ^

Доказательство. Допустим, что свойство 2 неверно и
(Va* є A, Voj є А)=>(а*,аг) = (аг, а*) ^

Тогда очередность следования таких элементов без­различна, и любые последовательности из заданного мно­жества элементов (определяющие технологию процесса) должны быть равноправны, что невозможно.

Свойство 3. Эксергетический потоковый граф Е = (А, Г) СТНССА произвольной структуры антисимметрический:

(За* є А,3аг є А),(а*,аг)єї7 =>(аг, а*)гї/ ^

Доказательство. Допустим, что свойство 3 неверно и
(За* єА, ЗагєА),(а*,аг)єї/=>(аг, а*)єї7 ^

Тогда каждая пара элементов (вершин) связана реци­кл ическими потоками, что соответствует частному, а не общему случаю структуры СТНССА.

Свойство 4. Эксергетический потоковый граф Е = (А, Г) в общем случае не сильно связный, т. е.

(За* є A)f* ^ А,

где Г* - транзитивное замыкание.

ҐА =Гak иГ2аА и...иГ"ал.

Доказательство. Аналогично доказательству свойства 3.

Свойство 5. Потери эксергии в произвольной вершине ak эксергетического потокового графа Е = (A, U), определя­ются алгебраической суммой его дуг, отрицательно и поло­жительно инцидентных рассматриваемой вершине ak:Hk =

и~ - и+.

Доказательство. Допустим, что свойство 5 неверно: п** U — U+. Тогда суммарные потери эксергии не равны разности эксергий входящих в элемент и выходящих из него потоков, что противоречит понятию эксергетического баланса элемента. Полученное противоречие доказывает свойство 5.

Свойство 6. Эксергетичеекий потоковый граф Е = (А, Г) обладает обобщенностью свойств относительно существую­щих типов потоковых графов.

Доказательство. Допустим, что свойство 6 неверно и существует некоторый потоковый граф Е* = (А, Г), вклю­чающий в себя как частный случай граф Е = (А, Г) (напом­ним, что речь идет о термодинамических характеристи­ках, экономические факторы будут рассмотрены далее). Тогда потоки по дугам в графах Е* = (А, Г) и Е = (А, Г), должны различаться хотя бы одним термодинамическим параметром, изменение которого не влияет на эксергию потока (иначе он бы учитывался графом Е = (А, Г)). Но та­кого термодинамического параметра не существует, так как эксергия учитывает изменения всех термодинамиче­ских параметров. Полученное противоречие доказывает свойство 6.

Обобщенность характеристик эксергетического потоко­вого графа дает возможность избавиться от многотипности моделей графотопологического анализа СТНССА и ввести единый эксерготопологичеекий подход в исследовании СТНССА.

Существующие типы потоковых графов представлены материальными, тепловыми и параметрическими пото­ковыми графами, вершины которых отвечают элементам СТНССА, изменяющим соответствующую характеристику системы (материальный либо тепловой поток, некоторые параметры и т. п.), а дуги отвечают соответствующим по­токам (тепловым, материальным, параметрическим). Для достаточно полного описания свойств рассматриваемой СТНССА необходимо построение и совместное рассмотре­ние потоковых графов всех трех типов, что для сложных систем представляет трудоемкую задачу. Необходимость совместного рассмотрения этих графов вытекает из того, что каждый из них описывает только одну из особенно­стей многофакторного процесса в СТНССА и не дает пол­ного представления о функционировании СТНССА в целом. Кроме того, если какой-либо из параметров не будет учтен, то при построении соответствующего потокового графа воз­можна даже потеря отдельных элементов СТНССА.

В отличие от материальных, тепловых и параметриче­ских потоковых графов эксергетический потоковый граф с точностью до изоморфизма соответствует схеме рассматри­ваемой СТНССА, что в известной мере гарантирует учет всех основных параметров функционирования СТНССА.

Различными являются также уравнения вершин для эксергетического потокового, а также для материального и теплового потоковых графов.

Для материального и теплового потоковых графов в силу закона сохранения массы и энергии справедливо

К' ~иГ-0;

Щ - - иг =0,

где и?+, иг, и™~, Щ~ - множества дуг соответственно ма­териального и теплового графов, положительно и отрица­тельно инцидентных k-й вершине.

Вершины эксергетического потокового графа описыва­ются уравнением (2.48), что свидетельствует об отсутствии сохранения эксергии (о наличии потерь эксергии) в реаль­ных процессах.