ВИБРАЦИОННЫЕ ПЛОТНОМЕРЫ

Уравнения шкалы вибрационных плотномеров

Градуировочные характеристики вибрационных плотномеров с раз­личными типами механических резонаторов, выражаемые соотноше­ниями (2.7), (2.19) и (2.25), учитывают влияние ряда факторов На частоту автоколебаний резонаторов. * Поскольку основным парамет­ром, подлежащим измерению, является плотность жидкости, то целе­сообразно упростить эти соотношения, отбросив факторы, учитываю­щие изменение условий измерения (скорость среды, растягивающие усилия, действующие на резонатор). Действие же этих факторов удоб­но рассмотреть отдельно, оценивая значения дополнительных погреш­ностей. Запишем упрощенное выражение градуировочной характерис­тики в общем виде, пригодном для описания статики вибрационного плотномера с любым типом резонатора.

Поскольку более точным и быстрым является режим измерения не частоты, а периода колебаний резонатора, то запишем градуировоч­ную характеристику относительно периода Т колебаний

Т = Т0 sTl + aop'. (2.26)

Входящие в это выражение начальный период Т0 колебаний и по­стоянная а0 резонатора определяются из нижеследующих выражений.

Для круглопластинного погружного резонатора, если принять коэф­фициент Пуассона v =0,3, имеем

Г0 = (2,033a2/h0) fpJ~E', а0 = 0,2a/p0h0, где а и h0 — радиус и толщина пластины.

Для цилиндрического резонатора погружного типа с двухсторонним контактом жидкости при v =0,3-

Г0 = (3,3l2/alh0)y/p0/El а0 = 0,44а/p0h0,

где / — длина образующей цилиндра; а і — коэффициент, зависящий от условий закрепления торцов цилиндра и определяемый соотноше­нием (2.23).

Градуировочная характеристика плотномера может быть построена расчетным путем, если известны точные значения начального периода колебаний Т0 и постоянной а0 резонатора. Однако определение ука­занных параметров с высокой точностью расчетным путем не пред­ставляется возможным, поскольку разработчик не обладает досто­верными сведениями относительно модуля* упругости Е, плотности материала р0 и геометрических размерах резонатора. Так, толщина стенки резонатора не остается постоянной по длине после изготовле­ния, сборки и сварки. Конкретное значение начального периода Т0 во многом определяется коэффициентом аг, зависящим от условий закрепления резонатора в основаниях. На практике не представляет­ся возможным обеспечить идеальные условия закрепления, которые принимались при расчете, кроме того, они могут различаться даже вну­три партии резонаторов одного типа.

Точные значения параметров Т0 и а0 для уже изготовленного резо­натора находят экспериментально путем совместного решения систе­мы уравнений вида (2.26) с использованием результатов измерения периодов колебаний 7 и Т2 при двух фиксированных значениях плотностей Pi и р2 жидкостей и одной и той же температуре:

(Т2/Т1)2-1 Г,

а о - ----------------------------- ; 7о - — . (2.27)

Рг "Pi (T’z/T’j)2 V 1+ “ор/

На рис. 2.5 представлены градуировочные характеристики, постро­енные по формуле (2.26) для реальных образцов вибрационных плот-

Рис. 2.5. Градуировочные характерис­тики вибрационных плотномеров с круглопластинным (линия 1), трубча­тым (линия 2) и цилиндрическим (линия 3) резонаторами
номеров с различными типами механических резонаторов. Аналитичес­кая и графическая формы градуировочных характеристик вибрацион­ных плотномеров свидетельствуют об их существенной нелинейности в широком интервале контролируемых плотностей. Вместе с тем в большинстве случаев практического использования плотномеров тре­буется измерять малые отклонения плотности от некоторого началь­ного значения. Реальная градуировочная характеристика может быть линеаризована некоторой номинальной характеристикой, выбирае­мой из условия минимума возникающей погрешности линейности.

Градуировочная характеристика, представленная формулой (2.26), соответствует изотермическому режиму работы вибрационных плотно­меров, однако при отклонении температуры измеряемой среды от не­которого начального значения возникает существенная погрешность измерения, являющаяся следствием температурных изменений физи­ческих свойств и размеров резонаторов. Будем считать, что эти изме­нения соответствуют следующим равенствам:

Е = Е(в0) [1 — а£ (0 — ©о)]; / = / (©о) [1 +«;(©- ©о) ];

Ро = Ро(©оУ/[1 +0/(0- во)]3; Р=Р(©о)/П + <*у(в — ©о)],

в которых Е(&0)> Ро — модуль упругости, плотность ма­

териала и линейный размер резонатора при начальной температуре 0О (обычно 0О = 20 °С); р (©о) — плотность контролируемой среды при начальной температуре; аЕ и а/ — коэффициенты термоупругости и ли­нейного расширения материала резонатора; а у — коэффициент объем­ного расширения контролируемой жидкости.

Подставив эти соотношения в формулу (2.26), получим выраже­ние градуировочной характеристики вибрационных плотномеров, свя­зывающее их выходной сигнал как с плотностью, так и с температу­рой измеряемой среды:

(2.28)

В справочной литературе [46, 47], как правило, приводятся значе­ния температурных коэффициентов линейного и объемного расшире­ния различных веществ и значительно реже — коэффициента термоупру­гости аЕ материалов, хотя именно он и определяет практически всю температурную девиацию периода колебаний резонатора. Это обстоя­тельство вызывает необходимость практического определения темпе­ратурного коэффициента аЕ для конкретного материала резонатора, воспользовавшись справочными данными о коэффициентах ау и ау

Практически для определения аЕ можно заполнить резонатор, напри­мер, дистиллированной водой с плотностью р(0о) =998,2 кг/м3 при температуре 0О = 20 °С и измерить его выходной сигнал Т(Э0). За­тем, непрерывно пропуская воду, подогреть ее на А0 и вновь изме­рить период колебаний Г(0). Отыскав в справочнике значение плот­ности воды р (0) при температуре 0 = 0О + Д0, подставить в форму­лу (2.29) и сделать необходимые вычисления.

В практике промышленного использования плотномеров различ­ных сред встречаются две задачи, к первой из которых относится изме­рение плотности жидкостей, приведенной к некоторой постоянной температуре, например 20 °С (измерение приведенной плотности). Такие измерения необходимы при оценке качества сырья или продук­ции, когда температурные изменения плотности не должны искажать оценочные параметры. Задача же второго вида предусматривает изме­рение действительной плотности среды в конкретных рабочих усло­виях, что необходимо при создании систем количественного учета про­дукции по массе. Уравнение шкалы вибрационного плотномера, запи­санное формулой (2.30), соответствует режиму измерения приведен­ной плотности; при измерении же действительной плотности можно пользоваться той же формулой, положив в ней а у = 0.

Учитывая, что в реальных условиях плотномеры, как правило, ис­пользуют в узких интервалах возможных значений контролируемого параметра, а также при достаточно малых отклонениях температуры контролируемой среды от некоторого начального значения, целесооб­разно пользоваться упрощенной формулой уравнения шкалы прибо­ра, заменив выражение (2.30) его линейным приближением. Для это­го воспользуемся полным дифференциалом функции (2.30), считая его приближенным значением ее приращения где Гер — период колебаний резонатора в средней точке шкалы прибо­ра при ПЛОТНОСТИ контролируемой среды р(©0) =РСр.

Подставив выражения частных производных функции (2.30) по переменным Т и 0 в равенство (2.31), запишем упрощенный вид урав­нения шкалы вибрационных плотномеров

р(©о) = Р„ + Ст(Т - 7’н) - С0(0- 0О), (2.32)

где Ти - период колебаний резонатора в начальной точке шкалы при Р (©о) = Рн* Коэффициенты пропорциональности Ст (цена деления) и С@ (температурная поправка) выражаются формулами

Ст ~ (21аоТ0)у/1 + а0рср*;

С© = Рср(% + 2а, - ак) + (а£ - а,)/<?0.

На рис. 2.6 схематично показан вид реальной (линия 7) и номиналь­ной (линия 2) статических характеристик, построенных при постоян­ной температуре 0 = 0О по формулам (2.30) и (2.32) соответственно. Возникающая при линеаризации погрешность линейности номиналь­ной статической характеристики определяется разностью:

д„ = (.Т/Т0у -1]/До-рн-2(Г- ~ Тл)у/Г^КаоТоУ

Максимальное значение погрешности линейности соответствует точ­ке выбранного диапазона измерения (при р =рср) и ра^но

Дл. макс =_ [Рн + Pep + 2(i - ч/(1 + ДоРн)(1+ДоРСр))/ло]- (2.33)

Для уменьшения погрешности линейности можно выбрать в качест­ве номинальной статической характеристики секущую, параллельную хорде, описываемой формулой (2.32) при 0 =0О (линия 3). При этом в% начальной и конечной отметках шкалы появляются систематические погрешности, равные половине максимального значения погрешности

линейности (2.33). Практически у вибрационных плотномеров с диа­пазоном шкалы, например, 100 кг/м3 замена реальной статической характеристики линейной номинальной приводит к появлению систе­матической аддитивной погрешности линейности не более 0,1- 0,2 кг/м3. Недостаток рассмотренного способа линеаризации заклю­чается в том, что коэффициенты Су и С@ в формуле (2.32) не оста­ются постоянными в различных интервалах контролируемых плот­ностей, что приводит к необходимости индивидуальной настройки прибора на заданный диапазон измерения.

Значительно расширить диапазон контролируемых плотностей по­зволяет номинальная статическая характеристика, выражаемая в ви­де суммы плотности /?, определяемой без учета действия температу­ры, и температурной поправки

Воспользуемся линейным разложением по температуре 0 выраже­ния для температурной поправки Арф в окрестностях точки 0 = 0О, Т = 7£, в результате чего получим

Значения коэффициентов С и С2 можно определить эксперимен­тально, измерив периоды колебаний резонатора, заполняемого пооче­редно двумя жидкостями с известными плотностями при одной и той же температуре 0О. Значения коэффициентов С3 и С4 также можно найти экспериментально, непрерьюно пропуская через резонатор жид­кость и измеряя периоды его колебаний при двух значениях темпера­туры, отличных от 0О. При этом необходимо знать действительные зна­чения плотностей жидкости, соответствующие каждой из температур.

Следует заметить, что полученное уравнение (2.35) соответствует режиму измерения действительной плотности жидкости и пригодно для контроля любых сред, независимо от их индивидуальных свойств.

Для измерения же приведенной к начальной температуре в0 плот­ности среды можно воспользоваться тем же уравнением, изменив зна­чение коэффициента С3, который станет равным С3 = аЕ — 2а/ — а у. Кроме того, приведенную плотность жидкости легко определить по результатам измерения действительной плотности и известному зна­чению коэффициента объемного расширения а у:

Р(0 о) = Р П + ay(S— ©о)].