ВИБРАЦИОННЫЕ ПЛОТНОМЕРЫ

С трубчатым резонатором

Механический резонатор, схематично показанный на рис. 1.12, со­держит две колеблющиеся в противофазе ветви, которые будем счи­тать абсолютно симметричными относительно продольной оси и настро­енными на одну частоту. В этом случае можно рассмотреть отдельно взятую ветвь. Представим ее в виде трубки (рис. 2.1, а), внутри ко­торой протекает жидкость со скоростью v и избыточным давлением р. Наличие внутреннего давления приводит к возникновению осевых растягивающих усилий 7V, действующих на трубку. Линейный диф­ференциальный оператор в уравнении движения данной системы (1.11) с учетом внутреннего затухания по способу Е. С. Сорокина имеет вид

где W (f, г) - перемещение точек резонатора в направлении оси у; Е — модуль упругости материала трубки; / — момент инерции попе­речного сечения; f =х/1 — безразмерная координата длины / трубки; ф — коэффициент поглощения энергии колебаний.

На каждом конце трубки имеются два граничных условия, характе­ризующие способ его закрепления. В случае жесткого закрепления обоих концов такими условиями являются

Распределенная нагрузка q [см. равенство (1.11)] зависит от си­лы инерции трубки и жидкости, а также значения и направления осе­вого усилия N. Рассмотрим элемент трубки (рис. 2.1, б) с жидкостью в произвольный момент времени. Спроектировав все силы на ось у и воспользовавшись переменными Эйлера, получим

Q = Ч + Яг + Яг + Я* + 4s + Яб>

где qi и q2 — силы инерции элементов трубки и жидкости; q3 — сила инерции Кориолиса; q4 — сила инерции, возникающая при движении жидкости по дуге прогнутой трубки; q5 — сила внешнего трения, ха­рактеризующая рассеяние энергии в узлах крепления резонатора. Их величины определяются следующим образом:

Отнеся ее к единице длины трубки, получим

NCOS Odd A. dd N д2W

Яь= —:----------------- =N—- =

dx dl /2

С учетом полученного соотношения уравнение (1.11) для изотерми­ческого движения запишем в виде

EI Э4 W. ф EI Э4 W, д2 W

— ------ + і - Z— + т0----- + т

/4 Э'?4 2w /4 df4 Эт2

/ Э^Эт /2 af2 у Зг /2 af2 (2.2)

Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом ака­демика А. Н. Крылова, предусматривающим разложение в ряд по фун­даментальным функциям Rk (f); получаемым для балки без учета затухания [50]:

W= Ъ AkRk(S)eiu>r, (2.3)

к

где Ак — амплитуда &-го тона колебаний; Rk (f) - балочная функ­ция, соответствующая к-му тону и удовлетворяющая условиям (2.1). Для основного тона первой гармоники колебаний балочная функция Rx (f) имеет вид [6]

Rx (Г) = 1,259 [Къ (4,739 - 0,9825К4 (4,73f)], (2.4)

где Къ (4,730 = 0,5 [ch(4,73f) - cos (4,73f) ]; К4(4,73f) =

=0,5 [sh (4,73f) - sin (4,73f)] — функции Крылова.

Процедура решения уравнения (2.2) заключается в подстановке в него (2.3) с последующим умножением правой и левой частей mRi (f) и интегрированием в пределах от 0 до 1. При этом все члены в левой час­ти (2.2), содержащие произведения Rk (f)/?i (f) для к Ф 1, обратятся в нуль вследствие ортогональности фундаментальных функций.