ВИБРАЦИОННЫЕ ПЛОТНОМЕРЫ

Оптимальная структура механического резонатора

Традиционным методом разработки новых схем вибрационных плотномеров является эвристический синтез, заключающийся в отыс­кании приемлемых решений на основе накопленного опыта, прибли­женных расчетов, личной интуиции и творческих способностей разработ­чиков. При этом, несмотря на уже достигнутые успехи в этой области, продолжают появляться новые схемы вибрационных плотномеров, которые зачастую не обеспечивают даже достигнутого уровня точнос - ти, чувствительности, помехоустойчивости и т. д. В связи с этим остро встает проблема оптимизации структуры и параметров измеритель­ного устройства на стадии проектирования прибора. Под структурой механического резонатора будем понимать схему пространственного расположения конструктивных блоков, включающих в себя колеб­лющиеся элементы, узлы их соединения, а также узлы крепления, под­вода и отвода контролируемой среды. В наиболее общей постановке задача оптимального проектирования измерительного устройства за­ключается в выборе из множеста структур наиболее эффективной, наилучшим образом удовлетворяющей условиям и назначению задан­ного функционирования, а также в выборе оптимальных параметров ее элементов.

Простейшими структурами, на основе которых реализовано боль­шое число вибрационных плотномеров, являются маятниковые резо­наторы, содержащие один колеблющийся элемент. Колебания этого элемента сопровождаются периодическим возникновением попереч­ной реакции в узле его закрепления. Такого рода структуры будем называть несбалансированными, причем соответствующие этим струк­турам резонаторы могут быть как с сосредоточенными, так и с распре­деленными параметрами. Общим недостатком таких резонаторов явля­ется низкая добротность колебательных систем, что не позволяет обес­печивать высокую точность измерения. Для уменьшения отвода энер­гии от колеблющегося тела к основанию уменьшают его реакцию в узле закрепления добавлением второго такого же тела, колеблющего­ся в противофазе с первым. В этом случае резонатор становится сба­лансированным, а его колебательная система отличается высокой добротностью. Такого рода структуры относятся к числу камертон­ных. В общем случае под камертонным резонатором понимают меха­ническую много частотную колебательную систему, в которой при оп - редшенных типах колебаний количество движения и момент количе­ства движения в каждый момент времени равны нулю или столь незна­чительны, что взаимным влиянием опоры и резонатора при колеба­ниях можно пренебречь [17].

Резонаторы, входящие в комплект вибрационных плотномеров, монтируются непосредственно на технологическом оборудовании. В таких условиях работы чрезвычайно важно, чтобы характеристики оборудования, а также различного рода мешающие факторы (вибра­ция, тряска, температурные деформации и т. д.) не влияли на режим работы плотномера. Кроме того, следует учитывать, что сбалансиро­ванность структур существующих камертонных резонаторов предпо­лагает взаимную компенсацию лишь поперечных смещений узлов со­единения параллельных ветвей, тогда как их продольные перемещения остаются. Применительно к вибрационным плотномерам это обсто­ятельство заставляет предусматривать меры, способствующие ослаб­лению связи резонатора с узлами подвода и отвода жидкости. Именно поэтому входные и выходные концы трубчатых резонаторов извест­ных отечественных и зарубежных плотномеров соединяют с внешни­ми патрубками посредством сильфонов, резиновых шлангов и т. п. Применение таких гибких соединителей ограничивает области исполь­зования плотномеров. Так, для измерения плотности среды с высо­ким избыточным давлением потребуется увеличить прочность соедини­телей, что сделает их более жесткими и приведет к дополнительному

рассеянию энергии. Даже весьма гибкие соединители обладают гисте­резисом упругой характеристики, что также приводит к диссипации энергии и снижению добротности колебательной системы. В связи с вы­шеизложенным весьма актуальны поиски и исследования качественно новых структур механических резонаторов, позволяющих резко сни­зить потери энергии в узлах крепления и подводящих контролируемую среду элементах.

В качестве исходной схемы при оптимизации ее структуры примем двухтрубный камертонный резонатор, используемый в лучшем зару­бежном плотномере фирмы Solartron (см. рис. 1.3). Представим этот резонатор, являющийся системой с распределенными параметрами, в виде эквивалентной схемы, показанной на рис. 1.10. Эквивалентные массы трубчатых ветвей гаэ1 и гаэ2 сосредоточены в центре невесомых стержней, обладающих жесткостями Сэ1 и Сэ2, а также параметрами трения гэ1 и гэ2. Сосредоточенные массы wj^h тэ4 оснований резона­тора связаны невесомыми элементами жесткости Сэ3 и Сэ4 с крепеж­ными узлами в виде сосредоточенных масс тэ5 и гаэ6. Связь резонато­ра с внешними узлами, имеющими массу тэ0, осуществляется через элементы механического сопротивления гэ0, на которых и теряется основная часть энергии. Поперечные противофазные колебания масс тэі и гаэ2, возбуждаемые противоположно направленными силами F| и F2j сопровождаются противофазными смещениями масс гаэ3 и тэ4, направленными вдоль горизонтальной оси симметрии резонатора. При ЭТОМ через жесткие СВЯЗКИ Сэ3 и сэ4 продольные смещения пере­даются к узлам крепления резонатора, приводя к дополнительной дис­сипации энергии.

Рис. 1.11. Эквивалентная схема двух­трубного резонатора оптимальной структуры

Можно предложить весьма эффективный способ значительного умень­шения доли энергии, рассеиваемой в узлах крепления резонатора, за­ключающийся в изменении его структуры Учитывая, что в механичес­кой модели на рис. 1.10 массы оснований гаэ3 и тэ4 совершают про­тивофазные продольные колебания, целесообразно соединить их жест­кой перемычкой, направив ее вдоль оси симметрии резонатора и закре­пив в центре масс колебательной системы, как это показано на рис. 1.11. В представленной схеме крепежный узел тэ5 расположен в центре масс колебательной системы и при колебаниях остается неподвижным, в связи с чем он может присоединиться к опоре любым способом, с использованием любых крепежных деталей.

Практическая схема трубчатого камертонного резонатора с распре­деленными параметрами, в котором реализована оптимальная струк­тура, показана на рис. 1.12 [18]. Трубчатые ветви 1 и 2 резонатора, совершающие при работе противофазные колебания, жестко закреп­лены концами в полых перемычках 3 и 4. Жидкость подводится внутрь колеблющихся ветвей резонатора и выводится из них с помощью рас­пределителя потока 5, входных патрубков 6 и 7 и выходных 8 и 9. Поскольку при противофазных колебаниях ветвей распределитель по­тока 5 остается неподвижным, то входной 6 и выходной 9 патрубки не подвержены вибрациям и могут соединяться фланцами 10 и 11 с технологическим трубопроводом, не-рассеивая в него энергию. Отсут-

ствие каких-либо гибких соединителей в схеме резонатора позволяет измерять плотность жидкостей, находящихся под высоким избыточ­ным давлением. Обязательность выполнения условия противофазное - ти колебаний ветвей резонатора указывает на необходимость ответ­ственного подхода к настройке системы возбуждения, поскольку при ошибочной настройке он может совершать устойчивые колебания на синфазной частоте. Поэтому возникает насущная необходимость в анализе спектральных свойств и выработке рекомендаций по настрой­ке системы возбуждения автоколебаний такого резонатора.

Рассмотрим эквивалентную схему резонатора (см. рис. 1.11), за обобщенные координаты которой примем расстояния хт центров тя­жести масс от положения их равновесия [53]. Движение масс колеба - телшой системы без учета потерь энергии на трение описывается сле­дующей системой дифференциальных уравнений:

/ /

для которой в силу симметрии принято: Сэ1 = Сэ1 = Сэ2 =Сэ2; Сэ3 = — Сэ4*, Сэ§ — Сэ$; —тъ2', тэЪ ~

Непосредственный анализ системы столь высокого порядка затруд­нителен, выделение же предполагаемых свойств решений, связанных с симметрией резонатора, позволяет понизить порядок и определить их характеристики свободного движения. Проанализируем возмож­ности существования решений, обладающих свойствами симметрии:

a) =—*2, х3 = х4; б) хj = х2, х3 = х4;

в) =х2, х3 =-х4; г) X! = х2, х3 =-х4.

Существует нетривиальное решение системы (1.23), обладающее свойством (1.24а). Действительно, подстановка х2 и х4 из (1.24а) в (1.23а) и (1.236) и суммирование последних дает 2Сэ1х3 =0, т. е. х3 = 0, а подстановка х3 = х4 = 0 и х2 -~хг в (1.23в) и (1.23г) с по­следующим суммированием этих уравнений приводит к условию х$ = = 0. Из равенства (1.23а) после соответствующих подстановок и за­писи его в операторной форме следует уравнение

отэ1р2 +2 Сэ1)х, = 0,

Основная форма колебаний резонатора, соответствующая этому решению, показана на рис. 1.13. Существуют три различные решения системы (1.23), удовлетворяющие свойству (1.246). Это можно пока­зать из анализа системы уравнений, получаемой из (1.23) подстанов

(1.25)

Удобно доказать приведенное выше утверждение, исследовав харак­теристическое уравнение свободного движения х3, полученного исклю­чением из (1.25) величин хх и х5:

тэ1р2+2Сэ1 шэ5р2+2(Сэ3+Сэ5)

Мнимые корни Pj этого уравнения определяются графически из ус­ловия равенства левой f(p) и правой у(р) частей при изменении —р2 от 0 до °о. Левая часть / (р) изменяется на указанном интервале линей­но (рис. 1.14), а правая часть $(p) монотонно возрастает на каждом из трех выделенных участков непрерывности. Таким образом, имеются три различные положительные значения - р2> заключенные в указанных интервалах и удовлетворяющие (1.26) :

движения колебательной системыКомпоненты x^j и x$j вектора каждого из /-х решений находятся подстановкой в первое и третье уравнения системні (1.25) значений р2 =Pj> компоненты X2j и X^j из условия (1.246) х3=х4 = М1*і; Mi = 1 - тЭ1 и>р2Сэ1;

xs = Игхз> Мг = (1 + ~~ тэ5 /(2Сэз)) *.

Значения коэффициентов ц1 и ц2 могут быть найдены для каждого из участков непрерывности:

а) 0< со2 < 2Сэ1/тэ1; 0 < /іх < 1; м2 < 1;

б) 2Сэ1/шэ1 < а>з < 2(Сэ3 + Сэ5)/шэ5; < 0; ju2 > 0;

в) 2(С3 + С5)/ш5 < < 00 ; l^i < 0; ц2< 0.

Основные формы колебаний, удовлетворяющие этим условиям,

показаны на рис. 1.15, я-e соответственно. Существование решения, отвечающего свойству (1.24в), доказывается соответствующими под­становками х2 и х4 в систему (1.23). При этом из (1.23а) следует ра­венство (тэ1р2 + 2Сэ1)х1 = 0, а из суммирования (1.23в) и (1.23г) получим 2СэзХ5 =0, х5 - 0. С учетом последнего результата система (1.23) преобразуется к виду

(тэ1р2 + 2C, iX)xi = 0;

(тэ3р2 +2 Сэ1 + Сэ3)х3 = 0

и имеет два решения

р = -(2Сэ1 + сэ3)/шэ3; со5 = [(2Сэ1 + Сэ3)/шэ5]0^ ;

Xj = х2 = х5 = 0; х3 =~х4;

Р1=~2Сэ1/'пэ1’ w6= (2Сэ1/тэ1)0'5;

*3 - Х4 ~ XS - 0; *1 -~Х2 ■

Последнее решение бьшо получено ранее при использовании свой­ства (1.24а). Таким образом, условие (1.24в) дает одно решение cj5 системы (1.23), при котором массы тэ1 и тэ2 неподвижны.

Решения, отвечающего условиям (1.24г), не существует, поэтому найденные значения со і — со5, различные при всех значениях парамет­ров тэ и Сэ резонатора из непрерывного множества допустимых зна­чений, показывают, что полученная система решений является фунда­ментальной и представляет все собственные движения резонатора с различными частотами. Таким образом, рассматриваемая структура имеет одну противофазную частоту и три синфазных частоты собствен­ных колебаний масс тэ1 и тэ2. Наиболее низкая из синфазных час­тот всегда меньше противофазной, а две другие - больше. При рабо­те резонатора на частоте противофазных колебаний ветвей узел закреп­ления остается неподвижным (х5 =0). Именно противофазные колеба­ния и являются рабочим режимом всех камертонных резонаторов. На синфазных же частотах узел закрепления перемещается согласно

(1.25) , однако если одна из синфазных частот приближается к проти­вофазной то х5 -* 0 и рассеяние энергии в узле крепления снижа­ется, а стабильность собственной частоты возрастает. Это обстоятель­ство вызывает трудности при настройке системы возбуждения авто­колебаний резонатора, поскольку экспериментатору трудно опреде­лить, на какой из частот он работает. Практически для избежания оши­бочной настройки резонатора на одной из синфазных частот можно воспользоваться щупом, прикоснувшись которым к тэ3 или дяэ4 легко установить наличие или отсутствие (при правильной настрой­ке) их поперечных смещений.