Теплонспользующие установки промышленных предприятий

Планы второго порядка

Двухуровневое планирование эксперимента с ис­пользованием матриц полнофакторного или дробнофакторного эксперимента позволяет при минимальном объеме эксперимента получить линейное уравнение регрессии (функции цели).

Методы планирования предполагают не только минимизацию объема эксперимента, но и отыскание оптимума (экстремума) функции цели. В таком случае уравнение регрессии должно аппроксимироваться полиномом второго порядка вида

У = Ро + Е № + Е Р//ВД + & (15.6)

1=1 , /—1 I—!

Для определения коэффициентов регрессии в уравнении (15.6) двухуровневые факторные эксперименты не пригодны, так как вектор-столбцы X* и Х в матрице планирования неразличимы. Поэтому для построения полинома второй степени необходимо варьирование факторов хотя бы на трех уровнях.

Двухуровневый эксперимент и линейную форму уравнения регрессии целесообразно использовать при отыскании подобла­сти экстремума (оптимума) функции цели. Переход к трех­уровневому эксперименту и квадратичной форме уравнения регрессии следует осуществлять лишь после установления не­адекватности линейной функции связи в подобласти экстре­мум а.

Согласно результатам исследований [58] наиболее рацио­нальным является центральное композиционное планирование. Центральный композиционный план второго порядка получают достройкой некоторого количества точек к ядру линейного двух­уровневого эксперимента. Если количество факторов /г менее пяти, за ядро плана принимают полнофакторный план экспери­мента типа 2*, если же более пяти — то полуреплику от ПФЭ типа 2*. Такой выбор ядра обусловлен тем, что от ядра требу­ется раздельная оценка всех линейных эффектов и парных эф­фектов взаимодействий.

Для трех факторов схема центрального композиционного плана второго порядка изображена на рис. 15.2. Чтобы полу­чить центральный композиционный план второго порядка для трех факторов, к полнофакторному эксперименту 23 добавляют шесть «звездных» точек с коэффициентами (/, 0, 0); (—I, 0, 0); (0, I, 0); (0, —/, 0); (0, 0, I); (0, 0, —/) и некоторое число п0 точек в центре плана. Центральный композиционный план для трех факторов можно представить матрицей вида (табл. 15.8).

Ортогонализация матрицы планирования осуществляется преобразованием квадратичных членов X? новой переменной х[

N

Х = Х]-!-=^- = Х*-ХТ2: (15.7)

После замены Х на X,- сумма построчных произведений столбцов

2 Ха, Х'ц = 2 X?/ — АГХГ2 - 0. (15.8)

/=| =і

Так, в матрице центрального композиционного плана (см. таблицу 15.8) получим

Е Хо, Хи = 2 х0,{хЬ-хт2) = Е *?/- 15ХГ2 - 1=1 /=1 ,=|

= 8 + 21»_к£±иЭ = О.

Аналогично находим для переменных Хг и Хз. Ортогонализация соотношения

ЕХ?/Хи, Ф0 (I Ф и, I, и= 1, 2, к) (15.10)

/=!

Достигается выбором звездного плеча I (табл. 15.9).

Если ортогональность выбрать за достаточный критерий опти­мальности плана, то на число опытов в центре плана не накла­дывается никаких ограничений и /г = 1.

Подставляя I = 1,215 в уравнение (15.9) и в аналогичные для Хч. и Х3, получаем ортогональный центральный композиционный план второго порядка для трех факторов в виде матрицы (табл. 15.10).

Ортогональность, однако, не есть [58] достаточно сильный критерий оптимизации композиционного плана второго порядка. Наиболее эффективно использование центральных композици­онных планов, отвечающих требованию ротатабельности, т. е. планов, позволяющих получать модель, способную предсказы­вать значения параметров оптимизации с одинаковой точностью независимо от направления на равных расстояниях от центра плана.

Ротатабельность достигается выбором значения «звездного»

Плеча для ядра, содержащего полный факторный эксперимент, из к

Соотношения 1 = 24 (15.11), а для ядра, содержащего дробную

К—р

Реплику,— из соотношения / = 2 4 (15.12). Для ротатабельного планирования второго порядка важное значение имеет выбор

Числа опытов в центре плана, так как оно определяет характер

Распределения получаемой информации о поверхности отклика (уравнении регрессии). Число опытов в центре плана выбирается так, чтобы обеспечить так называемое униформпланирование. Униформпланирование возможно, если

} _ й (пс + По) /.г 104

* - (Г+2К • (15ЛЗ)

Где п:, — количество опытов в центре плана; пс = N — п0; N — общее количество опытов; к — число факторов. Необходимо, чтобы X было немного меньше единицы (табл. 15.11).

Коэффициенты уравнения регрессии определяем, используя известные выкладки 158]:

2Цк +2) £ -2 ХС 2 £ Ху У;

Ьо =

N

£=1 1=1

&. = -£-£ ХцУп

Л /■= I

Г2 N

Ь, и = дД X, ХчХщУг,

Ьи = - ы - |с2 [(/г + 2) X - к £ Х2ЦУ, +

+ С* (1-Х) І £ ХїіУ і —2С £ У,, (15.17)

(=1 /=1 •=!

Где