ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Рассмотрим аксиоматику Колмогорова

Пусть имеются наблюдения или испытания, которые хотя бы теоретически допускают возможность неограни­ченного повторения, Каждое отдельное испытание может иметь тот или иной исход в зависимости от случая. Сово­купность всех этих возможных исходов образует множе­ство Е, которое является первым основным понятием ак­сиоматики. Это множество Е называется множеством элементарных событий. Что из себя представляют собы­тия, являющиеся элементами этого множества, для даль­нейшего логического построения совершенно безразлич­но, как безразлично для аксиоматического построения геометрии, что мы будем понимать под словами «точка», «прямая» и т. п. Только после такого аксиоматического построения теория вероятностей допускает различные ин­терпретации, в том числе и не связанные со случайными событиями. Любое подмножество множества Е, т. е. лю­бую совокупность возможных исходов, называют собы­тием. Или другими словами: случайными событиями на­зываются элементы множества F подмножеств из Е. По­нятие случайной величины является здесь функцией от элементарного события, тогда как до Колмогорова это по­нятие само считалось исходным. Далее рассматриваются не все события, а только некоторое тело событий.

Уже не раз подчеркивалось, что теория вероятностей занимается только теми событиями, частота которых ус­тойчива. Это положение в аксиоматической теории Кол­могорова формализуется таким образом, что каждому событию, которое мы рассматриваем, ставится в соответ­ствие некоторое положительное число, которое называет­ся вероятностью данного события. При этом абстраги­руются от всего того, что помогало сформулировать это понятие, например, от частоты. Это дает возможность ин­терпретировать аксиоматику не только вероятностным способом. Тем самым значительно расширяются возмож­ности вероятностей.

В заключение сформулируем аксиомы Колмогорова.

1. Если случайные события Л и В входят в состав F, то события А или В, и Л и В, не Л и не В также содер­жатся в F.
2. F содержит в качестве элементов множество Е и все отдельные его элементы.
3. Каждому элементу Л из F поставлено в соответ­ствие неотрицательное вещественное число В (Л), назы­ваемое вероятностью события Л.
4. В(£) = 1.
5. Если Л и В не пересекаются и принадлежат F, то

Р(Л + В) = Р(Л) + Р(В).

Для бесконечных множеств F имеется еще одна ак­сиома, которая для конечных множеств является след­ствием пяти приведенных аксиом.

6. Если пересечение последовательности событий

А>А> • • •                     ^ •

пусто, то

НтР(Л„)=0.

П-+О0

Аксиоматика Колмогорова способствовала тому, что теория вероятностей окончательно укрепилась как пол­ноправная математическая дисциплина.

Так же как каждая аксиоматически построенная дис­циплина может иметь различные интерпретации, так и аксиоматическая теория вероятностей может быть истол­кована в различных терминах. Здесь произошло абстра­гирование от частотной картины, но оно дает возмож­ность всегда перейти от формальной схемы к реальным процессам. Естественно, что любой вывод этой теорий может быть истолкован в частотных терминах.

За последние годы наблюдаются попытки дать трак­товку вероятности с более широких позиций, в том числе й с позиций теории информации.