ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Частотная школа Мизеса

В основе любой аксиоматической системы теории ве­роятностей лежит определение понятия вероятности. На недостатки классического определения вероятности указывали давно. Были видны и недостатки субъективной трактовки вероятности, идущей от Лапласа. Критику этих недостатков встречали благожелательно. Наиболее ши­рокое распространение получили работы в этом направ­лении немецкого ученого Р. Мизеса (1883—1953), кото­рый из гитлеровской Германии эмигрировал в США, где он возглавил Институт прикладной математики. Мизес является основателем так называемой частотной концеп­ции в теории вероятностей. Мизес последовательно и на­стойчиво указывал на коренные недостатки классических установок. Мизеси его школа впервые отчетливо вырази­ли мытль, что понятие вероятности имеет смысл только при наличии массовых явлений. Одно из главных проти­воречий^ между частотной школой и основным направле­нием развития теории вероятностей состоит в ответе на вопрос: квляется ли теория вероятностей математической дисциплиной или же это научная дисциплина, которая только широко использует математические методы.

Мизес считал, что теория вероятностей не является математической дисциплиной. Для доказательства этого утверждения он приводит рассуждение о том, что с каж­дой вероятностной задачей обязательно связан некоторый реальный процесс, поэтому теория вероятностей есть наука о явлениях реального мира, а математика, по Ми- зесу, таковой не является. Все современное развитие теории вероятностей неоспоримо устанавливает принад­лежность ее к математическим дисциплинам.

Ряд советских исследователей, категорически отвер­гая философские установки Мизеса, приняли в свое вре­мя положение о том, что теория вероятностей не является математической дисциплиной. Например, Э. Кольман пишет: «Мы займемся лишь одной, принадлежащей к... группе близких математике, но все же отличных от нее отраслей науки — теорией вероятностей. Ее предметом является изучение возможности, категории, которую ма­тематика не изучает, хотя при изучении ее и применяют математический метод... В теории вероятностей, прежде чем пустить в ход математический (метод, нужно сначала установить равновозможность отдельных событий, а это­го нельзя сделать математическим путем» [19, стр. 229— 230]. Мы не будем здесь подробно останавливаться на этом высказывании. Укажем только, что теория вероят­ностей изучает не категорию возхможности, а массовые случайные явления, и что равновозможность не играет та­кой фундаментальной роли, как это представляли раньше.

Основным понятием в частотной теории Мизеса яв­ляется понятие коллектива. Под коллективом понима­ется бесконечная (последовательность k одинаковых наблюдений, каждое из которых определяет некоторую точку, принадлежащую заданному пространству R ко нечного числа измерений. Говорить о вероятности, по Мизесу, можно только тогда, когда существует та опре­деленная совокупность событий, которую он назвал кол­лективом. «Условимся называть коллективом совокуп­ность событий или явлений, которые отличаются друг от друга каким-нибудь доступным наблюдению/призна- ком (числом, окраской и т. п.). Сперва должен рыть на­лицо коллектив, тогда только можно говорить р вероят­ностях» [132, стр. 16].

Коллектив, по Мизесу, должен удовлетворять следую­щим двум требованиям: 1) относительные частоты появ­ления определенного события в последовательности неза­висимых испытаний имеют определенные предельные значения; 2) предельные значения, о которых говорится в первом требовании, остаются неизменными, если из всей последовательности выбрать любую подпоследова­тельность.

Это и есть аксиомы Мизеса, которые мы сформулиру­ем по другому.

Первая аксиома. Существует предел

lim -=P(S),

п-*оо п               ^х

где т — число случаев при первых п, наблюдениях, ког­да определяемая наблюдениями точка принадлежит под­множеству S. Этот предел существует для любого просто­го подмножества SCR.

Вторая аксиома Мизеса эквивалентна следующему утверждению. Требуется, чтобы существовал и имел то же значение P(S) аналогичный предел для любой подпо­следовательности К', образованной из элементов К по та­кому правилу, что всегда можно решить, входит ли п-е наблюдение из К в К' или нет, не зная результата этого наблюдения. Последняя часть второй аксиомы не имеет точного математического смысла. «Попытки сформули­ровать вторую аксиому более строго не дали, по-видимо­му, до сих пор удовлетворительных и легко применимых

результатов.. я думаю, что эти трудности должны быть

признаны достаточно серьезными, чтобы оправдать, по крайней мере в настоящее время, выбор существенно иной системы аксиом» [133, стр. 12—13].

Исходя из того, что теория вероятностей не является математической дисциплиной, Мизес рассматривал свои аксиомы только как свойства коллектива и не придавал им значения аксиом математической теории.

«Мизес никогда и нигде не идет на полную формали­зацию своей теории, то есть на придание ей чисто аксио­матической формы» (134, № 2, стр. 86].

Сформулировав две аксиомы, Мизес заканчивает по­строение основ теории вероятностей и считает, что можно приступать к решению конкретных задач и к установле­нию общих закономерностей. Но как мы уже отмечали, на этих аксиомах нельзя построить аксиоматическое обо­снование теории вероятностей.

Приняв за основу тот факт, что вероятность и часто­та — связанные между собой величины, Мизес определя­ет вероятность как предельное значение частоты: «Обос­новано предположение, что относительная частота появ­ления каждого единичного наблюдаемого признака стре­мится к определенному предельному значению. Это пре­дельное значение мы называем вероятностью» [132, стр. 20]. Но на самом деле никакого обоснованного предполо­жения у нас нет. Мы никогда не можем знать, имеет ли данная частота предел или нет, хотя бы уже потому, что для этого пришлось бы произвести бесконечное число опытов. Это определение несостоятельно математически, так как мы не можем указать функциональной зависимо­сти между количеством испытаний п и частотой появле­ния событий т/п, где т‘—количество появлений собы­тия, а не указав такой зависимости, мы не можем вычис­лить предел lim т/п, который принят за вероятность.

/2-«50

Согласно Мизесу, события до опыта не имеют вероят­ности, она не является объективным свойством явления. Вероятность у событий появляется только в связи с про­ведением опыта. Таким образом, по Мизесу, мы с по­мощью опыта не выясняем существующие объективные свойства, а приписываем их явлениям. Мизес считает, что никакого дальнейшего обоснования понятия вероятности не требуется, и вероятность у него теряет свое содержа­ние объективной числовой характеристики реальных яв лений.

Относительно определения вероятности Мизесом шведский математик Г. Крамер пишет: «Предлагаемое определение вероятности приводит к смешению эмпири­ческих и теоретических элементов, а современные аксио­матические теории обычно избегают этого смешения. Ука­занное определение вероятности можно сравнить, напри­мер, с определением геометрической точки, как предела пятен мела неограниченно убывающих размеров, а подоб­ного определения современная аксиоматическая геомет­рия не вводит» [9, стр. 172J.

А. Н. Колмогоров относительно установок Мизеса пи­шет: «Допущение о вероятном характере испытаний, т. е. о тенденции частот группироваться вокруг постоян­ного значения, само по себе бывает верно (как и допу­щение о «случайности» какого-либо явления) лишь при сохранении некоторых условий, которые не могут сохра­ниться неограниченно долго и с неограниченной точно­стью. Поэтому точный переход к пределу—-»Р                   не МО-

tl

жет иметь реального значения. Формулировка принципа устойчивости частот при обращении к такому предельно­му переходу требует определения допустимых способов отыскания бесконечных последовательностей испытаний, которое тоже может быть лишь математической фик­цией. Все это нагромождение понятий могло бы еще под­лежать серьезному рассмотрению, если бы в результате получилось построение теории столь своеобразной, что иными путями до ее строгого обоснования нельзя было бы дойти» [135, стр. 274—275].

Далее Колмогоров говорит, что обоснование матема­тической теории вероятностей может быть достигнуто бо­лее строгим и логически простым путем.

Хинчіин по поводу двух аксиом Мизеса пишет: «Воз­можность полной формализации частотной теории при сохранении обоих этих требований представляется по меньшей мере сомнительной, ибо по отношению к тем представлениям, которые современная математика связы­вает с понятием иррегулярной последовательности, тре­бование существования пределов оказывается лишенным всякого содержания» [134, № 2, стр. 86].

Взгляды Мизеса широко пропагандировались и имели довольно большое распространение. Но среди математи­ков концепция Мизеса, из-за указанных недостатков, ни­когда не пользовалась большой популярностью.

«Если среди наших математиков это учение, насколь­ко нам известно, сторонников не имеет (главным образом по причине своих чисто математических пороков), среди физиков оно ...до сих пор пользуется значительным успе­хом» [136, стр. 528]. Это писалось еще в 1952 г. — настоль­ко распространены были, с одной стороны, взгляды Мизе- са и, с другой стороны, настолько недостаточно велась критика этих взглядов. На сегодняшний день картина изменилась, частотная концепция Мизеса сейчас не удов|- летворяет и большинство физиков.

Наиболее полную критику взглядов Мизеса можно найти в работах Б. В. Гнеденко и А. Я. Хинчина (см., на­пример [136, 137, 134]).

Известен ряд попыток полной формализации частот­ной теории, при этом несколько изменялись предпосылки Мизеса. Например, Камке предлагал заменить бесконеч­ные коллективы конечными и отказаться от требования иррегулярности, Дерге, Торнье, Копленд и другие требу­ют частичного отказа от иррегулярности, т. е. они тре­буют сохранения одного и того же значения предела не для любого выбора подпоследовательности, а только для некоторой ограниченной совокупности таких выборов. Торнье запрещает пользоваться в теории вероятностей схемами, которые не укладываются в частотную интер­претацию. Для этого он построил громоздкий формаль­ный аппарат и вынужден был отказаться от постановки и решения ряда элементарных задач теории вероятностей.

Мизес ко всем этим изменениям своей частотной кон­цепции относился отрицательно. Он считал, что требова­ние иррегулярности является основным в его теории. Ко­нечно, эти попытки могут привести к формализации тео­рии вероятностей. Но любая частотная формализация оказывается очень громоздкой. Это объясняется тем, что она еще недостаточно формальна и несет на себе конкрет­ное содержание. Чем аксиоматаческа%система абстракт­нее, тем она проще, чем она содержательнее, тем она бо­лее сложна, и с ее помощью труднее делать выводы в данной теории. Это оказалось существенным недостатком и для всех частотных теорий.

Крупнейшие представители теории вероятностей ни­когда не были приверженцами частотной школы, а при­верженцы этой школы не получили существенных резуль­татов в теории вероятностей.

Попыток обосновать теорию вероятностей было доста­точно много. Например, итальянский математик Б. Фи- нетти выдвинул субъективное толкование вероятности. Таким подходом к вероятности он пытался преодолеть противоречия, которые возникли и в классической теории

вероятностей и в частной школе Мизеса. По Финетти ве­роятность является чисто субъективной величиной. Каж­дый человек по-своему оценивает вероятность того или иного события. В этой теории не только вероятность, но и другие основные понятия, такие, как зависимость, незави­симость, равновозможность и другие, определяются так же, как субъективные. Финетти утверждает, что и связь частоты с вероятностью также субъективна. «Никакое от­ношение между вероятностями и частотами не имеет эм­пирического характера» [138, стр. 26].

Определение вероятности Через частоту он отвергает, потому что при- таком определении нужно предполагать существование объективной вероятности, что недопустимо с субъективной точки зрения. Вероятность, по Финетти, совсем не обязательно должна быть связана с частотой, так как вероятность есть величина чисто субъективная. Естественно, как и каждый математик, Финетти требует, чтобы при определении субъективных вероятностей вы­полнялось требование непротиворечивости.

Несколько позже Джеффрис (см. [139]) разрабатывал понятие вероятности как степени правдоподобия. Впер­вые эта концепция была выдвинута Кейнесом в 1921 г. По этой теории каждое предложение имеет определен­ную вероятность. Вероятностям такого вида нельзя дать частотной интерпретации. Разработка теории степеней правдоподобия продолжается некоторыми математиками и в наши дни.

Приведенные и им подобные попытки обоснования тео­рии вероятностей не имели широкого распространения.