СВАРОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ

О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Теплофизические характеристики металлов (у, с, X, k), в той или иной степени изменяются вместе с изменением температуры. При постановке и решении задач теплопроводности с целью упро­щения принимают, что указанные характеристики остаются по­стоянными, равными их начальным значениям или же их средним значениям в рассматриваемом интервале температур. При этих условиях уравнение (1.8) и граничные условия будут линей­ными и, следовательно, для нахождения общего решения уравне­ния (1.8) можно применить метод наложения частных решений, получаемых тем или иным методом. Для решения линейной задачи теплопроводности могут быть использованы следующие методы.

Разделение переменных

Этот метод решения задач теплопроводности подробно описан в обширной литературе по математической физике [14, 112, 113, 122] и специальной литературе [28, 48, 58, 61). Этот метод удобно применять, когда тело ограничено координатными поверхностями и конечно в направлениях изменения температуры.

Метод источников

Более подробное изложение и применение этого метода будут даны в следующей главе. Он применим ко всем задачам теплопро­водности сплошных сред, у которых теплофизические характе­ристики не зависят от температуры и задача теплопроводности сводится к линейному дифференциальному уравнению с линей­ными граничными условиями.

Преобразование Лапласа

Возьмем тело, ограниченное поверхностью S. Обозначим через М = М (х, у, z) любую точку этого тела и рассмотрим для него линейную задачу нестационарной теплопроводности

а А7’(М,0 = аГ(^,<) (1.17)

для М внутри S при t >> 0; при граничном условии

Р(М)дТ(дп’° +X(M)T(M, t) = 0 (1.18)

для М на S при t >0 и начальном условии

T{M, t) = F(M) (1.19)

для всех М при t = 0.

Поясним на этой задаче суть метода. Умножим обе части

уравнений (1.17) и (1.18) на е~Р(, где р >-0, и проинтегрируем

все члены по времени от 0 до сю. При этом получим

СО со

ае-V AT(M, t)dt = (1.20)

о о

для М внутри S;

со со

Р (М)J еН» dT{^'t] dt + R (М) J е-Р' T(M, f)dt = 0 (1.21)

0 о

для М на S.

Предположим, что все интегралы сходятся при достаточно боль­ших значениях р и примем допустимость перемены порядка диф­ференцирования по пространственным координатам и интегри­рования по времени, а также интегрирования по частям. Тогда

со со

1 e-v AT(M, t)dt= Дe-WT(M, t)dt (1.22)

о о

со со

J = JL Je-VT(M, t)dt; (1.23)

о о

И

00 со со

J е-Р*дт (^’° Л = е-Р* Г(М, t) f р J e-ftf Т (М, О л =

О 0 0

со со

= —Т (М, 0) + р J е-э* Т (М, t) dt = — F (М) + р j е-Р* Т (М, t) dt,

о о

(1.24)

где в соотношении (1.24) использовано начальное условие (1.19). Введем обозначение

со

Т(М, р) = (r$tT{M, t)dt. (1.25)

о

Функция Т (М, (З) называется преобразованием Лапласа функ­ции Т (М, t) относительно t. При этом уравнения (1.20) и (1.21) примут вид:

а АТ (М, р) = ft (М, Р) — F (М) (1.26)

для М внутри S;

Р (М) дТ f +R{M)T(М, р) = 0 (1.27)

для М на S.

При таком преобразовании величину р можно считать произ­вольным фиксированным параметром, а переменная t исключается, начальное условие включается в само преобразованное уравне­ние (1.26) и, таким образом, количество независимых переменных уменьшается на единицу. Определив Т (М, Р) решением уравне­ния (1.26) при граничном условии (1.27), из интегрального урав­нения (1.25) можно найти искомую функцию Т (М, t), которая называется оригиналом функции Т (М, Р). Для определения ориги­нала существуют подробные таблицы [35, 36], использование которых упрощает решение задач. Этот метод применим к решению любой линейной задачи теплопроводности, если коэффициенты при искомой функции Т (М, t) в уравнении теплопроводности не зависят от времени, зависят только от координат, а свободные члены могут зависеть от времени и координат.

Приближенные аналитические методы

Из приближенных аналитических методов для решения задач теплопроводности наиболее эффективен метод Л. В. Канторовича [47 ], являющийся обобщением метода Бубнова—Галер кина. В этом случае решение краевой задачи теплопроводности при нулевых начальных условиях находим в виде

Т (М, t) = T їм, аг (f), fl2 (f) an (Q], (1.28)

для которых после интегрирования получим систему из п обыкно­венных дифференциальных уравнений.

Опыты показывают, что при изменении температуры в доста - _ точно широких пределах теплофизические характеристики мате­риала существенно зависят от нее [103—105, 130]. При этом ре­шение задачи теплопроводности сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения и в общем случае при нелинейных граничных условиях. К решению такого рода краевых задач изло­женные выше методы не применимы. В таких случаях исполь­зуются численные методы. Наиболее эффективным из них и при­способленным к машинному счету является метод конечных раз­ностей [47]. Общим недостатком численных методов является их применимость только при частных значениях параметров, что вызывает необходимость повторения счета при различных зна­чениях этих параметров для выяснения их влияния на описывае­мый процесс. Недостаток численных методов заключается и в том, что последующее решение соответствующей температурной задачи деформируемого тела также должно быть проведено численно.