СВАРОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ

НАПРЯЖЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЕ ОТ МГНОВЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА

Многие задачи определения напряженного состояния решаются при помощи методов, разработанных в теории упругости. Ряд задач применительно к сварке при определенных допущениях

также может быть решен с использова­нием теории упругости. Рассмотрим общие положения метода.

Представим себе неравномерно на­гретое тело, в каждой точке которого известна температура. Если бы час­тицы тела не были связаны между собой, то каждая из частиц беспрепят­ственно увеличилась в объеме. Выделим из тела элементарный кубик (рис. 11). Вследствие бесконечно малых размеров кубика неравномерностью температуры вдоль граней можно пренебречь и счи­тать его равномерно нагретым до неко­торой температуры Т. Составляющие деформаций кубика от нагрева до тем­пературы Т будут равны

TOC o "1-5" h z Уху = Уух = Y« = °- (2)

Устраним эти деформации, приложив ко всем граням кубика напряжения сжатия, равные

аТЕ.

°, = °, = оІ=-ГГ2ІІ. (3)

То что напряжения (3) создадут деформацию, равную аТ, можно проверить, подставив их в уравнение (4), связывающее деформацию с напряжениями:

= -є - [ох — В (оу + а*)].

Приложив к каждому элементарному объему соответствующие уравнению (3) напряжения, устраним полностью деформации от температуры. Затем «склеим» между собой все элементарные объ­емы. Напряжения на границах элементарных кубиков будут вы­читаться, а разность этих напряжений создаст так называемые объемные силы. По границам тела, где напряжения не вычитаются, после «склеивания» кубиков будут действовать поверхностные

аТЕ

силы сжатия, равные 1 _ 2|1~ •

В действительности в нагретом теле никаких поверхностных и объемных сил нет. Поэтому полученные нами фиктивные по­верхностные и объемные силы следует снять, приложив к телу силы противоположного направления. По поверхности тела сле­дует приложить нормальные поверхностные силы

= Y = (5)

Внутри тела прикладывают объемные силы X, Y, Z, величину которых можно найти, если подставить напряжения (3) в дифферен­циальные уравнения равновесия (6), которые должны при этом у довл етво р я тьс я:

^Л-^ + ^ + Х=.0;

дх ду дг

до» дххи дх uz

TOC o "1-5" h z Ъ + - ЗГ + 1*- + у = Ь

дог. дххг. fayz, 7 _ п

дг “Г дх + ду + ^ - а

С учетом того, что объемные силы прикладывают с противо­положным знаком и что хху = хуг = хгх = 0, находим из урав­нений (6)

X = — аЕ у - _ аЕ ?L. 7 - аЕ дТ

1 — 2ц дх ' I — 2|Л ' ду ’ ^ 1 — 2ц ' дг • (7>

Таким образом, напряжения, возникающие от неравномерного нагрева тела, складываются из трех составляющих:

1) так называемых гидростатических напряжений растяжения или сжатия по всем направлениям

аТЕ

при повышении температуры знак Т следует принимать положи - ьныи, при понижении — отрицательный;

2) напряжений, возникающих от поверхностных сил (5);

•j) напряжений, возникающих от объемных сил (7).

Решение задачи о распределении напряжений в неравномерно нагретом теле состоит в отыскании этих трех составляющих.

Для случая тонкой пластины, где напряжения ог равны нулю, составляющие напряжения имеют несколько иной вид:

1) гидростатические напряжения в плоскости

а ТЕ

(8)

1-ц •

2) поверхностные силы по краю пластины

X = Y = ~L. (9)

1 — (Л ' '

3) объемные силы

х = - т^г-1г; Y = - I~rw - <10)

Более подробные сведения о решении температурных задач можно найти в работах [110], [91]. Применим рассмотренный метод к определению напряжений в бесконечной пластине от мгно­венного линейного источника тепла. Температурное поле от та­кого источника без теплоотдачи [100] описывается следующим уравнением

Найдем температурные напряжения в пластине в предполо­жении, что металл является абсолютно упругим, а теплофизиче­ские и механические коэффициенты постоянны во всем диапазоне температур. Задачу будем решать в полярных координатах.

Составляющая гидростатического напряжения определяется просто по уравнениям (8) и (11):

Q-Eq dt 4at /іо

°'» = 0'« = -(Т=Й4ПШЄ • (12)

Температура на краю бесконечно большой пластины равна нулю. Поэтому поверхностные силы (9) также равны нулю и ни­каких напряжений в пластине не вызовут. Объемные силы (10), которые в полярных координатах запишутся как

D а Е дТ

* ~ — і _и, аГ»

вызовут напряжения, для определения которых рассмотрим эле­ментарную объемную силу dR — Rdp на расстоянии р от начала

координат и определим напряжения от этой силы внутри и вне круга с радиусом р (рис. 12):

а) внутри круга с радиусом р

°гвн =

б) вне круга

__________________ J Р Рг л р.

- 2 г2

О, J Р Р j п

*нар о - з

SHAPE * MERGEFORMAT

Определим напряжения в точке А, находящейся на расстоя­нии г — г0> от всех объемных сил, действующих в пластине. Вна­чале найдем напряжение at от объемных сил, действующих внутри круга (г = г0). Для этого необходимо интегриро­вать выражение (14) в пре­делах от 0 до г0:

=

г0

aEaq di 2лЯвГп ^

--5. i+A

л 4at 4at

1

(15)

Объемные силы, дейст­вующие вне круга (г =/•(,), зызовут в точке А напряже­ния <т.

‘нар

.А

4д/

1 — р 8лЯ6/

'с

Суммируя напряжения (12), (15) и (16), находим

‘нар

Аналогично находим о/.

aEqa dt і,

0=---------- ч-—5- V 1 — Є

2 л). 6 г.

Если решать задачу с осесимметричным распределением тем­ператур Т в общем виде, то получим

С аЕ с

°г = ^ -7г J Тг dr-

о. =~ - аГЕ + ^j' Trdr,

где С — произвольная постоянная, определяемая из краевых ус­ловий на наружном контуре пластины. Для бесконечной пластины С = 0.

Проанализируем полученные результаты. На рис. 13 показаны кривые напряжений ог, at и —аТЕ в безразмерных значениях

orA, atA; —аТЕА, где А —

п пп п

— -.. Величина —alb вы - аЬц at

ражает напряжения, которые возникают в стержне, нагретом до температуры Т, в случае жесткого закрепления его кон­цов.

Обращает на себя внимание сложный характер распределе­ния напряжений аг и otl кото­рый существенно отличается от характера распределения тем­ператур. Несмотря на то что во всех точках пластины произо­шел нагрев металла и, каза­лось бы, должны действовать только сжимающие напряже­ния, в пластине имеется зна­чительная область с растягивающими напряжениями о). Мак­симальные напряжения при г = 0 в 2 раза меньше величины —а ТЕ. Это объясняется податливостью окружающего металла вследствие упругости по сравнению с абсолютно жестким его за­креплением. Полученные результаты косвенно указывают на не­обходимость учета двухосности напряжений в случае сварочного нагрева и снижение напряжений вследствие упругости металла.