СВАРОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ Общий интеграл уравнений Дюгамеля—Неймана

Решение обратной задачи термоупругости не вызывает особых трудностей: когда заданы напряжения или деформации, она сво­дится лишь к интегрированию уравнений Коши. Решение прямой задачи термоупругости приводится к интегрированию сложной системы дифференциальных уравнений в напряжениях или в пере­мещениях. В первом из двух последних случаев необходимо найти

шесть неизвестных функций сх

ных уравнений равновесия (3.10) и шести дифференциальных уравнений Бельтрами (3.24), (3.25), удовлетворяющих простым алгебраическим условиям на поверхности (3.12). Во втором из этих случаев необходимо найти три неизвестные функции и, v, w решением трех дифференциальных уравнений Дюгамеля— Неймана (3.11), удовлетворяющих граничным условиям в пере­мещениях (3.15). Общий интеграл этих трех уравнений можно

выписать [91 ] в виде:

U = U0 Щ. Ы2>

v = v0 + v1 Hr v2 (3.29)

w = w0--w1-j-wi, где при наличии объемных сил с составляющими X, Y и Z:

ui — Фі '4(1 — pj ~дх~ "Ь + Фо);

yi Ф2 4 (1 — |Х) ду

wi—®3 4(j_^) 'fo-(хФі + У®2 + гФ3 + Фо).

- (хФі + У® 2 + гФ3 - f - Ф0);

причем Фх, Ф2, Ф3 — три независимых общих интеграла урав­нения Лапласа

ЛФ/ = 0; (3.33)

а Ф — частное непрерывное, включительно до своих вторых производных, решение уравнения Пуассона

ДФ = аТ. (3.35)

Можно показать [91], что при р = 0,25 функция Ф0 в выраже­ниях (3.32) является лишней. Найденные перемещения (3.29) должны удовлетворять граничным условиям (3.13). Эти условия, связывающие функции Ф, с заданными напряжениями на поверх­ности тела, значительно сложнее алгебраических равенств (3.12). Поэтому в некоторых случаях интегрирование уравнений (3.10),

(3.24) , (3.25) может оказаться проще, чем разыскание трех функ­ций Ф/, удовлетворяющих условиям (3.13). Нахождение трех гармонических функций Ф,-, удовлетворяющих уравнениям (3.13), остается основной трудностью на пути получения полного решения общей прямой задачи теории упругости. Учет влияния объемных сил требует нахождения частных решений уравнений (3.31), а учет влияния температуры — нахождения частного решения урав­нения (3.35).

Полуобратный метод Сен-Венана

При этим методе часть решения рассматриваемой задачи задается (угадывается), а другая часть определяется так, чтобы была удовлетворена система основных уравнений термоупругости. Та часть решения, которая задается (угадывается), должна соот­ветствовать рассматриваемой задаче и не должна быть в проти­воречии с основными уравнениями термоупругости [8, 91 ].

Потенциал термоупругих перемещений

Для получения частных решений статических, квазистатиче - ских и динамических задач термоупругости можно использовать введенный в п. 15 потенциал термоупругих перемещений. Един-

ственным ограничением, наложенным на этот потенциал F, яв­ляется то, что эта функция F — частное решение уравнения Пуассона (3.27). Поэтому найденные через эту функцию F напря­жения не обязательно должны удовлетворять заданным условиям на поверхности тела. Если полученное решение не удовлетворяет заданным условиям на поверхности, то приходится решать до­полнительную задачу (см. ниже п. 16, 17). Изложение и приме­нение метода потенциала термоупругих перемещений можно найти в работах [67, 92 J.

Энергетические методы

Для решения практических задач термоупругости часто исполь­зуют следующие энергетические методы.

Принцип Даламбера. В соответствии с этим принципом работа, совершенная внешними силами и силами инерции на возможном перемещении тела из некоторого мгновенного состояния, равна изменению энергии деформации, т. е.

6Л — | р бы + бп + ~ 8w')dc» = бU, (3.36)

СО

где

г = С J [«*„ + е„ + 4 +1 +1. +1.) +

СО

+ - rFW<?-1F^°‘re]d*>, (3.37)

и зависит от последовательности приложения нагрузки и измене­ния температуры и не всегда идентична работе деформации. В случае статических и квазистатических задач принцип Далам­бера переходит в принцип виртуальных перемещений

671 = Ш. (3.38)

Принцип Гамильтона. В соответствии с этим принципом в случае, когда внешние силы имеют потенциал, вариация инте­грала по времени от разности суммарного потенциала внутрен­них и внешних сил и кинетической энергии равна нулю, т. е.

t

б j (П — K)dt — 0. (3.39)

о

В случае, когда имеем статические и квазистатические задачи этот принцип переходит в принцип минимума потенциальной энергии

б П = 0. (3.40)

Принцип виртуальных изменений напряженного состояния.

В соответствии с этим принципом при всяких виртуальных изме­

нениях напряженного состояния упругого тела, при которых приращения внешних сил и соответствующие приращения ком­понентов напряжения связаны уравнениями равновесия и усло­виями на поверхности тела, сумма работ приращений всех внеш­них сил на статически соответствующих этим силам перемещениях равна приращению потенциальной энергии тела, т. е.

Е (ибХ + об V + wbZ) = бU, (3.41)

где X, Y, Z — означают составляющие объемных и поверхност­ных сил. Из этого принципа вытекают теорема Кастильяно и теорема о наименьшей работе.

Начало взаимности. По этому началу, если рассматриваются два состояния упругого тела, работа сил первого состояния на соответствующих им перемещениях второго состояния равна работе сил второго состояния на соответствующих им перемеще­ниях первого состояния. Методы применения этого начала к за­дачам термоупругости разработаны в работе [62].

Эти основные энергетические методы широко применяются для решения изотермических и неизотермических задач строи­тельной механики (стержни, стержневые системы, пластины и т. д.). Изложение этих методов и их применение можно найти в работах [8, 26, 62, 67 , 91, 92].

Численные методы

Из численных методов наиболее приспособленным к машин­ному счету является метод конечных разностей [47].

Методы плоской задгчи

Наиболее эффективными методами решения плоской задачи термоупругости являются метод функции Эри и метод комплекс­ных переменных. Изложение и применение этих методов можно найти в работах [8, 68, 92, 119].