Социально-экономическая статистика

Основные принципы выборочного наблюдения

Под выборочным наблюдением понимается такое несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию (наблю­дению) подвергается часть изучаемой совокупности. Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу: по обследуемой части дать характеристику всей совокупности единиц при условии соблюде­ния всех правил и принципов проведения статистического на­блюдения и научно организованной работы по отбору единиц. Использование выборочного обследования позволяет значитель­но сэкономить силы и средства.

Наряду с экономией ресурсов одной из причин превращения вы­борочного наблюдения в важнейший источник статистической ин­формации является возможность сократить время наблюдения. Фак­тор времени важен для статистического исследования, особенно в условиях быстро меняющейся социально-экономической ситуации.

Выборочное исследование позволяет также расширить про­грамму наблюдения. Поскольку исследованию подвергается срав­нительно небольшая часть всей совокупности, можно увеличить число изучаемых признаков.

На практике приходится сталкиваться со специфическими за­дачами изучения массовых процессов, которые решаются лишь с помощью методологии выборки. К таким задачам относится ис­следование качества продукции, если она при этом уничтожается. На основе выборочного наблюдения изучается, например, каче­ство электроламп, спичек, многих сплавов. Кроме того, в совре­менных условиях развития внешнеэкономических связей России при наличии, в частности, большого числа импортируемых про­дуктов и непродовольственных товаров контроль их качества обес­печивается также путем выборочного исследования. При прове­дении выборочного обследования совокупность отобранных для обследования единиц в статистике принято называть выборочной, а совокупность единиц, из которых производится отбор, — гене­ральной.

В статистической практике общепринятыми являются следу­ющие обозначения характеристик генеральной и выборочной со­вокупностей (таблица 12.1).

Ошибка выборочного наблюдения — это разность между величи­ной параметра в генеральной совокупности и его величиной, рас­считанной по результатам выборочного наблюдения. Для средней величины ошибка будет определяться так:

Л гг = Ьг-Ї

где =^— — генеральная средняя;

v = — — выборочная средняя.

П

Величина Дj называется предельной ошибкой выборки. Это величина случайная. Исследованию закономерностей случайных

ошибок выборки посвящены предельные теоремы закона боль­ших чисел. Наиболее полно эти закономерности раскрыты в тео­ремах П. Л. Чебышева и А. М. Ляпунова. Теорему П. Л. Чебышева применительно к рассматриваемому методу можно сформулиро­вать следующим образом: при достаточно большом числе незави­симых наблюдений можно с вероятностью, близкой к единице (т. е. почти с достоверностью), утверждать, что отклонение выбо­рочной средней от генеральной будет сколь угодно малым. В тео­реме доказано, что величина ошибки не должна превышать /р. В свою очередь, величина (і, выражающая среднее квадратическое отклонение выборочной средней от генеральной средней, зависит от дисперсии признака в генеральной совокупности а и числа отобранных единиц в выборке. Эта зависимость выражается фор­мулой

где (і — средняя ошибка выборки; с — среднее квадратическое отклонение; п — объем выборочной совокупности.

Рассмотрим, как влияет на величину средней ошибки число отбираемых единиц п. Логически нетрудно убедиться, что при отборе большого числа единиц расхождения между средними бу­дут меньше, т. е. существует обратная связь между средней ошиб­кой выборки и числом отобранных единиц. При этом образуется не только обратная математическая зависимость, а такая зависи­мость, которая показывает, что квадрат расхождения между сред­ними обратно пропорционален числу отобранных единиц.

Далее посмотрим, как влияет колеблемость признака в гене­ральной совокупности на величину ошибки. Нетрудно доказать, что увеличение колеблемости признака влечет за собой увеличе­ние среднего квадратического отклонения, а следовательно, и ошибки. Если предположить, что все единицы будут иметь оди­наковую величину признака, то среднее квадратическое отклоне­ние станет равно нулю и ошибка выборки также исчезнет. Тогда нет необходимости применять выборку. Однако следует иметь в виду, что величина колеблемости признака в генеральной сово­купности бывает неизвестна, поскольку неизвестны размеры еди­ниц в ней. Мы можем рассчитать лишь колеблемости признака в выборочной совокупности.

Соотношение между дисперсиями генеральной и выборочной совокупностей выражается формулой

2 2 11 ^х = &х Г •

и -1

Поскольку величина при достаточно больших п близка к

единице, можно приближенно считать, что выборочная диспер - сия равна генеральной дисперсии, т. е. оген2 = оВЬ|б2.

Следовательно, средняя ошибка выборки показывает, какие возможны отклонения характеристик выборочной совокупности от соответствующих характеристик генеральной совокупности. Однако о величине этой ошибки можно судить с определенной вероятностью. На величину вероятности указывает множитель /. Поэтому мы можем записать:

где АдТ — предельная ошибка выборки, которая дает возможность вы­яснить, в каких пределах находится величина генеральной средней.

Значения этого интеграта для различных значений коэффи­циента доверия t вычислены и приводятся в специальных матема­тических таблицах. В частности, при

t = 1 F(t) = 0,683; t = 1,5 F{t) = 0,866;

t = 2 F (t) = 0,954; / = 2,5 F (t) = 0.988;

t=3 F (t) = 0,997; t = 3,5 F (/) = 0,999.

Поскольку t указывает на вероятность расхождения | ? - J |, т. е. на вероятность того, на какую величину генеральная средняя бу­дет отличаться от выборочной средней, то это может быть прочи­тано так: с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочной и генеральной средними не превышает одной величины средней ошибки выборки. Другими словами, в 68,3% случаев ошибка репрезентативности не выйдет за пределы ±ц. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что ошибка репрезента­тивности не превышает ±2д, (т. е. в 95% случаев). С вероятностью 0,997, т. е. довольно близкой к единице, можно ожидать, что раз­ность между выборочной и генеральной средней не превзойдет трехкратной средней ошибки выборки и т. д. Логически связь здесь выглядит довольно ясно: чем больше пределы, в которых допус­кается возможная ошибка, тем с большей вероятностью судят о ее величине.

Для различных способов отбора предельная ошибка рассчиты­вается при проведении выборки по-разному. Зная выборочную сред­нюю величину признака (х) и предельную ошибку выборки (Ду), можно определить границы (пределы), в которых заключена ге­неральная средняя:

А'-Ду <Х<Х + Ду.

Теорема Бернулли. Теорема Бернулли была доказана раньше теоремы Чебышева — Ляпунова, но является лишь частным слу­чаем последней. Она рассматривает ошибку выборки для альтер­нативного признака, т. е. признака, у которого возможны только два исхода: наличие признака (1) и отсутствие его (0).

Теорема Бернулли утверждает, что при достаточно большом объеме выборки вероятность расхождения между долей признака в выборочной совокупности (w) и долей признака в генеральной совокупности (р) будет стремиться к нулю.

В математических символах выражение теоремы Бернулли бу­дет иметь вид:

Р[ w-р<1 Ц ]-»!,

т. е. с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно ут­верждать, что при достаточно большом объеме выборки частость признака (выборочная доля) сколь угодно мало будет отличаться от доли признака (в генеральной совокупности). Ввиду того, что вероятность расхождения между частостью и долей следует зако­ну нормального распределения, эту вероятность можно найти по функции F (t) в зависимости от задаваемой величины г.

Из теоремы Бернулли следует, что величина расхождения между долей признака в выборочной совокупности (частостью) и долей этого признака в генеральной совокупности зависит, так же как и в расхождениях средних, от средней ошибки выборки.

Поскольку (і = а: 4п, а среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности для альтернативного признака равно

fpq > гДе Q ~ * — Р: т0 средняя ошибка выборки для альтернатив­ного признака будет найдена по формуле

Однако доля признака в выборочной совокупности нам не известна, и мы вынуждены заменить ее через долю того же при­знака в генеральной совокупности, т. е. принять w = р, а диспер­сию альтернативного признака принять за w(l~w). Тогда сред­няя ошибка выборки выразится формулой

Предельная величина разности между частостью и долей на­зывается предельной ошибкой выборки. О ее величине можно су­дить с некоторой вероятностью, которая зависит от множителя ґ, поскольку Дн> = ЦУ.

Зная выборочную долю признака (vv) и предельную ошибку выборки (Aw), можно определить границы, в которых заключена генеральная доля (р):

w—A w<p< w+A и’ .

Уточнение формулы средней ошибки выборки. Если отбор еди­ниц из генеральной совокупности произведен бесповторным спо­собом, то в формулы средней ошибки выборки вносится поправка:

где п — объем выборочной совокупности;

N — объем генеральной совокупности.

Выборочное наблюдение может быть осуществлено разными способами в зависимости от вида и метода отбора единиц сово­купности. По виду различают индивидуальный, групповой и ком­бинированный отборы. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной сово­купности, при групповом отборе — группы единиц, а комбиниро­ванный отбор предполагает сочетание группового и индивидуаль­ного отборов.

Метод отбора определяет возможность продолжения участия отобранной единицы в процедуре отбора.

Бесповторным называется такой отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в совокупность, из которой осуществляется дальнейший отбор, а после регистрации наблюда­емых признаков возвращается в исходную (генеральную) совокуп­ность для участия в дальнейшей процедуре отбора. При этом методе отбора объем генеральной совокупности на всем протяжении про­цедуры выборки остается неизменным, что обусловливает постоян­ную вероятность попадания в выборку всех единиц совокупности.

Повторный метод отбора применяется в случаях, когда харак­тер исследуемого явления предполагает возможность повторной регистрации единиц. Такая возможность может иметь место в выборочных обследованиях населения в качестве покупателей, пациентов, избирателей, абитуриентов и т. д. К повторному также приравнивается отбор из совокупности, границы которой не оп­ределены, например вследствие непрерывного производственно­го процесса. В подобных случаях значения отобранных единиц рассматривают как гипотетические величины, не исключающие возможности многократного повторения.

Способ отбора определяет конкретный механизм или проце­дуру выборки единиц из генеральной совокупности. В практике выборочных обследований наибольшее распространение получи­ли следующие виды выборки:

• собственно-случайная;

• механическая;

• типическая;

• серийная;

• комбинированная.

Собственно-случайная выборка заключается в отборе единиц генеральной совокупности наугад или наудачу без каких-либо эле­ментов системности. Однако прежде чем производить собственно­случайный отбор, следует установить четкие границы генеральной совокупности, чтобы включение или невключение в нее отдельных единиц не вызывало сомнений. Так, при обследовании торговых предприятий важно определить, включает ли генеральная сово­купность торговые павильоны, коммерческие палатки и прочие подобные объекты. Технически собственно-случайный отбор про­водится методом жеребьевки или по таблице случайных чисел.

Собственно-случайный отбор может быть как повторным, так и бесповторным. Для проведения бесповторного отбора в процес­се жеребьевки отобранные единицы обратно в исходную совокуп­ность не возвращаются и в дальнейшем отборе не участвуют.

После проведения отбора для определения возможных границ генеральных характеристик рассчитываются средняя и предель-

где с2 — выборочная дисперсия; и — число единиц выборочной совокупности.

При расчете средней ошибки собственно-случайной беспов - торной выборки необходимо учитывать поправку на бесповтор - ность отбора:

Механическая выборка применяется в случаях, когда генераль­ная совокупность каким-либо образом упорядочена, т. е. имеется определенная последовательность в расположении единиц (табель­ные номера работников, списки избирателей, телефонные номе­ра респондентов, номера домов и квартир и т. п.).

Для проведения механической выборки устанавливается про­порция отбора, которая определяется соотнесением объемов вы­борочной и генеральной совокупностей. Так, если из совокупно­сти в 100 ООО единиц предполагается получить 5%-ную выборку, т. е. отобрать 5000 единиц, то отбор единиц осуществляется в со­ответствии с установленной пропорцией через равные интервалы. В нашем случае при пропорции 1 к 20 (5%-ная выборка) — каж­дая 20-я единица.

Генеральную совокупность при механическом отборе можно ран­жировать или упорядочить по величине изучаемого или коррелиру­ющего с ним признака, что позволит повысить репрезентативность выборки. Однако в этом случае возрастает опасность систематичес­кой ошибки, связанной с занижением значений изучаемого призна­ка (когда из каждого интервала регистрируется первое значение) или его завышением (если из каждого интервала регистрируется послед­нее значение). Поэтому отбор целесообразно начинать с середины первого интервала, например при 5%-ной выборке отобрать 10, 30, 50, 70-ю и с таким же интервалом последующие единицы.

Для определения средней ошибки механической выборки ис­пользуется формула средней ошибки при собственно-случайном бесповторном отборе.

Типический отбор используется в случаях, когда все единицы ге­неральной совокупности можно разбить на несколько типических групп. При обследованиях населения такими группами могут быть, например, районы, социальные, возрастные или образовательные группы; при обследовании предприятий — отрасль и подотрасль, форма собственности и т. п. Типический отбор предполагает выбор­ку единиц из каждой типической группы собственно-случайным или механическим способом. Поскольку в выборочную совокуп­ность в той или иной пропорции обязательно попадают предста­вители всех групп, типизация генеральной совокупности позво­ляет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки, которая в этом случае определяется только внут­ригрупповой вариацией.

Отбор единиц в типическую выборку может быть организован либо пропорционально объему типических групп, либо пропор­ционально внутригрупповой дифференциации признака.

При выборке, пропорциональной объему типических групп, число единиц, подлежащих отбору из каждой группы, определя­ется Следующим образом:

При выборке, пропорциональной дифференциации признака, число наблюдений по каждой группе рассчитывается по формуле

где с, — среднее квадратическое отклонение признака в /-й группе.

Средняя ошибка такого отбора определяется следующим об­разом:

Отбор, пропорциональный дифференциации признака, дает лучшие результаты, однако на практике его применение затруд­нено вследствие трудности получения сведений о вариации до проведения выборочного наблюдения.

Серийный отбор удобен в тех случаях, когда единицы совокуп­ности объединены в небольшие группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться упаковки с определенным ко­личеством готовой продукции, партии товара, студенческие груп­пы, бригады и другие объединения. Сущность серийной выборки заключается в собственно-случайном либо механическом отборе се­рий, внутри которых проводится сплошное обследование единиц.

Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключе­ния единицы, средняя ошибка серийной выборки (при отборе рав­новеликих серий) зависит от величины только межгрупповой (меж- серийной) дисперсии и определяется по следующим формулам:

Межгрупповую (межсерийную) дисперсию вычисляют следу­ющим образом:

Комбинированный отбор. В практике статистических обследо­ваний помимо рассмотренных выше способов отбора применяет­ся и их комбинация. Так, можно комбинировать типическую и серийную выборки, когда серии отбираются в установленном по­рядке из нескольких типических групп. Возможна также комби­нация серийного и собственно-случайного отборов, при которой отдельные единицы отбираются внутри серии в собственно-слу - чайном порядке. Ошибка такой выборки определяется ступенча­тостью отбора.

Многоступенчатым называется отбор, при котором из гене­ральной совокупности сначала извлекаются укрупненные груп­пы, а потом — более мелкие, и так до тех пор, пока не будут отобраны те единицы, которые должны быть обследованы.

В отличие от многоступенчатой многофазная выборка предпо­лагает сохранение одной и той же единицы отбора на всех этапах его проведения. При этом отобранные на каждой стадии единицы подвергаются обследованию (на каждой последующей стадии от­бора программа обследования расширяется),

Исходя из вышеизложенного приведем формулы предельной ошибки выборки для наиболее часто используемых на практике способов формирования выборочной совокупности (табл. 12.2).

При осуществлении выборочного наблюдения возникает воп­рос о необходимой численности выборки. Она может быть определена на базе допустимой ошибки при выборочном наблю­дении исходя из вероятности, на основе которой можно гаранти­ровать величину устанавливаемой ошибки, и, наконец, на базе способа отбора.

Для определения необходимой численности выборки иссле­дователь должен задать уровень точности выборочной совокупно­сти с определенной вероятностью. В частности, необходимая чис­ленность случайной повторной выборки определяется по формуле

которая вытекает из формулы предельной ошибки

выборки. Так, увеличение допустимой ошибки выборки в два раза уменьшает необходимый ее объем в четыре раза. Формула необ­ходимой численности выборки для разных способов отбора выво­дится из формулы предельной ошибки выборки.

Таблица 12.2

Предельная ошибка выборки дли некоторых способов формирования выборочной совокупности

На практике определение необходимого объема выборки час­то составляет серьезную проблему. Она связана, в частности, с недостаточной разработанностью таких вопросов, как оценка ва­риации изучаемых признаков, обоснование численности выборки при изучении нескольких признаков, зависимость объема выбо­рочной совокупности от программы разработки материалов на­блюдения и т. п. При определении объема выборки необходимо учитывать организационные факторы (объем финансирования, кадры, материальные ресурсы, сроки обследования и т. д.).

Во многих случаях для более точного представления об изуча­емой совокупности, в том числе о вариации интересующих иссле­дователя признаков, может дать пробное обследование. По его данным рассчитать среднее квадратическое отклонение и диспер­сию для последующего обоснования необходимого объема вы­борки. Если мера колеблемости признака неизвестна, то ее мож­но найти приближенно по величине предполагаемого размаха или среднего линейного отклонения по следующим формулам:

R

а = — или о = 1,25 ■ /

6

где а — среднее квадратическое отклонение;

R — размах вариации;

/ — среднее линейное отклонение.

Важным условием практического использования этих формул является близость фактического распределения к нормальному. Исчисление среднего квадратического отклонения для явно не­симметричных распределений не имеет смысла.

Если расчет проводится по качественному альтернативному признаку и неизвестна его доля в генеральной совокупности (хотя бы приблизительно), то рекомендуется принять ее равной 0,5, так как дисперсия доли достигает максимума: cw2 = 0,25 при w = 0,5.

Преимущество такого приема заключается в том, что он по­зволяет определить численность выборочной совокупности, не располагая данными предыдущих обследований, и не проводить пробных обследований. Возможность экономии времени и ресур­сов часто оказывается решающим фактором при обращении к данному методу.

В ряде случаев приближенная оценка колеблемости может быть осуществлена с помощью превращения изучаемого признака в альтернативный. Например, все категории работников предприя­тия можно условно разделить в зависимости от принадлежности работающих на рабочих и служащих. Однако при этом следует учитывать, что такое деление неизбежно приведет к потере неко­торой части информации. Ведь существуют отдельные категории работников (МОП, охрана и др.), которые выделяются в самосто­ятельные группы. Поэтому применять описанный выше прием можно лишь при условии, что существует уверенность в незначи­тельной доле неучтенных единиц во всей совокупности.

Приведем формулы необходимого объема выборки для наибо­лее часто используемых на практике способов формирования вы­борочной совокупности.

Заключительным этаном выборочного наблюдения является распространение его результатов на генеральную совокупность. Однако часто при статистическом изучении социально-экономи­ческих явлений этому процессу предшествует оценка результатов наблюдения с точки зрения самой возможности распространения.

Вывод о возможности распространения в значительной степе­ни зависит от качества основы выборки, прежде всего — от ее полноты. Под полнотой подразумевается наличие или представ­ление всех типов или групп данной генеральной совокупности в основе выборки. Неполнота основы может привести к наруше­нию представительности выборки и, как следствие, к неправиль­ным выводам при анализе данных наблюдения.

Однако не следует обосновывать возможность распространения выборочных данных только анализом качества исходной информа­ции для отбора. Более точной основой суждения о возможности распространения представляется расчет относительной ошибки:

zVi

ДЛЯ средней: Ах = - г--100%; ;

Дч'

для доли: Д%=-^100%,

Р

где Д% относительная предельная ошибка выборки;

Ах и Aw предельная ошибка для среднего значения или доли призна­ка соответственно;

х ир — генеральная средняя и доля соответственно.

Суждение о возможности распространения выборочных дан­ных можно составить, если в формулах заменить х и р соответ­ствующими выборочными характеристиками. Необходимым ус­ловием при этом является соответствие плановой и фактігческой численности и структуры выборочной совокупности. При боль­ших расхождениях использование этого приема может привести к ошибочным суждениям.

Если величина относительной ошибки не превышает заранее установленного для обследования предельного значения, то дан­ные выборочного наблюдения являются представительными и могут быть распространены на генеральную совокупность. В про­тивном случае следует восстановить исходные пропорции выбороч­ной совокупности. Процесс восстановления пропорций выборки на основе исходной информации о таких пропорциях в генеральной совокупности принято называть корректировкой выборки.

Собранные в результате выборочного наблюдения и при не­обходимости откорректированные данные распространяются на генеральную совокупность. Существуют два основных метода рас­пространения: прямой пересчет и способ коэффициентов. Сущность способа прямого пересчета заключается в умножении среднего значе­ния признака, найденного в результате выборочного наблюдения, на объем генеральной совокупности. Способ коэффициентов целе­сообразно использовать в случаях, когда выборочное наблюдение проводится с целью проверки и уточнения данных сплошного наблюдения, в частности численности учтенных единиц совокуп­ности. При этом следует использовать следующую формулу:

Xi = X0-^

Уо

где Х{ — численность совокупности с поправкой на недоучет (расчетная);

Х0 — численность совокупности без этой поправки (проверяемая);

у0 — численность совокупности в контрольных точках по первона­чальным данным;

у, — численность совокупности в тех же точках по данным конт­рольных мероприятий.

Отметим, что цели исследования многих явлений могут быть достигнуты только путем сплошного наблюдения. Поэтому спо­соб проверки результатов сплошного наблюдения на основе ко­эффициентов успешно применяется в социальной и экономичес­кой статистике. До сих пор возможности выборки при уточнении данных сплошного наблюдения используются недостаточно. Од­нако применение выборочного обследования необходимо лишь в том случае, если данные сплошного обследования вызывают со­мнение. Кроме того, необходимо иметь соответствующие денеж­ные, материальные и трудовые ресурсы для его осуществления.