ПРОМЫШЛЕННАЯ ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ТЕОРИЯ И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ПРИМЕРЫ

Регенератор с постоянными температурами газа и воздуха

Если #Г°С — постоянная температура газа в рассматриваемой точке и йг. пов°С—/переменная темлерат. ура поверхности в той же самой точке, то количество тепла, передаваемое за время с1тт на каждый ж2,

СНЭг = аг • (&г—&г>пов) а ТГ ккал/ж2. (603)

То же самое количество тепла получается при увеличении средней температу­ры Фг-к. ср кирпича, а именно:

С. § • У

<ЩГ = »г к ср ккал/м*.

О s '

Здесь подставлено з/начение половины толщины кирпича, так мак пред­полагается, что кирпич обогревается с двух сторон. Следовательно, двусто­ронне обогреваемая бесконечно большая пластина предполагает случай, кото­рый можно наблюдать в насадке с гладкими каналами, в кауперах.

Введение функции /(тг)- Приравнивая уравнения (603) и (604), полу­чаем уравнение с дв-умя неизвестными Фг-пов и Эг. к.ср. Следовательно, от­сутствует второе ура^внение. Но теперь между Фглов и йг. к.ср существует связь, выражаемая через степень использования кирпича по уравнению (600),

О кото-рой ниже говорите^ более подробно. Прежде всего ясно, что за время большей части газового периода температура поверхности кирпича выше, чем его средняя температура, так как кирпич обогревается снаружи. Разность между температурой поверхности кирпича и его яредней температурой а те­чение периода будет изменяться как функция времени.

Следов ател ьно,

TOC o "1-5" h z аг. пов —V к. ср = /(тг). (605)

Где гг — более точно определяемая функция. Если величину [по уравнению (605)]

»г. пов = »г. к.ср (606)

Подставить в уравнение (603) и приравнять к уравнению (604), то

2 Y' ' dar. K.cp = ar I #r-*r. K. cp-/(Tr)]dTr (607)

Или, разделив на dxT и перенося все в левую часть, получим

D*r. к. ср 2 • аг. , 2аг, , . 2аг

D тг + с ■ S • т ■ г - к ср + С • в • 1 f (Тг) с-S. Т Х

X 9Г = 0. (608)

Решение этого линейного дифференциального урашения первого порядка да­ет величину

[c-j(7^T'W -7^*0 X

Г 2ar /

X е С ■ 5 ‘ Т • d тг 1. (609)

С— искомая константа интегрирования. Следовательно, в этом уравнении, есл1и решить круглые скобки и проинтегрировать показатель степени е, появ­ляется интеграл

Ы-/“' 7dTr. (610)

Как показывают предварительные расчеты, интегрирование этого выражения приводит к конечно-му выражению лишь тогда, когда /(тг) будет представ­лена функцией е. Любую функцию /(тг) в рассматриваемой области можно приближенно выразить «при помощи различнейших функций, например т г или

Тригонометрическими функциями, а также функцией е г, которая пригодна для определения постоянной С.

Соотношение между температурой поверхности кирпича $г. пов и его средней температурой Фк. ср. На рис. 56 схематичвоки изображена кривая распределения средней темшератугры кирпича Фг. к.ср и температуры его по­верхности “Ог. пов в газовый /период. По уравнению (600) '

1 д

Г. к. ср. макс ^г. к. ср. мин

Г. пов. макс “г. пов. мнн

Или, если изменение яредней температуры кирпича Фг. к.ср. макс— ^г. к.ср. мин обозначить сокращенно ДОг. к.ср, то

(611)

Бели теперь среднюю по времени температуру кирпича обозначить, согласно РИС. 56, ЧервЗ Ог. к.ср» 70

_ _ А8г. к. ср

^г. пов. макс г. к. СР

(612)

Следовательно, теперь мы ™еем половину колебания. Как. видно из рис. 56

Д»г. к. ср

V к. СР — V к. ср. макс “ 2 ^613^

Если эту величину - подставить 1В ура)В(нвние (612), то

» — Ч 4- А&г - к - ср

Г. пов. макс сг. к. ср. макс ' о

А_________ а Д&г - к-- СР 5-)

Г. пов. макс ^г. к. ср. макс ^ *1 /

Эта разность температур пю-казана на рис. 56. Вследствие симметрии такая же разность температур в начале газового периода наблюдается и на левой сто­роне рис. 56. Следовательно, для времени тг = 0, согласно рис. 56,

Аег. к. ср

^г. пов. мин= ^г. к. ср. мив 2 ^

Температура кирпича Ог. к.ср ради - простоты нанесена в виде прямой линии. В действительности она изменяется по кривой, (что уже подчеркива­лось) в газовый период вогнутой вниз, и в воздушный период — выпуклой. Следовательно, температура поверхности по сделанным выше расчетам в на-

1 — т)

Чале газового периода «а величину ЛФг. к.ср*----------------- меньше, чем средняя тем-

Пература кирпича, а в конце газового периода — на ту же величину больше. Между тем величина Ог. пов изменяется примерно по кривой, показанной на рис. Й6. Эта кривая Фг. пов—^г. к.ср справедлива теперь как функция е и изображается как функция. от Тг. Принимая во внимание свойства показа­тельной функции, в виде опыта вводим уравнение

_в_^_

TOC o "1-5" h z »г. пов - *г. к. ср = С, + с2 (1 - е Тг п ). (617)

Здесь Си С2 и п — постоянные, которые нужно »определить. Для времени = 0 по рис. 56. г

(•р. ПОВ ^Г. К. ср )тг ев о == к. ср * ^ • (618)

С другой стороны, по уравнению (617) для времени тг = О

(*Г. пов V к. ср )тр — О = С + С2 * (619)

Следовательно, из уравнений (619) и (618) получим значение

1-4

24

Далее по рис. 56 для времени гг=^г. п

TOC o "1-5" h z Ог. пов — 8г. к.ср Кг = *Г-П = Д8г. к.ср • ~ • (621)

По уравнению (617) для времени гг=хг. п

(»Г. ПОВ - »г. к. ср )хг = ХГ. П = С, + С2 (1 е~п ). (622)

Приравнивая уравнение (621) к (622), долучим величину

1-4 _

и, подставляя значение С из уравнения (620),

1-4

■А».

Г. к.ср

'П

Со =

1 — е“Л

Следовательно, уравнение (617) примет вид

1-4

П________________ О.

Г. пов г. к.ср

2Г)

— п •

1-Ч

ИЛИ

	Г 1 г-п
(626)

В самом деле, это уравнение три любых (Показателях п для времен« =0 переходит в уравнение (615) и при ^г=Тт. п — в уравнение (621).

0.2 О. Ч 0,6 0,8

Время 7

Рис. 57. Повышение температуры поверх­ности кирпича при различных значениях п

На рис. 57 дано изменение температуры поверхности, вычисленной по урав­нению (626) при подстановке следующих значений:

А^г. к.ср = 200 °С;

^ = 0,5;

(^Г. к.ср )тг=» 0 ^ ^Г. К.Ср. МИН = С,

Л=1; 4; 8: оо.

Видно, что кривая температуры поверхности в начале (растет тем быстрее, чем больше (выбран л. Хаузен в своей работе предполагал мгновенное измене-

Ние температуры поверхности в начале периода газа; оно соответствует по уравнению (626) или по рис. 57 значению /г=оо. Но практически такое бы­строе изменение температуры ©следствие термической инерции невозможно и ело можно применять лишь (В первом приближении. Как показали измерения Г. Нойманна, А. Шака, П. Кюна и В. Францена *, проведенные в каупере, а также прикидочные расчеты по формулам Гребера, повышение фактически происходит медленнее: примерно по кривой /1=8. Как будет выяснено ниже в числовом расчете, влияние п в области между 6 и 10 так мало, что воз­можная ошибка при выборе п не даст большой погрешности.

Следовательно, функция, которая была неизвестна в уравнении (605), определена в уравнении (625). Она равна:

/ к > - 1 ; -0 <«?>

Пользуясь этим уравнением, можно не только выразить принимающееся во внимание изменение температуры поверхности кирпича, но и осуществить вто-

Т

Рое условие, так как оно содержит переменные в форме е г.

Средняя температура кирпича Ог. к.ср

Бели уравнение (627) подставить в уравнение (609) и провести преоб­разования в скобках, то получим для средней температуры в момент време­ни тг часов после начала периода газа

^г. к. ср е

1-е с ■ s. 7 1

2 ]

2 ос х * г г

TOC o "1-5" h z 2 аг Г С ■ s у )

+ с S. Г f*T ' * rfTr

Зведение

V I 2а г _ "

■ Т е • S • Т тг. п J

(628)

Тг. п с • 5 е • е = е

2 *аг п

где ------- —------- является постоянной величиной, то теперь можно легко про-

C-S-7 ТГ. П

♦Neumann, G., Schack, A., Kьhn, P., F r a n z e n, W., Versuche an einem neuzeitlichen Winderhitzer auf der Charlottenhьtte in Nie­derschelden, Mitt. Wдrmestelle, Ver. Dtsch. Eisenh*, Nr 82 (1926).

Вести интегрцров'ание. Оно дает

Е • С • Ї ^г. к.ср 0 ч)

TOC o "1-5" h z — Г . о 1 _______________ -

Г. к.ср е, я Х

У)(1 - е~п)

Е 1 1

1— - п ■ с • в • 1 ") |+®г - (629)

1 2аг тг. п ]

Тетерь (можно определить постоянную 'интегрирования С. Для »времени =0 средняя температура кирпича должна быть 8Г1К, таричем 0Г1К для упроще­ния написания обозначает обычное ^г. к.ср. Следовательно, для времени тг =0 гао уравнению (629)

TOC o "1-5" h z

Г, К 4(1 -«-»)

Х " ' - " ' ■ +»г. (630)

Отсюда 'находим величину С:

А»«.ср<1-4) ..

.•‘.-т - Т(|-^|- <взо

[_ %аг тг п I

Средняя во времени температура поверхности Фг. пов, сР

В дальнейшем ради краткости вместо полного выражения (631) будем подставлять его значение через С. Так как целью этого расчета является определение средней во времени температуры поверхности в газовый период, то теперь можно перейти к ее определению.

По уравнению (605)

^г. пов ^ ^г. к.ср "Ь ( (тг ) или с учетом /уравнения (627)

Если в это уравнение подставить $г. к.ср из. уравнения (629), то после. преоб­разований получим

TOC o "1-5" h z

С S • у ^Г. К. ср (1 ч)

Е

4(1 - е~п)

1

°С. (633)

2аг * тг. п

Таким же образом, как и уравнение (626), поигучавм для воздушного периода

— п

1 — **) / 1 — е в, п

^В. ПОВ ^Г. к.ср ^ ^^Г. К.ср * ~ ~ ^ 1 [191] ^ ___ п J ; (634)

Величины, входящие в выражения, данные для воздушного периода, отличают­ся от соответствующих величин для газового периода лишь индексом «в».

Для воздушного периода получаются следующие уравнения, как и для газового периода:

TOC o "1-5" h z <?В = “в (°г. пов - вв)а ТВ ккал/м*- (635)

По уравнениям (614) и (567) сокращенно

^в. пов ^ ^в. к.ср / (тв)* (636)

Следовательно,

«в = “в 1»в. к.ср - f (тв) - У а V С637)

Далее

<!(}в = - С ' *:Т" • Л »в к-ср ккал/м*. (638)

Здесь поставлен отрицательный знак потому, что кирпич охлаждается, сле­довательно, с? Фв. к.ср —величина отрицательная.

Теперь точно таким же методом, как и для газового периода, получим

»вкср = С'. Г 77-7 + Чхср(‘~1|--Х

ВК СР (1 — е~п) Г)

— п

1В. П

Собом, каким определялась С из уравнения (630), получаем значение

1-у)

С' = »г2к-»«-Д»г. к.ср

4(1-е-п) ~е-п~

П • С • S - 7}

2ав ТВ. П

SHAPE \* MERGEFORMAT

Подставляя Фв. к.ср из уравнения (634) в уравнение (639), получим ис­комую температуру Поверх ногти кирпича в воздушный период:

2 «в • тв

~ С S У Д^г к со 1 ч

+С'.« +7Г77--^Гх

T

П • с • s • Y

Найдем теперь разность между средними во (времени температурами поверхности кирпича в газовый и воздушный периоды. Как известно, среднее значение функции /(т г) в интервале от 0 до тГп выражается через

F (*г) d тг.

Таким образом, средняя температура поверхности кирпича в газовый период с учетам того, что Фг —const,

Ъг • d тг = V

По уравнению (633) равна

*г. п. 2агтг

С Г cs - т, “"г. к.ср

TR.

Интегрируя, получаем среднюю температуру кирпича в определенной точ­ке регенератора їв газовый іпериод

2«г тг. п

Ч. , Г С' 7 Л с.,.г. мг. к.ср

TOC o "1-5" h z Г. ПОВ. Ср Г “Ь ^ * 9 */(1 е ) „ ^

Г г. п п

X •^=^-11 —------------------- 1------------ °С. (643)

“ !___ Д-с-8-т

2 • “г • тг. п

Таким же образом определяется средняя температура поверхности кирпича в воздушный период из уравнения (641):

— 2ав тв. п

TOC o "1-5" h z С ' ^ * К С • й • У К £*Ч

»В. пов. ср = »в+С>- -(1-е 7)+—

1 ■ “в • В. П п

X • / 1------------ —------- : . (644)

1 п • С • 5 - 7 1

1

2 • а • т і в В. ПОвУ

Разность между средними температурами поверхности кирпича 8*г. пов, ср И &в. пов-ср

Чтобы не усложшть формул, необходимо ДЛЯ определения ^Г. ПОВ. Ср— ^в. пов. ср предположить, что в регенераторе продолжительность газового пе­риода тг. п равна продолжительности воздушного периода тв. п и что коэффи­циент теплоотдачи от газа к кирпичу «г равен коэффициенту теплоотдачи от кирпича к воздуху <*в. Приходим к аіналогичному результату (даже с еще большим «соответствием практическим условиям), если примем, что =автв. п*Эта предположения вносят несущественную ошибку в конечный ре­зультат расчетов, так как регенератор <с одинаковыми коэффициентами теп­лоотдачи в отношении аккумулирующей способности и теплового сопротив­ления кирпича, влияние которых необходимо определить, относится немного иначе, чем такой же регенератор с различными коэффициентами теплоотда­чи и продолжительностью периодов. Следовательно, должно

Сообразно с этим разность средних температур поверхности кирпича в пе­риод газа и воздуха по «уравнению (643) равна

Из уравнений (631) и (634) получаем

2 А0Г к (1 —тз)

С-С' = »г1к-»г2к-»г + »в + ——f------------------------------------ X

(1-е п) . 7}

І е п

’+-------- s------ • (646)

П • С • S • у 2аг тг. п

В этом выражении 0Гік —&пк — есть не что иное, как среднее изменение температуры кирпича за период. Следовательно,

8Пк-»г2к=-Д»г. к.ср - (647)

Отрицательный знак объясняется тем, что 0Г2к больше Огік-

Коэффициент теплопередачи х регенератора при Фг = const « #в = const

В соотношении

А8г. к.ср • С " 2 = х (&г — К) ккал/м* ■ пер. (648)

C-s-f

А&г. к.ср—~— не чт0 иное» как количество тепла, передаваемое за период

На 1 м2. Если АФг. к.ср из уравнения (648) подставить в уравнения (645) и (646), то окончательно получим

SHAPE \* MERGEFORMAT

Но необходимо учесть, что по уравнениям (581) и (583)

(^г. пов. ср ^в. пов. ср >------------------- )

Или

^г. пов. ср »в. пов. ср (650а)

0Г %ИД

Если это выражение подставить в уравнение (649) и решить относительно х, то получим в качестве искомого коэффициента теплопередачи регенератора с постоянными температурами газа и воздуха:

2а т г г. п

2аг 'гг. п

2а т г г. п

О-,

Ккал/ц2пер°С.

1-Т)

+

” С 5 7 _ ; И П'Г> I "• С~8~'Г_1 I (6&1)

2аг V п / _| V 2аг тг. п /