Прогрессивные технологии сооружения скважин

ПРОБКООБРАЗОВАНИЕ

Основной недостаток наиболее широко применяемых в прак­тике технологий доставки гравия в интервал формирования об­сыпки через кольцевое пространство скважины и вспомогатель­ную колонну труб — пробкообразование. Образование гравийной пробки выше интервала сооружения фильтра приводит сначала к ограничению, а затем и прекращению поступления частиц в зону

411

Продуктивного пласта. При зависании гравия выше продуктивно­го пласта каркас фильтра непосредственно контактирует с пес­ком, что обусловливает аварийное состояние скважины. Ликви­дация пробок требует значительных затрат времени и средств, а в некоторых случаях приводит к необходимости переоборудова­ния скважины.

Целесообразно в процессе сооружения гравийного фильтра ориентироваться на технологию, обеспечивающую предупрежде­ние пробкообразования, а не на планирование дополнительных мероприятий по ликвидации пробок. Глубокие скважины прак­тически не оборудуются гравийными фильтрами. Имеется еди­ничный опыт сооружения гравийных фильтров в глубоких сква­жинах, что свидетельствует о непосредственной связи механизма пробкообразования не только с глубиной скважины, но и с ря­дом других факторов, влияние которых на процесс транспорти­ровки гравия в зону фильтра пока не определено.

В отечественной и зарубежной литературе нет работ, специ­ально посвященных процессам образования гравийных пробок в вертикальных потоках жидкости, что вызывает необходимость в проведении анализа имеющихся разработок в смежных областях знания. Очевидно, что процесс пробкообразования определяется закономерностями перемещения твердых частиц в потоке жидко­сти, которые рассматриваются в теории промывки скважин, гид­равлического и пневматического транспорта, обогащения и гид­равлической классификации материалов в потоках, гидравлики движения наносов в открытых руслах, теории гидродинамики, массопередачи, а также псевдоожижения и теории фонтанирую­щего слоя.

По мнению автора, процесс образования гравийных пробок может протекать двумя путями. Первый заключается в формиро­вании гравийной пробки в некотором сечении кольцевого про­странства скважины, в котором концентрация частиц гравия со временем увеличивается. Формирование пробки происходит в три этапа (рис. 8.11).

На первом этапе на некотором участке АВСД потока проис­ходит зависание мелкой фракции гравия, а частицы больших размеров, проходя сквозь слой мелких частиц, свободно осажда­ются в зоне фильтра (см. рис. 8.11, а). На втором этапе число зависших в зоне АВСД мелких частиц увеличивается, достигая критических концентраций, когда сначала затрудняется, а затем и прекращается миграция сквозь слой мелких частиц крупных фракций гравия (см. рис. 8.11, б). На последнем этапе формиро­вания пробки весь закачанный в скважину гравий не поступает в зону фильтра, а зависает над участком АВСД (см. рис. 8.11, в). 412

Очевидно, что первый вариант формирования гравийной пробки носит узкий характер, так как может объяснить пробко­образование только в восходящем потоке жидкости. Поэтому наиболее справедливым следует считать второй вариант, заклю­чающийся в предположении о формировании гравийной пробки от границ потока к его центру (см. рис. 8.11, г, д, е). В начальный период закачки гравия некоторые частицы под влиянием ряда причин стремятся переместиться от центра к границам потока,

413

Где скорость движения жидкости близка к нулю и частицы на­липают или зависают на поверхности обсадных или фильтровых труб (см. рис. 8.11, г).

На втором этапе формирования пробки (см. рис. 8.11, д) час­тицы гравия прижимаются не к стенкам труб, а к уже зависшему на них гравийному материалу. Со временем толщина налипшего слоя увеличивается и достигает критических значений, когда за­качиваемый в скважину гравий зависает над налипшим слоем и не поступает в зону фильтра (см. рис. 8.11, е).

Механизм формирования гравийной пробки по первому вари­анту (см. рис. 8.11, а, б, в) просто объясняется с позиций гидрав­лики. Второй вариант, предполагающий формирование гравий­ной пробки за счет перемещения частиц от центра к границам потока, позволяет объяснить пробкообразование в потоках лю­бого направления и поэтому представляет наибольший интерес. Прижатие и налипание частиц на стенки труб и скважины будет наблюдаться при условии, если суммарное воздействие активных сил, приложенных к частице, сместит ее от центра к границам потока. Рассмотрим теоретические обоснования исследований механизма перемещения частиц в направлении, перпендикуляр­ном направлению потока, предложенные различными исследова­телями.

В теории промывки скважины отмечается, что образование сальников в кольцевом пространстве - явление широко распро­страненное. Г. Цайдлер, проводивший исследования на специаль­ном стенде, свидетельствует, что некоторые частицы налипают на стенки скважины и не выносятся на поверхность даже при фор­сированных режимах промывки. Таким образом, ученый доказал, что на вынос частиц из скважины влияет не только величина скорости потока, но и другие факторы.

A. К. Козодой и другие исследователи считают, что на частицу шлама при промывке действуют три силы: вес, сила Архимеда и сила сопротивления. Очевидно, что все эти силы направлены по оси вертикального потока и не могут вызвать перемещение в перпендикулярной плоскости. Поэтому предложенное теоретиче­ское объяснение перемещения частиц в потоке не объясняет пробко - и сальникообразование.

B. Г. Беликов объясняет перемещение частиц в горизонтальной плоскости влиянием силы Жуковского, возникающей за счет различной скорости обтекания по противоположным от верти­кальной оси симметрии сторонам частицы из-за наличия гради­ента скорости по сечению потока. Скорость потока увеличивает­ся от границ к ядру, принимая максимальные значения в центре симметрии потока, и сила Жуковского при любом положении 414 Частицы в потоке пытается сместить ее в центр, где величина действующей горизонтальной силы снижается до нуля. Следова­тельно, предложенная теория не только не объясняет процесса налипания частиц на стенки потока, а скорей наоборот, доказы­вает его невозможность, чем противоречит многочисленным практическим данным.

В. Ф. Роджерс определяет механизм перемещения частиц в потоке либо законом Стокса, либо законом Риттингера (в зави­симости от режима движения), которые не позволяют оценить перемещение частиц в плоскости, перпендикулярной направле­нию вертикального потока.

Специалистами по гидро - и пневмотранспорту механизм дви­жения частиц рассматривался в основном применительно к гори­зонтальным потокам. В. М. Карасик считает, что на частицу в потоке действуют подъемная сила Жуковского; подъемная сила, вызванная турбулентной пульсацией, пульсация давления, сила веса, сила лобового давления, сила трения при обтекании жид­костью частицы. Из вышеперечисленных сил применительно к вертикальному потоку жидкости горизонтальное смещение может вызвать только сила, вызванная турбулентной пульсацией. Одна­ко величина и направление турбулентных пульсаций постоянно хаотически изменяются и поэтому, если в некоторый момент времени частица за счет одной турбулентной пульсации пере­мещается к границе потока, то под действием другой, имеющей противоположное направление — переместится наоборот к цен­тру потока. Кроме того, установлено, что в потоке преобладают вихри, закручивающиеся от границ к центру потока и, следова­тельно, вызывающие преимущественное перемещение частиц от границ потока к его центру.

A. Е. Смолдырев считает, что на частицу в потоке действуют четыре силы, а именно: сила тяжести без учета Архимедовой си­лы; подъемная сила Жуковского; сила гидродинамического дав­ления и сила молекулярного взаимодействия. Очевидно, что дей­ствие вышеперечисленных сил применительно к вертикальному потоку не может объяснить пробкообразования.

B. И. Муштаев и другие авторы, рассматривая механизм дви­жения частиц в закрученном потоке газа, выделяют следующие действующие на частицу силы: центробежная; гидродинамиче­ского сопротивления; тяжести; переносная Кориолисова; подъем­ная Жуковского; подъемная Архимедова. При взаимодействии частиц со стенками потока и другими частицами добавляются силы: трения качения; удара частицы о стенку; удара частицы о другую частицу. Горизонтальное смещение частицы к границам потока можно объяснить либо центробежной силой, либо силой

415

Удара частицы о другую частицу. В процессе доставки гравия в скважину поток гравийной смеси не закручивается и центробеж­ная сила равна нулю. Закачку осуществляют при концентрации гравия в потоке менее 15 %, что свидетельствует об отсутствии взаимодействия между частицами. В связи с этим, ни центро­бежная сила, ни сила взаимодействия частиц друг с другом не позволяют описать механизм пробкообразования.

В теории гидравлической классификации движение частиц в потоке рассматривалось многими специалистами. Б. В. Кизеваль - тер выделяет следующие действующие на частицу силы: тяжести; Архимеда; сопротивления для равномерного движения частицы; дополнительная составляющая сопротивления, вызванная уско­ренным движением частицы в потоке. Ни одна из четырех сил не может способствовать смещению частиц к границам потока.

Г. К. Смышляев и Г. Д. Краснов учитывают только силы веса, сопротивления и гидравлического давления, что также явно не достаточно для объяснения механизма налипания частиц на стенки скважины и труб.

В теории движения наносов в открытых руслах рассматрива­ется механизм взвешивания частиц под действием подъемных сил Жуковского и турбулентной пульсации. Теория псевдоожи­жения и фонтанирующего слоя рассматривает стесненное движе­ние частиц, учитывающее силу тяжести, гидродинамическое дав­ление и влияние частиц друг на друга в зависимости от их кон­центрации.

К. Матур отмечает, что при обтекании частицы возникает отрыв потока, который может оказать существенное влияние на перемещение частицы. Однако такое утверждение противоречит данным, полученным П. Чженом. Он доказал, что отрыв потока может быть ликвидирован за счет вращения частицы. Анало­гичный вывод ранее сделал Прандтль. Отрыв потока наблюдает­ся за жестко закрепленной в потоке частицей, что соответствует методике эксперимента. При возможности свободного перемеще­ния частицы она вращается, что способствует ликвидации от­рывного течения. Устранение отрыва потока за счет вращения частицы вытекает из энергетической теории гидротранспорта, согласно которой при движении частицы в потоке потери энер­гии в системе жидкость — твердое тело стремятся к минимуму. При отрыве потока сопротивление обтеканию тела возрастает в среднем на 14,5 % и поэтому частица вынуждена поворачиваться или вращаться с целью устранения отрыва потока, что обеспечи­вает минимум потерь напора при транспортировке твердого.

В. Г. Беликов считает, что перемещение шлама от центра к границам потока объясняется вращением частиц. С другой сто - 416 Роны, Г. Цайдлер отмечает, что вращение частиц в потоке носит временный характер, а в пристенной области частицы не враща­ются совсем. К. Матур и Н. Эпстайн показывают, что в фонта­нирующем слое вытянутые частицы движутся без вращения.

Из представленного каждого обзора следует, что существую­щие теории не объясняют механизма перемещения частиц от центра к границам потока, их налипание на стенки, т. е. процесс пробкообразовзния.

Наряду с отсутствием прямого объяснения механизма образо­вания пробок существуют экспериментальные работы, позво­ляющие косвенно судить о горизонтальном распределении час­тиц в вертикальном потоке. Многими исследованиями доказана связь между скоростью движения частицы в вертикальном пото­ке и ее формой.

В. Г. Волков предлагает ввести в формулу Риттингера эмпири­ческий коэффициент, учитывающий зависимость скорости дви­жения частиц от их формы. Значения коэффициента изменяются от 27,3 (для округлых зерен) до 19,7 (для плоских зерен). Для шара данный коэффициент равен 44,29 (по Риттингеру) или 55 (по Люону). Монроэ установил, что чем неправильнее форма частиц, тем меньше скорость их падения в потоке. Для шара ско­рость падения частиц равна скорости витания, т. е. соответствует значениям, рассчитанным по формуле Риттингера.

В ИГД АН СССР опытным путем установили, что происхо­дит расслаивание частиц в зависимости от их формы. И. Ф. Де - видсон и Д. Харрисон показали, что скорость витания зависит от фактора формы частиц. К аналогичному выводу пришли Л. Аб - рагам, П. Пизо, Ф. Чинкабилла и С. Фаббри, К. Хейсканен.

В теории гидравлической классификации материалов также отмечена связь между скоростью падения частиц и их формой. Однако эта зависимость устанавливается не дополнительным коэффициентом, а считается, что коэффициент сопротивления обтеканию в формуле Риттингера — это функция формы частиц и кривые Рабея, построенные для одинаковых чисел Рейнольдса, но для частиц различной формы, не совпадают друг с другом.

Н. С. Григ и Р. И. Рэтбан приводят результаты исследования скорости падения частиц различной формы. Кривые зависимости скорости падения от диаметра частиц различной формы сравни­вались с кривой Рабея, построенной для сферичных частиц, и при этом отмечалось, что причина несоответствия значений, по­лученных по формуле Рабея и данных доклада неизвестна.

Скорость витания частиц определяется по известным форму­лам на основании средней скорости потока, но на частицу в по­токе действует сила гидродинамического давления, пропорцио-

417

Нальная квадрату не средней, а местной скорости в точке, в ко­торой находится частица. Поэтому скорость выноса частиц зави­сит от положения частицы в потоке и чем ближе частица нахо­дится к границе потока, тем меньше скорость ее движения в вос­ходящем потоке.

Принимая во внимание, что скорость транспортировки частиц потоком зависит от формы, разумно предположить, что частицы по сечению потока распределяются в зависимости от формы. Чем более сплющена частица, тем ближе она располагается к границе потока. Очевидно, что при определенной форме (назовем ее кри­тической) частицы прижимаются к стенкам потока, налипают на них, образовывая пробки. В связи с этим фактор формы может определять перемещение частиц от центра к границам верти­кального потока.

Смещение частиц к границам потока, их налипание на стен­ки - необходимое, но не достаточное условие пробкообразова­ния. Наряду с механизмом налипания частиц на границы потока для образования пробок необходимо, чтобы первичный контур пробки сохранял свою устойчивость и не разрушался в потоке жидкости. Работы, посвященные устойчивости гравийных пробок в кольцевом пространстве скважины, не известны. Устойчивость свода сыпучих пород над кровлей горной выработки рассматри­валась М. М. Протодьяконовым. Предложенная теория не позво­ляет оценить механизм разрушения свода равновесия при нали­чии фильтрации жидкости через сыпучую породу. Интересные исследования проведены Н. Стейном относительно возможности образования устойчивых арочных песчаных структур около от­верстий фильтра. Н. Стейн опытным путем показал, что устой­чивость песчаных арок сохраняется только при ламинарном при­токе из пласта. В турбулентном потоке своды равновесия бы­стро разрушаются. Очевидно, что использование предложенной методики оценки устойчивости арочных структур применительно к гравийным пробкам в кольцевом пространстве скважины не­корректно, так как в первом случае наблюдается радиальная фильтрация, a с последнем — плоскопараллельная. Кроме того, Н. Стейном не предложено количественной оценки устойчивости арочных структур.

Итак, для образования гравийных пробок необходимо нали­чие либо восходящего потока в кольцевом пространстве сква­жины, либо условий, при которых частицы гравия стремятся сместиться из центра к границам потока, где они зависают на стенках скважины или обсадных труб. Смещение частиц к стен­кам, их налипание и зависание — необходимое, но недостаточное условие пробкообразования. Предупредить пробкообразование 418 Можно в случае разрушения образовавшихся структур пробки в потоке. Механизм пробкообразоеания за счет налипания частиц на стенки и характер устойчивости структур пробки объяснить на базе имеющихся работ невозможно, в связи с чем автор счи­тает необходимым привести теоретические основы механизма пробкообразования, которые могут послужить основой для раз­работки новой техники и технологии, модернизации имеющегося оборудования.

Пробкообразование в ламинарном потоке жидкости

В процессе доставки гравия на забой скважины через кольце­вое пространство частицы движутся преимущественно в лами­нарном потоке. Ламинарный режим устанавливается при малых скоростях движения жидкости (до 0,1 м/с), для восходящего по­тока ограниченными возможностью выноса или зависания час­тиц гравия, а для нисходящего потока — производительностью откачного оборудования.

Рассмотрим движение сферичных гравийных частиц в лами­нарном потоке в направлении оси х, перпендикулярной верти­кальному потоку жидкости. Дифференциальное уравнение дви­жения частицы имеет вид

D г=п r r r

- (mvx) = Z Fx = Fk1 + + Fc, (8.12)

Dt г=1

Где t — время; m — масса частицы; vx — скорость частицы в направлении оси х; Fx — проекция силы на ось х; FX1 — первая

Составляющая подъемной силы Жуковского; Fra — сила гидро­динамического давления; FG — сила сопротивления.

Первая составляющая силы Жуковского FX1 возникает за

Счет наличия циркуляции скорости Г по контуру гравийной час­тицы. Циркуляция скорости Г по контуру частицы наблюдается при наличии изменяющегося по сечению градиента скорости по­тока. Скорость обтекания частицы по ее противоположным отно­сительно вертикали сторонам различна, и, соответственно, со­гласно уравнению Бернулли различно и давление, действующее на противоположные стороны частицы (рис. 8.12). Скорость об­текания поверхности частицы, направленной к центру потока, всегда больше, чем скорость обтекания поверхности, обращенной к границе потока. Поэтому первая составляющая силы Жуков­ского при любых условиях пытается сместить частицу от границ

419

К центру потока, что способствует предупреждению пробкообра­зования. Первая составляющая силы Жуковского

= рГ щй, (8.13)

Где р — плотность жидкости; ui — скорость потока в сечении координаты центра тяжести частицы; d — диаметр частицы.

Циркуляция по контуру гравийной частицы из-за наличия градиента скорости по сечению потока

Г = | uidx. (8.14)

І

Для сферичной формы частиц после интегрирования равенст­ва (8.14) и подстановки результата в уравнение (8.13) получим уравнение дли определения величины первой составляющей си­лы Жуковского

FX1 =wS(щ2 - u22), (8.15)

Где у — коэффициент сопротивления; S — площадь Миделевого сечения частицы; u1, u2 — скорости обтекания частицы по проти­воположным относительно оси симметрии потока сторонам.

Величину скорости в любой точке сечения потока легко опре­делить, если известен закон ее распределения по сечению потока. Большинство авторов утверждают, что при ламинарном режиме этот закон с достаточной точностью (для практических расчетов) может быть выражен параболой вида u = ax2 + b. Принимая во внимание справедливые для ламинарного режима движения сме-

420
Си граничные условия о равенстве максимальной удвоенной средней скорости потока umax = 2U и учитывая, что на стенках скважины и труб X = ±(D0 - Аф)/2 скорость потока U равна ну­лю, получаем уравнения для определения скоростей обтекания частицы по противоположным от вертикальной оси симметрии сторонам

1 --

(Ак - Аъ)

И

D

X + — 2

(Dк - Аф)

Диаметр обсадной и фильтровой колонны соответст-

Где Ак, Аф венно.

Выражая среднюю скорость потока u через расход смеси Q и площадь сечения потока ®кп = 0,785(Ак : Аф) и подставляя зна­чения u и u2 в уравнение (8.15), получаем выражение для пер­вой составляющей силы Жуковского

Где A S — размер кольцевого зазора (A S = Ак — Аф).

Первая составляющая силы Жуковского способствует смеще­нию частиц из периферийных в центральные сечения потока, препятствуя тем самым формированию первичных структур гра­вийных пробок по второму варианту пробкообразования.

Из уравнения (8.16) следует, что первая составляющая силы Жуковского достигает своих максимальных значений у стенок потока (градиент скорости максимален) и минимальных значе­ний — в центре потока (скорость обтекания частицы по противо­положным поверхностям одинакова и сила Жуковского для сферичной частицы обращается в нуль). Очевидно, что выраже­ние (8.16) справедливо для восходящего и нисходящего лами­нарного потоков. С целью объяснения механизма перемещения частиц из центральных сечений к границам потока и их зависа­ния на стенках скважины и труб, способствующего пробкообра - зованию, были проанализированы возможные причины и сферы проявления такого смещения. На частицу действует горизон­тальная составляющая силы гидродинамического давления Fгд.

421

Характер возникновения этой силы становится понятен, если представить действие ламинарного потока на поверхность части­цы как действие бесконечного числа параллельных струек жид­кости бесконечно малого диаметра на наклонную плоскость, что справедливо согласно определению ламинарного режима движе­ния потока.

Горизонтальная проекция гидродинамического давления со­стоит из двух составляющих (рис. 8.13). Первая составляющая, действующая на четверть поверхности сферы и находящаяся ближе к оси симметрии потока, отлична от второй, действующей на четверть поверхности сферы, близлежащей к границе потока. В результате различия (по величине) первой и второй состав­ляющих гидродинамического давления возникает усилие, дейст­вующее на частицу в горизонтальной плоскости. В восходящем потоке сила гидродинамического давления пытается сместить частицу от центра к границам потока, так как горизонтальная составляющая Fra, действующая на четверть поверхности час­тицы, обращенную к оси потока, выше, чем на противоположную поверхность. В нисходящем потоке действующую на частицу си­лу правильнее назвать не силой гидродинамического давления, а силой гидродинамического сопротивления. Скорость движения частицы в нисходящем потоке выше, чем скорость движения жидкости. Скорость жидкости в любом сечении нисходящего ламинарного потока увеличивается от границ к центральным се­чениям, а скорость движения частиц не зависит от ее положения

В потоке. Поэтому можно утверждать, что абсолютная скорость частицы относительно слоев жидкости тем больше, чем меньше эта частица удалена от оси потока. Следовательно, для нисходя­щего потока горизонтальную составляющую силы гид­родинамического сопротивления можно также определить через действие элементарных струек на поверхность частицы (см. рис. 8.13). Действие элементарной струйки на частицу в горизонталь­ной плоскости определяется выражением

/гд = 0,5р u2S sin 25,

Где u — скорость элементарной струйки жидкости; 5 — угол на­клона касательной к поверхности частицы и вертикали.

Проинтегрировав уравнение (8.17) с учетом градиента скоро­сти по поверхности частицы, получим уравнение для определе­ния горизонтальной составляющей гидродинамического давления (сопротивления)

(8.18)

В восходящем потоке первая составляющая силы Жуковского способствует смещению частиц от границ к центру, а горизон­тальная составляющая гидродинамического давления наоборот, препятствует такому смещению. Первая составляющая силы Жу­ковского в п/2 превышает горизонтальную составляющую силы гидродинамического давления, поэтому в установившемся ре­жиме сферичные частицы движутся всегда в центральных сече­ниях потока и первичные структуры гравийных пробок по вто­рому варианту пробкообразования (см. рис. 8.11, г, д, е) не обра­зуются.

В нисходящем потоке первая составляющая силы Жуковского и горизонтальная составляющая гидродинамического сопротив­ления способствуют смещению частиц из периферийных в цен­тральные сечения потока и первичные структуры гравийных пробок по второму варианту также не формируются. Эпюра рас­пределения усилия, смещающего сферичную частицу к центру в зависимости от положения частицы в потоке, представлена на рис. 8.14. Очевидно, что чем дальше частица находится от центра потока и чем больше ее диаметр, тем выше действующее на нее суммарное усилие.

423

Вывод о том, что сферичная частица всегда движется в центре вертикального потока [см. уравнения (8.16) и (8.18)] хорошо со­гласуется с экспериментальными данными А. Е. Смолдырева, проводившего скоростную киносъемку движения сферичных ша­риков в вертикальном потоке. Итак, при закачке в скважину час­тиц сферичной формы (согласно второму варианту) пробкообра­зования наблюдаться не будет.

На практике обеспечить снабжение гравием только идеально сферичной формы невозможно. Известны классификации гра­вийных частиц по форме. Типичные формы гравийных частиц определяются коэффициентами окатанности и сферичности (рис. 8.15).

При движении частицы неправильной формы возникает сложное обтекание жидкости по контуру частицы, определяю­щееся не наличием градиента скорости по сечению потока (пер­вая составляющая силы Жуковского), а формой частицы. Цир­куляция жидкости по контуру гравийной частицы, вызванная ее неправильной формой, приводит к возникновению дополнитель - 424

ООО

OGG <3 G О

0,3 0,6 0,9 Окатанность

Рис. 8.15. Типовые формы частиц

Ного усилия, действующего на частицу в горизонтальной плоско­сти, которое было названо второй составляющей силы Жуков­ского. Вторая составляющая силы Жуковского может быть опре­делена из выражения

РЖ2 =Р Щ $ rot uidS.

Форма гравийных частиц (см. рис. 8.15) при обтекании жид­костью хорошо описывается тремя параметрами: большим d и малым d' радиусами обтекания частицы и длиной вытянутой части частицы /'. Из энергетической теории гидротранспорта сле­дует, что частица гравия в потоке движется как и жидкость в водоносном пласте — по пути наименьшего сопротивления. Для гравийной частицы это означает, что в процессе транспортировки она ориентируется в потоке таким образом, чтобы сопротивление обтеканию было минимальным. Если принять во внимание, что сила сопротивления пропорциональна площади сечения частицы, перпендикулярного направлению потока, то можно предполо­жить, что частица располагается вытянутой стороной вдоль оси потока и поэтому на циркуляцию жидкости вдоль контура час­тицы влияет только большой и малый радиус обтекания. Обо­значим отношение d'/d коэффициентом формы гравийных час­тиц K. Решая уравнение (8.19) с учетом принятого коэффициен­та формы гравийных частиц, получаем выражение для определе­ния второй составляющей силы Жуковского

425

=Ті <■ - k> І'-A • <8^20)

Вторая составляющая силы Жуковского способствует смеще­нию частицы к границам потока. С учетом влияния формы на горизонтальное перемещение частиц в потоке дифференциальное уравнение движения частицы (8.12) при установившемся режиме запишется в следующем виде:

Для случая засыпки в восходящем потоке жидкости

—(mvx) = 2,35 „ [7,08(1 - K)| 1 -

Dt (D2 - £>Ф)[4] I AS2

■ 1 4( x + 0,5d)2 Y І1 4( x - 0,5Kd)2^2 AS2 J V AS2

Для случая засыпки в нисходящем потоке жидкости

D(mVX) = 10,[5]2[6]^і2 [1,57(1 - K)(1 - ixl) - Dty x/ D - D|)2 V aS2 J

Где ц — вязкость жидкости.

Выражения (8.21) и (8.22) представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка, которые не ре­шаются обычными методами интегрирования. При анализе усло­вий формирования первичных структур гравийных пробок за счет смещения частиц из центральных в периферийные сечения потока первостепенное значение приобретает оценка установив­шегося движения частиц, для которого справедливы граничные условия
предупреждения зависания частиц гравия в процессе закачки большой интерес представляет нахождение таких значений К, при которых частица будет прижиматься к границам потока. Приравняем к нулю правые части уравнений (8.21) и (8.22), под­ставим значения х, характерные для границ потока [х = ±0,5х х(Ок — - Оф)] и предположив, что размер частицы гравия значи­тельно меньше размеров кольцевого пространства, получим, что при закачке в восходящем потоке воды, критический коэффици­ент формы Ккр, при котором частица начинает прижиматься к границам потока, равен 0,76. При закачке гравия в нисходящем потоке Ккр = 0,32. Распределение частиц гравия в процессе за­качки для восходящего и нисходящего потоков в зависимости от коэффициента формы частиц представлено графиками на рис. 8.16. В качестве геометрического критерия подобия потока авто­ром при построении графиков принималась безразмерная вели­чина j = 2х/(Ок — Оф), которая на границах потока принимает значения ± 1, а в центре равна нулю.

Из представленных графиков видно, что при закачке в нисхо­дящем потоке жидкости требования к качеству материала с уче­том исключения возможного зависания могут быть менее стро­гими, чем для восходящего потока. При засыпке гравия в нисхо­дящем потоке пригоден материал, коэффициент формы частиц которого больше 0,32, а в восходящем потоке необходимо ис­пользовать гравий более правильной формы (К > 0,76).

За счет наличия градиента скоростей жидкости по сечению потока в некоторых случаях будет наблюдаться вращательное движение частиц гравия. В связи с этим целесообразно оценить влияние возможного вращения на перемещения частиц в гори­зонтальной плоскости.

На рис. 8.17 показана гравийная частица в вертикальном по­токе жидкости. Очевидно, что вращение частицы в некоторой точке сечения потока будет наблюдаться, если вращательный момент, стремящийся повернуть частицу по часовой стрелке M2, больше вращательного момента, поворачивающего частицу про­тив часовой стрелки М1. Величина вращательных моментов оп­ределяется величиной гидродинамического давления (сопротив­ления) на противоположные от центра тяжести поверхности час­тицы

DM12 = dEia dS.

Проинтегрировав выражение (8.23) по поверхности гравийной частицы, получим уравнения для моментов

M1 = 3,24a d +1' Sin p

4 x

1-

A S

4(x - 0,5D)[7]

M 2 = 3,24a (1 - sin p) (d -1' sin p)

4(x + 0,5D +1' sin p + 0,5D sin p)

2

A S

4(X + 0,5D + L' sin p)2

2

A S

Где у' — коэффициент обтекания цилиндрической части гравий­ной частицы, изменяющейся в зависимости от величины угла от 0,11 до 0,2. '

Сравнивая значения Mi и М2, полученные при расчетах по

428

Формулам (8.24) и (8.25), можно судить о характере вращатель­ного движения частицы данной формы. Если М1 больше M2 при любых значениях угла наклона частицы к вертикали р для оп­ределенной точки потока, то в этой точке частица будет вращать­ся. В противном случае, при определенном значении р моменты Mi и М2 уравновешиваются и частица движется при устано­вившемся наклоне к вертикали без вращения. Графики измене­ния угла стабильного движения частиц различной формулы Кп = = l'/d no сечению потока представлены на рис. 8.18. Если угол наклона большей оси симметрии частицы к вертикали превы­шает 90°, то частица в этом сечении потока будет вращаться. Вращение частиц наблюдается преимущественно в периферий­ных областях потока, где велик градиент скорости. При смеще­нии частиц к центру вращение постепенно затухает. Частицы с коэффициентом продолговатости Кп = 0,25 вращаются только в области от границ потока j = ±1 до значений j = ± 0,4. Сферич­ные частицы вращаются по всему сечению потока за исключени­ем центра.

В потоке вращаются только скатанные частицы с коэффици­ентом продолговатости Кп < 0,5 (см. рис. 8.17). С увеличением продолговатости частиц область вращения частиц в потоке сужа­ется от центральных к периферийным сечениям и уменьшается угол наклона частиц к оси потока частиц, двигающихся без вра­щения. Проанализировав выражения (8.21), (8.22), (8.24) и (8.25), было получено, что за счет горизонтального усилия, дей­ствующего на частицу, определяемого из уравнений (8.21) и

Р, градус Кп=0,05

(8.22), частица определенной формы Кп будет стремиться занять в потоке строго определенное положение (см. рис. 8.16), в ко­тором гидродинамическое давление на противоположные от цен­тра тяжести поверхности частицы равны, и соответственно равны моменты M1 и М2. При достижении частицей точки сечения по­тока, в которой М1 уравновешивает М2, частица гравия продол­жает двигаться в этом слое жидкости в строго вертикальном по­ложении без вращения.

В соответствии с этим, при засыпке гравия наблюдается вра­щение окатанных частиц (Кп < 0,5) в потоке. Однако период вращения частиц очень незначителен, так как под действием го­ризонтальных сил частица смещается в такое сечение потока, в котором значении M1 и M2 уравновешивают друг друга и учиты­вать влияние вращения частиц в потоке на горизонтальное пере­мещение частицы гравия нецелесообразно.

В ламинарном потоке жидкости создаются благоприятные ус­ловия для образования гравийных пробок в случае, если при за­сыпке используют гравий неправильной формы, характеризую­щийся значениями меньшими критических. С увеличением кон­центрации частиц гравия критической формы в потоке вероят­ность пробкообразования увеличивается, но оценить это влияние возможно только экспериментальным путем. Вывод о влиянии формы на распределение частиц по сечению потока в горизон­тальной плоскости подтверждается экспериментальными данны­ми, полученными различными исследователями. Однако ранее это явление не имело научного обоснования. Смещение частиц гравия к границам потока, их налипание и скопление на стенках скважины и обсадных труб есть необходимое, но не достаточное условие пробкообразования. Доставку гравия в зону фильтра можно обеспечить, если первичные структуры гравийных пробок, образующихся в потоке, не сохраняют свою устойчивость и под влиянием многих факторов разрушаются.

Возможность образования устойчивого контура равновесия в сыпучих породах при креплении горных выработок была рас­смотрена М. М. Протодьяконовым. Применение предложенной методики не позволяет оценить устойчивость гравийной пробки в кольцевом пространстве скважины, так как в значительной степени она определяется характером фильтрации жидкости в гравийном материале.

Оценим устойчивость гравийной пробки к разрушению в ла­минарном потоке жидкости. При малых скоростях движения по­тока фильтрация жидкости через гравийную пробку (рис. 8.19) подчиняется закону Дарси. Потери напора на гравийной пробке за счет наличия фильтрации 430

H = - QL_, (8.26)

Кф WKn

Где L — высота пробки; Кф — коэффициент фильтрации пробки; wKn — площадь поперечного сечения пробки.

С учетом уравнения Бернулли, записанного для верхнего и нижнего сечений гравийной пробки, перепад давления опреде­лится из выражения

Ap = p - Р2 = PGLF- il. (8.27)

^ Кф ^кп )

Закон сопротивления при обтекании тел жидкостью в об­щем виде

Fc = +у'р d 2»ф. (8.28)

Если силы инерции и вязкости малы (при ламинарном потоке в скважине), то второй член выражения (8.28) приближенно ра­вен нулю и им можно пренебречь. В связи с эти запишем, что сила сопротивления при фильтрации прямо пропорциональна скорости потока или квадрату координаты, т. е.

Fc □ j2. (8.29)

С учетом уравнения (8.29) можно записать, что закон распре­деления гидродинамического давления потока на пробку по се­чению потока в общем виде

431

Ргд = Pmax (1 - j2), (8.30)

Где pmax — максимальное гидродинамическое давление по сече­нию пробки.

Площадь эпюры под кривой распределения гидродинамиче­ского давления по сечению потока равна силе гидродинамическо­го давления на гравийную пробку. Интегрируя уравнение (8.30), получаем выражение для определения силы гидродинамического давления в координатах при фильтрации жидкости через пробку

РГд = 3 Pmax. (8.31)

Сила гидродинамического давления на пробку равна произве­дению средней величины давления потока на площадь потока, В координатах Ргд = f (J) справедливо равенство

РГд = 2 p. (8.32)

Решая совместно уравнения (8.31) и (8.32), получаем

Pmax = 3 Р. (8.33)

Закон распределения гидродинамического давления на пробку по сечению потока с учетом выражений (8.30) и (8.27) примет вид

РГд = 3РGLМ--------------- 1І(1 - j2). (8.34)

Д 2 I Кф ®кп )

Кроме гидродинамического давления на свод гравийной проб­ки действует статическое усилие, равное весу вышележащих гра­вийных частиц

Рс =р gL е (Рї - 1І, (8.35)

Где рп — плотность породы; е — пористость породы.

Общее давление на своде пробки равно сумме гидродинами­ческой и статической составляющих

Рї - 1| e + 3 f-^- - 1 1(1 - j2)

2 1 Кф ®кп

432

Рассмотрим возможность образования устойчивого свода гра­вийной пробки в ламинарном потоке при заданной величине действующей нагрузки, определяемой из уравнения (8.36).

Контур гравийной пробки будет устойчив к разрушению, если моменты активных сил, действующих на свод гравийной пробки относительно некоторой точки N с координатами n1 и n2, принад­лежащей этому контуру, равны. Образование устойчивого свода равновесия гравийной пробки в кольцевом пространстве скважи­ны при ламинарном режиме движения потока и действующая на этот контур нагрузка показаны на рис. 8.20, а, б.

Момент, стремящийся сдвинуть свод равновесия по часовой стрелке,

M2 = N1n1. (8.37)

Интегрируя уравнение (8.37) от нуля до Пі, по dj, получаем

P + 3- OPGL (j2 - NL)

2 ^ Кф ®кп )

Момент, стремящийся сдвинуть свод равновесия по часовой

Стрелке, равен произведению реакции правой части свода на ко­ординату

M1 = N2n2. (8.39)

Реакция правой части свода равновесии N2 равна произведе­нию суммарного усилия активных сил на правую часть свода на коэффициент бокового распора

M, = 0,5Р®^2 (1^j П2, (8.40)

Где 6 — угол внутреннего трения.

Площадь кольцевого пространства скважины в системе коор­динат j равна двум и выражение (8.40) запишем в следующем виде:

2 (90 - 6

M, = Р tg2 ——) щ. (8.41)

Согласно условию равновесия свода гравийной пробки М2 = = Мі. Решая совместно уравнения (8.38) и (8.41) и принимая, что коэффициент бокового распора равен 0,5, получаем уравне­ние свода равновесия

1 (j 2 - x2 )

Р

В начальный период образования пробки ее высота незначи­тельна и статической составляющей нагрузки на свод пробки можно пренебречь. В этом случае уравнение (8.42) запишется в более простом виде

Y = x2(2 - x2). (8.43)

Из выражений (8.42) и (8.43) следует, что при ламинарном режиме движения потока в кольцевом пространстве скважины гравийные пробки, сформировавшиеся за счет налипания, зави­сания частиц гравия неправильной формы на стенках скважины и обсадных труб сохраняют устойчивое состояние и препятст­вуют надежной доставке гравия в зону фильтра. Свод гравийной пробки в ламинарном потоке жидкости принимает вид параболы, причем с увеличением высоты гравийной пробки (возрастает статическая составляющая нагрузки на пробку) ветви параболы занимают более крутое положение, что свидетельствует о повы­шении устойчивости гравийной пробки к разрушению. 434

Пробкообразование в турбулентном потоке жидкости

Сложность оценки перемещения частиц в турбулентном по­токе связана с отсутствием количественного описания турбу­лентности. Из многочисленных работ, посвященных этой про­блеме, целесообразно выделить и взять за основу последующих исследований работу X. Шуберта, Т. Нессе и П. Коха, в которой предложена оригинальная качественная теория переноса частиц в турбулентном потоке. Турбулентный поток представлен как не­которое постоянно изменяющееся поле вихревых скоростей, на­ложенное на поле осредненных скоростей. В этой связи турбу­лентный перенос частиц в потоке определяется с одной стороны вихревым полем изменяющихся скоростей, а с другой — полем осредненных скоростей

Qi = - Dt^ - vxnt, (8.44)

Dx

Где QI — показатель турбулентного переноса i-ой частицы гравия; Dt — коэффициент диффузии; Ni — число частиц гравия, прохо­дящих через некоторую вертикальную плоскость.

Первый член уравнения (8.44) определяет количество частиц, проходящих через некоторую вертикальную плоскость в потоке гравийной смеси за счет турбулентной диффузии. Горизонталь­ное перемещение частиц в потоке под действием вихревого поля скоростей определяется коэффициентом диффузии Dt, значения которого находятся только опытным путем. Очевидно, что такой подход к оценке перемещений частиц в потоке может объяснить экспериментальный материал, но не позволяет оценить условия прижатия частиц к стенкам скважины и обсадных труб и вы­явить определяющие его факторы.

Рассмотрим влияние вихревого поля скоростей потока на го­ризонтальное перемещение частиц. Согласно теореме Жуков­ского, подъемная сила, возникающая вследствие циркуляции вихрей и перпендикулярная к оси потока, который движется в бесконечности с некоторой скоростью, равна плотности жидко­сти, умноженной на циркуляцию, скорость потока и длину обте­каемого тела. Теорема Жуковского применима для определения подъемной силы любых тел, движущихся в жидкости. Н. Е. Жу­ковский разработал теорию присоединения вихрей, основная идея которой заключается в том, что обтекаемые тела могут быть заменены вихрями. Поэтому можно воспользоваться теоремой Жуковского применительно к движению самих вихрей. На лю­бой вихрь, когда он перемещается внутри жидкости, всегда дей­ствует сила, направленная так же, как и сила Жуковского, т. е.

435

Нормально к оси обтекающего вихрь потока. Под действием этой силы вихри будут смещаться в направлении, где скорость боль­ше, т. е. от периферии к оси потока.

Вихрь, двигаясь в направлении, перпендикулярном к оси по­тока, подвергается также действию сил трения и поэтому его путь не будет прямой линией, а будет изогнут в виде дуги, об­ращенной своей выпуклостью навстречу потоку. Кроме того, вихри создают определенное поле скоростей в жидкостях. По­скольку вихри образуются в слоях с малыми скоростями, они будут тормозить движение этих слоев и, следовательно, умень­шать их скорость. Итак, вихри будут выравнивать скорости в поперечном сечении потока, что имеет большое значение для процессов массообмена и распределения гравийных частиц в по­перечном сечении потока.

Определим соотношение между подъемной силой вихря и си­лой сопротивления Fc, испытываемой им при перемещении в жидкости. Заменяя циркуляцию скорости в уравнении (8.13) ра­ботой силы на поверхности вихря поперечного сечения Sn, полу­чаем

_ 2

Fв = Сп р (8.45)

Где Fjj - подъемная сила вихря; Сп — коэффициент подъемной силы, определяемый опытным путем; _ - осредненная скорость турбулентного потока.

При перемещении вихря необходимо преодолеть силу сопро­тивления, которая определяется по формуле

—2

_в

Fc = C0P , (8.46)

2

Где С0 — коэффициент сопротивления, зависящий от числа Рей - нольдса; _в — скорость подъема турбулентного вихря.

Приравнивая силы Fв и Fc, получаем скорость подъема вихря

_в = pL _. (8.47)

V С0

Судя по опытам Прандтля, величины Сп и С0 имеют один по­рядок и поэтому можно полагать, что скорость вихря _в будет соизмерима со скоростью потока _.

Рассмотрим движение частиц гравия в единичном вихре, пе­ремещающемся согласно теореме Жуковского о подъемной силе от периферии к оси симметрии потока по дугообразной траекто­рии (рис. 8.21). В горизонтальной плоскости перемещение частиц 436

Под действием единичного вихря определяет соотношение трех сил: горизонтальной составляющей центробежной F4, гидродина­мического давления Fm и сопротивления FQ. Дифференциальное уравнение движения гравийной частицы в потоке запишем в виде

D 2 x i=n

M— = Z FX = - F, + Fгд ± Fc. (8.48)

Dt i=1

Центробежная сила Fц, действующая на гравийную частицу, определяется массой частицы т, скоростью движения частицы V И радиусом закручивания вихря R. Как отмечалось выше, ско­рость движения частиц в турбулентном потоке приравнивается к скорости движения самого потока вследствие малости относи­тельных скоростей движения жидкости и частиц в сравнении со скоростью потока. Поэтому при оценке величины центробежной силы удобнее пользоваться не скоростью частицы v, а скоростью потока U. Вихри зарождаются у границ потока, а затем закручи­ваются к его центру, в связи с чем радиус закручивания вихря можно приравнять к радиусу потока гравийной смеси. Если учесть принятые обозначения, то величина центробежной силы

П mv2 пd3p„ — 2 /0 in

F,, =------ =------ ^ w2 cos а, (8.49)

Ц R 3AS v У

Где а — угол наклона вихря к оси потока.

Горизонтальная составляющая гидродинамического давления определится по аналогии с уравнением (8.17)

_ —2

FТд =wSu-sin а. (8.50)

Очевидно, что центробежная сила способствует смещению частиц к периферии потока, а сила гидродинамического давления вихря — наоборот — к его центру. Сила сопротивления Fc имеет

437

Направление, противоположное направлению движения частицы, и не может самостоятельно вызывать горизонтальное перемеще­ние частиц в потоке, так как определяет только скорость и время движения частиц, не изменяя его направления. В этой связи, тенденцию перемещения частиц в горизонтальной плоскости оп­ределяют только первые две составляющие дифференциального уравнения (8.48), а сила сопротивления считается их производ­ной. Из выражений (8.49) и (8.50) следует, что центробежная си­ла пропорциональна диаметру частицы гравия в кубе, а сила гидродинамического давления — квадрату диаметра частицы. С увеличением размеров частиц центробежная сила возрастает бы­стрее, чем сила гидродинамического давления, и при определен­ном диаметре частиц будет наблюдаться смещение частиц к гра­ницам потока и их зависание на стенках скважины и обсадных труб, что приводит к образованию гравийной пробки. Приравни­вая правые части уравнений (8.49) и (8.50), получаем выражение для определения критического диаметра частиц гравия, выше ко­торого под действием единичного вихря частицы налипают, за­висают на границах потока

D^ = 0,375уД5 tg а. (8.51)

Угол наклона вектора скорости вихря к вертикали а опреде­ляется соотношением вертикальной и горизонтальной состав­ляющих скоростей вихря. Как показали исследования, в зависи­мости от числа Рейнольдса горизонтальная проекция вектора скорости вихря может достигать трех десятых вертикальной ско­рости вихря йв или в соответствии с уравнением (8.47) трех де­сятых средней скорости потока U. При незначительной степени турбулизации потока, что наблюдается при переходе от ламинар­ного к турбулентному потоку (Re = 1200), горизонтальная со­ставляющая проекции скорости вихря равна приблизительно десятой части средней скорости потока. В этой связи угол а — функция числа Рейнольдса, в зависимости от степени турбули­зации потока — изменяется от 6 до 16°.

На рис. 8.22 представлена зависимость критического диаметра гравийных частиц, при котором наблюдается пробкообразование, от числа Рейнольдса для различных сечений кольцевого про­странства скважины F. При зазоре между стенками скважины (обсадных труб) в 100 мм при незначительной турбулизации по­тока (Re = 1200) частицы размером более 0,6 мм зависают на границах потока. С ростом степени турбулизации потока крити­ческий диаметр зависших частиц увеличивается и достигает при развитой турбулентности (Re = 6400) 1,7 мм, что свиде - 438

Рис. 8.22. Зависимость критиче­ского диаметра частиц гравия, смещающихся к границам потока в турбулентном потоке, от числа Рейнольдса при разных значени-

Ях f.

1 - 0,1; 2 - 0,15; 3 - 0,2

1 2 3d, 10 і М

Тельствует об уменьшении вероятности пробкообразования с ростом числа Рейнольдса. Из формулы (8.51) следует, что при увеличении межтрубного зазора в скважине Д5 критический диаметр частиц также возрастет. Если учесть, что размер гравий­ных частиц, засыпаемых в скважину, редко превышает 2—3 мм, то согласно уравнению (8.51) при кольцевом зазоре Д5 > 0,5 м налипания частиц на границы потока под влиянием вихрей мож­но избежать.

Горизонтальное перемещение в турбулентном потоке опреде­ляется не только влиянием вихревого поля скоростей, но и поля осредненных скоростей потока [см. формулу (8.44)]. Дифферен­циальное уравнение движения частиц в горизонтальной плоско­сти под действием поля осредненных скоростей потока соответ­ствует выражению (8.22). Отметим, что при турбулентном потоке частицы распределяются по сечению в зависимости от их формы, однако характер этого распределения будет отличен от распреде­ления в ламинарном потоке. Отличие заключается в различных изменениях осредненных скоростей потока по его сечению и гра­диенте скорости, который согласно формулам (8.15), (8.18) и (8.20) определяет горизонтальное перемещение частиц в потоке.

Характер изменения осредненных скоростей турбулентного потока описывается следующим уравнением:

(8.52)

Где u - скорость турбулентного потока в сечении, соответст­вующем центру тяжести i-ой частицы.

Решая дифференциальное уравнение (8.22) с учетом равенст­ва (8.52), получим кривые распределения частиц по сечению турбулентного потока в зависимости от их формы (см. рис. 8.16). Коэффициент критической формы Ккр для турбулентного потока соответствует критическому коэффициенту формы для ламинар­ного потока и равен для восходящего направления движения

439

Гравийной смеси 0,76, а для нисходящего — 0,31. При коэффици­енте формы, меньшем критического, гравийная частица под дей­ствием осредненного поля скоростей стремится зависнуть, налип­нуть на границы потока, что способствует пробкообразованию.

При турбулентном потоке (в отличие от ламинарного) влия­ние формы частиц наблюдается только для определенных сече­ний вертикального потока, которые принято называть в техниче­ской литературе пограничным слоем. В ядре потока частицы различной формы распределены равномерно и движутся хаотич­но, подчиняясь законам диффузии. В пограничном слое влияние формы частиц на их горизонтальное перемещение особенно ве­лико, что качественно отличает этот слой от ядра потока.

Распределение гравийных частиц по поперечному сечению турбулентного потока в зависимости от коэффициента критиче­ской формы будет искажаться за счет воздействия вихревого по­ля скоростей. Однако вихревое воздействие носит временный характер и за счет наличия градиента осредненной скорости по сечению потока будет наблюдаться смещение частицы в зависи­мости от ее формы либо к границам, либо к ядру потока.

В турбулентном потоке могут возникнуть условия, способст­вующие смещению частиц к периферии потока и их зависанию на стенках скважины и обсадных труб (см. рис. 8.16-8.22). Ве­роятность пробкообразования в турбулентном потоке увеличива­ется с ростом размеров гравийных частиц и уменьшении коэф­фициента их формы. Поэтому в первую очередь налипнуть на стенки скважины и обсадных труб должны частицы непра­вильной формы наиболее крупной фракции гравия, использу­емого при засыпке. Увеличение степени турбулизации, а также площади сечения потока гравийной смеси позволяет уменьшить вероятность пробкообразования, но не устраняет его, так как для исключения возможного зависания частиц кольцевой зазор скважины должен более 0,5 м, что не соответствует установлен­ным требованиям к конструкциям скважин.

В связи с тем, что турбулентный режим движения гравийной смеси не устраняет (в большинстве случаев) горизонтального смещения частиц от центра к периферии потока, их налипания на стенки скважины, особую важность приобретает вопрос оцен­ки устойчивости образующихся первичных структур гравийной пробки к разрушению в турбулентном потоке. Предположим, что за счет смещения гравийных частиц к периферии потока образо­валась гравийная пробка. Тогда на каждую точку устойчивого свода равновесия действуют моменты М1 и М2 от статической и гидродинамической нагрузки, уравновешивающие друг друга (см. рис. 8.20, б). ' ' ' '

440

Известно, что турбулентный поток характеризуется наличием пульсирующей продольной составляющей скорости потока, т. е. на некотором интервале потока, равном размеру вихря, мгновен­ные скорости увеличиваются, но согласно условию постоянства расхода жидкости в процессе закачки гравия, на противополож­ном от центра потока интервале мгновенная скорость вихря уменьшается на такую же величину (при равенстве площадей сечения, возросшего и уменьшающегося по скорости вихря). За счет мгновенного изменения скоростей потока относительно цен­тра симметрии свода возникает дополнительный момент ДМ, стремящийся провернуть свод образовавшейся пробки. Согласно гипотезе М. М. Протодьяконова устойчивый контур равновесия в сыпучих породах будет разрушаться при выполнении условия

Д M > M1

В начальный период образования гравийной пробки статиче­ской нагрузкой, действующей на свод пробки от веса вышележа­щих гравийных частиц, можно пренебречь. Тогда из уравнения моментов для центра симметрии свода равновесия получим ве­личину отношения приращения гидродинамической нагрузки ДРгд за счет мгновенного изменения скоростей потока к гидроди­намической нагрузке Fra от поля осредненных скоростей потока, при котором гравийная пробка в турбулентном потоке будет раз­рушаться, т. е. справедливо выражение

^ > 0,25^-.

Приняв, что мощность турбулентного вихря в 4 раза меньше сечения потока, что наблюдается при развитом турбулентном режиме, преобразуем выражение (8.54)

(8.55)

Сила гидродинамического давления на свод пробки пропор­циональна квадрату скорости потока и поэтому справедливо сле­дующее соотношение

(8.56)

Или

ДИ > 1,41и, ДИ = ив - и.

Из выражения (8.57) следует, что структура гравийной проб­ки, при принятом (согласно М. М. Протодьяконову) запасе ус­тойчивости, будет всегда разрушаться, если мгновенная скорость потока превышает осредненную скорость в 1,41 раза. Известно, что при развитом турбулентном режиме движения потока мгно­венные скорости могут в два и даже более раз превышать сред­ние. Следовательно, в начальный период образования пробка бу­дет всегда разрушаться.

При увеличении высоты гравийной пробки, образовавшейся в кольцевом пространстве скважины, статическая составляющая нагрузки от веса вышележащих гравийных частиц на свод равно­весия растет и соответственно снижается роль дополнительной составляющей гидродинамической нагрузки, возникающей за счет наличия пульсации скоростей потока. При определенной высоте гравийной пробки она не будет подвержена разрушению в турбулентном потоке. Для определения критической высоты гравийной пробки, при которой она сохраняет свою устойчи­вость, запишем выражение (8.55) с учетом статической нагруз­ки Fct

A F

Гд > 0,5. (8.58)

Учитывая, что мгновенные скорости турбулентного потока могут примерно в 2 раза превышать средние и величина AFra со­гласно уравнению (8.50) будет достигать значений, в 4 раза пре­вышающих Fm, получим критическое соотношение между стати­ческой и гидродинамической нагрузками на свод равновесия гра­вийной пробки

Fct = 7Fra. (8.59)

Подставляя в выражение (8.36) значения Fct и Fm, определен­ные выше, и решая уравнение относительно критической длины гравийной пробки, при которой она не подвержена разрушению в турбулентном потоке, получаем

L кр =--------- ^------------- , (8.60)

Кр пG(P„ /Р - 1)(1 - е)' v у

Где е — пористость гравийной пробки.

При увеличении высоты пробки выше LTO ее устойчивость в соответствии с формулой (8.60) будет расти и работы по ликви­дации пробкообразования в кольцевом пространстве скважины осложнятся.

442