Процессы и аппараты упаковочного производства

Уравнения фильтрования под действием перепада давления

Рассмотрим процесс фильтрования с образованием осадка. Скорость фильтрования W Определяют как производную объема фильтрата по времени τ, отнесенную к поверхности фильтрования S:

W = DV/(SDτ). (10.36)

При фильтровании суспензии вследствие небольшого размера пор осадка и фильтровальной перегородки и малой скорости движения жидкой фазы фильтрование протекает в ламинарной области. При этом в каждый момент времени скорость фильтрова­ния прямо пропорциональна разности давлений ∆р И обратно пропорциональна вязкости жидкости и суммарному гидравличе­скому сопротивлению слоя осадка ROc И фильтровальной перего­родки RФ. п:

W = ∆р/[μ(ROc + RФ. п)]. (10.37)

Приравнивая (10.36) к (10.37), получим основное дифференциальное уравнение фильтрования:

DV /(Sdτ) = ∆р/[μ(ROc + RФ. п)]. (10.38)

Для приведения уравнения (10.38) к виду, удобному для интегри­рования, необходимо выразить величины ROc и RФ. п в виде функции объема фильтрата. В процессе фильтрования может происходить некоторое увеличение RФ. п Из-за проникновения в поры перегородки твердых частиц. Однако это увеличение незначительно, так что для практических целей можно считать = Const. Величина с воз­растанием толщины слоя осадка изменяется от нуля в начале фильтрования до максимального значения в конце его. Пренебрегая влиянием гравитационного осаждения (под действием сил тяжести) на образование осадка, можно считать, что объем осадка, VOc Прямо пропорционален объему фильтрата V:

VOc = Хо V , (10.39)

Где Хо - коэффициент пропорциональности, зависящий от концентрации твердой фазы и структуры осадка (его определяют экспериментально как объем осадка, образующегося при прохождении 1 м3 фильтрата).

Представим объем осадка как произведение HOcS (где HOc - Высота слоя осадка). Тогда

HOcS = хо V, (10.40)

Откуда

HOc = хо V /S. (10.41)

Представим теперь сопротивление слоя осадка как произведение

ROc = RОHOc, (10.42)

Где RО - удельное объемное сопротивление слоя осадка (м-2), т. е. сопротивление, оказываемое потоку жидкой фазы слоем осадка толщиной 1 м.

Подставляя в соотношение (10.42) высоту осадка, определяемую по (10.41), получим выражение, связывающее сопротивление осадка с объемом фильтрата:

ROc = RО хо V /S (10.43)

Перепишем выражение (10.38) с учетом (10.43):

= (10.44)

Решая это дифференциальное уравнение, можно получить урав­нения фильтрования для различных частных случаев. Поскольку большинство фильтров работает при постоянной разности давле­ний, а процесс промывки можно рассматривать как фильтрование при постоянных разности давлений и скорости, ограничим рассмот­рение этими двумя вариантами.

Уравнение фильтрования при постоянной разности давлений. Перепишем выражение (10.44) в следующем виде:

Хо V /S + RФ. п)dV = ∆РSdτ

Проинтегрируем левую часть от 0 до V, А правую - от 0 до τ, вынеся постоянные величины за знак интеграла:

+ μRФ. п = ∆PS ;

(μRО хо/S)( V2/2) + μRФ. пV = ∆рSτ

Разделив последнее выражение на μRО хо/(2S), Получим:

V2 + 2RФ. пSV/(RО хо) = 2∆рS2τ/(μRО хо) (10.45)

Это уравнение называют уравнением фильтрования при постоянной разности давлений.

На практике часто можно считать сопротивление фильтроваль­ной перегородки пренебрежимо малым по сравнению с сопротивле­нием осадка. Тогда уравнение (10.45) принимает вид:

V2 = 2∆рS2τ/(μRО хо). (10.46)

Уравнения (10.45) и (10.46) применимы как к несжимаемым осадкам, так и к сжимаемым, поскольку при ∆Р = const значения RО И хо в процессе фильтрования остаются постоянными. Из уравнения (10.46) видно, что объем фильтрата возрастает пропорционально квадратному корню из времени.

Уравнение фильтрования при постоянных разности давлений И скорости. При постоянной скорости отношение dV/dτ можно заменить отношением V/τ. Кроме того, поскольку рассматривае­мый процесс осуществим только при постоянной толщине слоя осадка, заменим XoV/S На высоту слоя осадка HОс. С учетом сказанного уравнение (10.44) примет вид:

V/(Sτ) = ∆р/[μ(RО HОс + RФ. п)],

Откуда

V = ∆рSτ/[ μ(RО HОс + RФ. п)]. (10.47)

Уравнение (10.47) представляет собой уравнение фильтрования при постоянных разности давлений и скорости. Оно применимо для несжимаемых и сжимаемых осадков.

Для выполнения расчетов по уравнениям (10.45)-(10.47) необхо­димо экспериментально определить величины RО и RФ. п и затем ХО, носящие название Констант фильтрования.

Рассмотрим один из способов определения этих величин. Раз­делим все члены уравнения (10.45) на 2∆PS2 V /(μ ROXO) и поменяем местами левую и правую части уравнения:

τ/V = μRО XOV /(2∆PS2) + μ RФ. п /(∆PS) ( 10.48)

Введем обозначения:

μRО XO /(2∆PS2) = M; (10.49)

μRФ. п /(∆PS) = N. (10.50)

При постоянных разности давлений и температуре все величины, входящие в правые части равенств (10.49) и (10.50), являются постоянными. Таким образом, М = const и N = Const. Теперь пе­репишем выражение (10.48):

τ /V = MV+ N. (10.51)

Это уравнение показывает прямолинейную зависимость функции τ /V От аргумента V. Тангенс угла наклона прямой равен М, А отре­зок, отсекаемый на оси ординат, - N.

Для определения этих величин проводят эксперимент на мо­дельном фильтре, в процессе которого замеряют во времени объем полученного фильтрата. Обработкой данных по методу наимень­ших квадратов рассчитывают М И N, А затем с помощью выраже­ний (10.49) и (10.50) находят RО и RФ. п. Кроме того, в эксперименте замеряют объем осадка на фильтре и рассчитывают ХО по соотно­шению Хо = VOc/ V.

При фильтровании суспензий, содержащих монодисперсные час­тицы большого размера (порядка нескольких миллиметров), значе­ние RО можно вычислить по уравнению (6.72). Для этого, исключив, из уравнения (10.37) сопротивление фильтровальной перегородки, представим его в следующем виде:

W = ∆р/(μRО HОс), (10.52)

Откуда

RО = ∆р/(μ HОсW). (10.53)

Подставляя сюда ∆Р, Определяемое по (6.72) с учетом того, что Н = HOc И Wo = W, Получим:

RО = 150(1 - ε)2/(Φ2ε3D2). (10.54)