Процессы и аппараты упаковочного производства

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Ниже излагаются основы теории подобия, предложенные А. Н. Колмогоровым Предположим, что для описания изучаемых явлений используют Т Основных (первичных) независимых единиц измерения А1, А2, ... (например, единицы длимы L, Массы М И времени Т). Производные единицы измерения образуются из основных согласно соотношению

. (4 .6)

Их размерность Характеризуется числовыми показателями P1, P2, ….Pm. Каждая величина X Размерности [X] = [Q] представляется в виде X = xQ (где x - числовое выражение величины X При выбранной системе основных величин).

Пусть изучается класс явлений S И пусть каждое из них определяется заданием некоторой системы величин У. Два таких явления S1 и S2 Называют подобными, если значения величин У2, характеризующих явление S2, Получаются из значений соответствующих величин У1, характеризующих явление S1, по формуле

(4.7)

Где коэффициенты подобия К1, к2, ... , Кт Постоянны, а показатели Р1, р2, ... , Рм Определяются размерностью величин У:

(4.8)

Предположим, что из системы величин У выделена некоторая часть, образующая систему определяющих параметров X, Так что численное значение У Любой величины У является функцией

У=F(X), Численное значение х-параметров X, А вид функциональных зависимостей остается одними тем же при любом выборе основных

Единиц измерения А1, А2

….Аь. При таком предположении основной принцип теории подобия может быть сформулирован следующим образом: для подобия явлений S1 и S2 необходимо и достаточно, чтобы значения любой безразмерной комбинации определяющих параметров

(4.9)

В явлениях Si и S2 Были равны, т. е. К1 = к2 .

Каждое безразмерное выражение К Вида (4.9) называют критерием подобия. Очевидно, что при таком определении критериев подобия в их число попадают все безразмерные определяющие параметры и все соотношения вида

(4.10)

K= Х{/Х2,

Где Х1 и Х2 – определяющие параметры одной и той же размерности.

Необходимость для подобия равенств K1 = K2 В применении к безразмерным параметрам и отношениям вида (4.10) очевидна. Их можно называть тривиальными (симплексными). Отношения К Вида (4.10) при перечислении критериев подобия часто опускают. Если тривиальные условия подобия К1 = К2 Считаются заведомо выполненными, то среди нетривиальных условий подобия K1 = K2 Имеется только S= n — т1 Независимых (где n - число различных размерностей величин системы , Т1 -число независимых размерностей среди этих П). Поскольку всегда Mt т, S N. — Т.

Если исследуемые явления изучают с помощью дифференциальных уравнений, то определяющие параметры появляются либо в виде величин, входящих в начальные и граничные условия, либо в виде коэффициентов, входящих в дифференциальные уравнения. После приведения уравнений к безразмерному виду в них остаются Безразмерные коэффициенты, которые и являются критериями подобия.

Таким образом, рассмотренный аналитический метод получения обобщенных с переменных-критериев подобия - объединяет основы теории подобия с анализом размерностей и определяет необходимые и достаточные условия получения обобщенных критериальных уравнений любого процесса, для которого составлено математическое описание.