ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ВЫНУЖДЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ: ПРАВИЛА ОТБОРА

Рассмотрим взаимодействие монохроматической электромагнитной вол­ны частоты V с объемным полупроводником. Так же, как и в случае атомар­ной системы, гамильтониан взаимодействия, в дипольном приближении, можно записать в виде[21] (см. (2.4.2)):

Н' = - е Е г, (3.2.16)

Где Е = Е(г, £) — напряженность поля электромагнитной волны в точке г в момент времени £. Для плоской волны она может быть представлена в виде:

Е = Е0ехру(кор( • г - со*), (3.2.17)

Где кар( — волновой вектор, а со = 2п. Если V > Ев/Н, то может произойти переход электрона из состояния в валентной зоне в состояние в зоне проводи­мости. Обозначив через Е2 и Е{ соответственно энергии этих двух состоя­ний, можно выразить вероятность переходов IV, в соответствии с соотноше­нием (А.23) Приложения А, как:

УГ = £ Н&2 8(у-у0), (3.2.18)

Где у0=(Е'2-Е[)/к, ш

н12 |= |(-ег ■ Е0еук',р< г)уис(к|2. (3.2.19)

Отметим, что Уу и 1|/с в (3.2.19) — это волновые функции Блоха для состоя­ний 1 и 2, определяемые соотношением (3.2.1).

Теперь из соотношений (3.2.18) и (3.2.19) можно получить правила отбо­ра для рассматриваемого взаимодействия. Учитывая 5-функцию Дирака в правой части (3.2.18), видим, что v = v0. Это означает, что справедливо соот­ношение

(E2-E{) = hv9 (3.2.20)

Которое часто называют законом сохранения энергии при взаимодействии. Аналогично можно показать, что поскольку yv ос exp (ук^ • г) и ус ос exp (ikc • г), интеграл в (3.2.19) отличен от нуля, только если

К = к -4- If Лс opt ' V

(3.2.21)

Доказательство справедливости соотношения (3.2.21) несколько громоздко и требует корректного учета свойств периодичности функций ис(г) и uv(г), введенных в (3.2.1) [15]. Правило отбора (3.3.21) можно понять с физиче­ской точки зрения, если заметить, что в подынтегральном выражении (3.3.19) стоит экспоненциальный множитель видаехр/[(kv + kopt - kc) • г]. Поскольку этот член быстро осциллирует при изменении г, то интеграл равен 0, если только не выполняется соотношение ку - I - kopf - кс = 0. Поскольку hkc v — ква­зиимпульс электрона в зоне проводимости или в валентной зоне, a hkopt — импульс фотона, то соотношение (3.2.21) означает, что полный импульс в результате перехода должен сохраняться. Заметим, что kopt = 2пп/X, где п — показатель преломления полупроводника, а X — длина волны, отвечающая частоте перехода. Так, например, при п = 3,5 и X = 1 мкм имеем kopt = 105 см-1. С другой стороны, обычно для электрона или дырки со средней тепловой энергией kcv = 105 - 107 см-1 (см. пример 3.5). Таким образом, kopt ксtV, и

Соотношение (3.2.21) упрощается до равенства:

Kc = kv. (3.2.22)

Соотношение (3.2.22) часто называют правилом отбора по к, или законом сохранения к. Оно, в частности, означает, что вынужденные переходы долж­ны происходить вертикально на диаграмме зависимости Е от к (см. рис. 3.13а). Отметим, наконец, что электромагнитная волна не взаимодействует со спина­ми электронов, или, другими словами, что гамильтониан взаимодействия

(3.2.16) не содержит спина. Таким образом, в результате перехода спин элек­трона не может измениться, т. е. правило отбора для изменения спина AS вы­глядит просто как

AS = 0. (3.2.23)

Пример 3.5. Расчет характерных величин к для тепловых электро­нов. Для электрона в зоне проводимости, движущегося со средней тепло­вой скоростью игН, имеем тси? ь = ЗкТ, где Т— температура электронов. Имеем такжер = Нкс = тсит. Объединяя два предыдущих выражения, по­лучаем кс = [3тскТ]1/2/Н. Если положить тс = 0,067т0, как в ОаАв, и кТ = 0,028 эВ (Т = 300 К), то получим кс = 2,7 • 106 см 1 Аналогично име­ем ки = ЗтикТ]1/2/Н, откуда ки = (ти/тс)1/2кс = 7 • 106 см-1, если положить тс = тЛЛ = 0,46т0, как в ОаАв.

Как и в случае атомарных переходов, рассмотренных в главе 2, соотно­шение (3.2.18) необходимо изменить, если принять во внимание механизмы уширения линий. В полупроводниках основной причиной уширения явля­ются дефазирующие электрон-фононные столкновения. При этом 6-функ- цию Дирака в (3.2.18) следует заменить функцией Лоренца g(v - v0), с шири­ной, определяемой, согласно (2.5.11), как Аv0 = 1/лтс, где тс — среднее время между дефазирующими электрон-фононными столкновениями (тс = О Д ПС для GaAs). Действуя, как в разделе 2.4.4, можно определить сечение перехода, которое имеет тот же вид, что и для атомарных переходов[22], а именно (см. также (2.4.19)):

= <3-2-24)

Где ц = И и

Ц= JucetuvdV, (3.2.25)

При этом ис = иск и^= uvk — волновые функции Блоха, введенные в (3.2.1). Отметим появление множителя 3 в члене ц2/3 из (3.3.24), который возника­ет в результате усреднения матричного элемента х по всем направлениям вектора к электронов при фиксированной поляризации электромагнитной волны (см. сноску к соотношениям (2.4.13а-б)).