Условие устойчивости обобщенного сферического резонатора обсуждалось в разделе 5.4, где было показано, что области неустойчивости соответствуют незаштрихованным частям плоскости gl9 g2 на рис. 5.7 [10]. Неустойчивые резонаторы разделяют на два вида: положительного типа (англ. negative — branch), с параметрами, удовлетворяющими условию gx — g2 > 1, и отрицательного типа (англ. positive-branch), для которых gx g2 < 0. Прежде чем приступить к количественному описанию неустойчивых резонаторов, объясним, почему эти резонаторы представляют интерес для лазерной техники. Во-первых, согласно результатам примера 5.5, в заданном устойчивом резонаторе, отвечающем некоторой точке в плоскости gl9 g2, не лежащей вблизи границы устойчивости, размер пятна w обычно такого же порядка, как и в конфокальном резонаторе; таким образом, при длине волны « 1 мкм он обычно меньше 1 мм. В соответствии с результатами примера 5.9, для того чтобы ограничить генерацию модой ТЕМ00, в резонатор лазера необходимо поместить диафрагму с радиусом а <2 мм. Если генерация ограничивается модой ТЕМ00 со столь малым разменом поперечного сечения, то мощность (или энергия), получаемая в пучке на выходе, с необходимостью ограничена. Напротив, в неустойчивых резонаторах пучок не стягивается к оси резонатора (см., например, рис. 5.3), так что можно надеяться получить одну поперечную моду большого объема. Однако проблемой неус* тойчивых резонаторов является то, что излучение стремится покинуть его. Таким образом, соответствующие моды имеют существенно большие (гео — j метрические) потери, чем моды в устойчивом резонаторе (где потери связа — 1 ны с дифракцией). Этот факт, с другой стороны, можно рассматривать как J преимущество, если эти покидающие резонатор пучки использовать в каче — 1 стве полезного, выходящего излучения. I НЕУСТОЙЧИВЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
Рис. 5.17
![Условие устойчивости обобщенного сферического резонатора обсуждалось в разделе 5.4, где было показано, что области неустойчивости соответствуют незаштрихованным частям плоскости gl9 g2 на рис. 5.7 [10]. Неустойчивые резонаторы разделяют на два вида: положительного типа (англ. negative - branch), с параметрами, удовлетворяющими условию gx - g2 &gt; 1, и отрица­тельного типа (англ. positive-branch), для которых gx g2 &lt; 0. Прежде чем приступить к количественному описанию неустойчивых ре­зонаторов, объясним, почему эти резонаторы представляют интерес для ла­зерной техники. Во-первых, согласно результатам примера 5.5, в заданном устойчивом резонаторе, отвечающем некоторой точке в плоскости gl9 g2, не лежащей вблизи границы устойчивости, размер пятна w обычно такого же порядка, как и в конфокальном резонаторе; таким образом, при длине вол­ны « 1 мкм он обычно меньше 1 мм. В соответствии с результатами приме­ра 5.9, для того чтобы ограничить генерацию модой ТЕМ00, в резонатор ла­зера необходимо поместить диафрагму с радиусом а &lt;2 мм. Если генерация ограничивается модой ТЕМ00 со столь малым разменом поперечного сече­ния, то мощность (или энергия), получаемая в пучке на выходе, с необходи­мостью ограничена. Напротив, в неустойчивых резонаторах пучок не стяги­вается к оси резонатора (см., например, рис. 5.3), так что можно надеяться получить одну поперечную моду большого объема. Однако проблемой неус* тойчивых резонаторов является то, что излучение стремится покинуть его. Таким образом, соответствующие моды имеют существенно большие (гео - j метрические) потери, чем моды в устойчивом резонаторе (где потери связа - 1 ны с дифракцией). Этот факт, с другой стороны, можно рассматривать как J преимущество, если эти покидающие резонатор пучки использовать в каче - 1 стве полезного, выходящего излучения. I НЕУСТОЙЧИВЫЕ РЕЗОНАТОРЫ](/img/655/image530.jpg "Условие устойчивости обобщенного сферического резонатора обсуждалось в разделе 5.4, где было показано, что области неустойчивости соответствуют незаштрихованным частям плоскости gl9 g2 на рис. 5.7 [10]. Неустойчивые резонаторы разделяют на два вида: положительного типа (англ. negative - branch), с параметрами, удовлетворяющими условию gx - g2 &gt; 1, и отрица­тельного типа (англ. positive-branch), для которых gx g2 &lt; 0. Прежде чем приступить к количественному описанию неустойчивых ре­зонаторов, объясним, почему эти резонаторы представляют интерес для ла­зерной техники. Во-первых, согласно результатам примера 5.5, в заданном устойчивом резонаторе, отвечающем некоторой точке в плоскости gl9 g2, не лежащей вблизи границы устойчивости, размер пятна w обычно такого же порядка, как и в конфокальном резонаторе; таким образом, при длине вол­ны « 1 мкм он обычно меньше 1 мм. В соответствии с результатами приме­ра 5.9, для того чтобы ограничить генерацию модой ТЕМ00, в резонатор ла­зера необходимо поместить диафрагму с радиусом а &lt;2 мм. Если генерация ограничивается модой ТЕМ00 со столь малым разменом поперечного сече­ния, то мощность (или энергия), получаемая в пучке на выходе, с необходи­мостью ограничена. Напротив, в неустойчивых резонаторах пучок не стяги­вается к оси резонатора (см., например, рис. 5.3), так что можно надеяться получить одну поперечную моду большого объема. Однако проблемой неус* тойчивых резонаторов является то, что излучение стремится покинуть его. Таким образом, соответствующие моды имеют существенно большие (гео - j метрические) потери, чем моды в устойчивом резонаторе (где потери связа - 1 ны с дифракцией). Этот факт, с другой стороны, можно рассматривать как J преимущество, если эти покидающие резонатор пучки использовать в каче - 1 стве полезного, выходящего излучения. I НЕУСТОЙЧИВЫЕ РЕЗОНАТОРЫ")
А) Неустойчивый резонатор общего вида с выпуклыми зеркалами.
Б) Неустойчивый резонатор с выходом излучения в одном направлении (односторонний резонатор)
Вует мод типа произведения функций Эрмита-Гаусса, как уже упоминалось в связи с решением уравнения (5.5.3). Поскольку пучок уже не сжимается к оси, а скорее расходится по всему поперечному сечению резонатора, то в первом приближении естественно предположить, что мода имеет постоянную амплитуду в этом сечении, тогда как волновой фронт по-прежнему является сферическим, т. е. мода представляет собой сферическую волну. Выражаясь более точно, поскольку мода всегда может рассматриваться в виде суперпозиции двух распространяющихся навстречу друг другу волн, будем предполагать, что они представляют собой две распространяющиеся навстречу друг ДРУГУ сферические волны. Следует отметить, что можно прийти к такому же заключению, рассматривая решение уравнения (5.5.3) в неустойчивой области. В этом случае дискриминант квадратного уравнения в (5.5.3) положителен, так что имеются два действительных решения, определяющих величину параметра д, которые и соответствуют двум сферическим волнам.
Для того чтобы рассчитать напряженность электрического поля моды обозначим через Рг и Р2 центры кривизны двух сферических волн в двухзеркальном неустойчивом резонаторе общего вида на рис. 5.17а. Из соображений симметрии Р1 и Р2 должны располагаться на оси резонатора. Их положения легко определить из соображений самосогласованности: сферическая волна, исходящая из точки Р19 после отражения от зеркала 2 должна превратиться в сферическую волну, исходящую из точки Р2, и наоборот, сферическая волна, исходящая из точки Р2, после отражения от зеркала 1 должна превратиться в сферическую волну, исходящую из точки Рг. Эти два условия приводят к двум уравнениям для двух неизвестных, а именно, для положений точек Рг и Р2. Эти уравнения могут легко быть получены непосредственным расчетом, основанным на геометрической оптике. Если эти положения выразить через безразмерные величины гх и г2, показанные на рис. 5.17а, то оказывается, что последние зависят только от и ^-параметров резонатора. Действительно, после длинных, но несложных вычислений приходим к результату:
ГГ1 = *[1 - {8182) 1 ]1/2 +81-1, (5.6.1а)
Г2г =82^-(.8182) Ч1/2 +82 -1. (5.6.16)
Вычислив гх и г2, из рис. 5.17а можно легко найти так называемый коэффициент увеличения за один проход на пути от зеркала 1 к зеркалу 2, М12, или коэффициент М21 — на пути от зеркала 2 к зеркалу 1. Так, М12 определяют как относительное увеличение диаметра сферической волны на пути от зеркала 1 к зеркалу 2. После простых геометрических рассуждений из рис. 5.17а получаем:
М12 = (1 + гг)/гх. (5.6.2а)
Аналогично
М21 = (1 + г2)/г2. (5.6.26)
Обычно для использования в лазерах представляют интерес асимметричные, или односторонние (англ. single-ended), неустойчивые резонаторы, имеющие выход излучения в одном направлении, как показано на рис. 5.176. В этом случае диаметр 2аг зеркала 1 должен быть больше, чем поперечный размер на этом зеркале сферической волны, исходящей из точки Р2. Таким образом, требуется выполнение условия аг > М21а2. При этом условии единственной волной, которая покидает резонатор, будет сферическая волна, исходящая из точки Рг и выходящая вокруг зеркала 2 (предполагается, что коэффициент отражения зеркал 1 и 2 равен 100%). Эуа сферическая волна уходит от зеркала 2 с диаметром 2а2 (см. рис. 5.176) и возвращается к нему, после одного обхода резонатора, с размером поперечного сечения, увеличенным в число М раз, определяемое как
М = М21М12 = (1 + rf1) (1 + г,"1), (5.6.3)
Где было использовано соотношение (5.6.2). С помощью (5.6.1) соотношение
(5.6.3) приводится к виду
М = (2ft • ft - 1) + 2gl • g2[ 1 - (ft • ft)'1]1/2, (5.6.4)
Показывающему, что M, коэффициент увеличения за полный проход, зависит только от ^-параметров резонатора. Отметим, что если ft • ft < 0, то величина М становится отрицательной, и в этом случае нужно рассматривать ее модуль.
Определив коэффициент увеличения за обход резонатора, нетрудно получить выражение для соответствующих потерь у, связанных с испусканием излучения вокруг зеркала на выходе. Действительно, поскольку предполагается однородное поперечное распределение интенсивности в пучке, то видно, что доля мощности пучка, выходящей со стороны зеркала 2 после одного обхода резонатора, равна
Si-Sz _М2-1 (5.6.5)
Y~ Si ~ М2 ’
Где S2 = яа| и S2 = пМ2а% — соответственно поперечные сечения пучка, ухо - дящего от зеркала 2, и пучка, возвращающегося к этому зеркалу после одного обхода. Отметим, что величина потерь у за счет испускания излучения за обход, так же как и величина М, не зависит от диаметра 2а2 зеркала на выходе.
Пример 5.10. Конфокальные неустойчивые резонаторы. Особенно важным типом неустойчивых резонаторов являются конфокальные неустойчивые резонаторы, которые могут быть отрицательного или положительного типа. Такие резонаторы показаны соответственно на рис. 5.18а, б. В обоих случаях положения фокусов зеркал 2^ и Р2 совпадают, и нетрудно показать, что в плоскости ё2 эти резонаторы описываются двумя ветвями гиперболы, показанной пунктиром на рис. 5.7 (соответствующее уравнение гиперболы имеет вид (2ёх - 1)(2#2 “ 1) = 1)- Из всех возможных конфокальных резонаторов только симметричный (ёх = ё2 = 0) и плоскопараллельный (ё = ё2= 1) лежат на границе устойчивости. Все отстальные конфокальные резонаторы относятся к положительному или отрицательному типам в области неустойчивости. Как показано на рис. 5.18 (и как видно из (5.6.1)), мода является суперпозицией плоской волны и сферической волны, исходящей из точки общего фокуса зеркал Ех = Р2. Коэффициент увеличения за обход М определяется простым соотношением М = RxZ |#2|, где 2?! и #2 — радиусы кривизны двух зеркал (КХ > |#2|). Если апертура зеркала 1 диаметром 2ах достаточно велика (т. е. 2ах > 2Ма2), то из резонатора будет выходить только плоская волна. Таким образом, излучение, покидающее односторонний конфокальный резонатор, является плоской волной, что является одним из основных преимуществ неустойчивых конфокальных резонаторов. Потеря излучения за обход, или относительная мощность на выходе, определяется для такого одностороннего резонатора соотношением (5.6.5).
![Условие устойчивости обобщенного сферического резонатора обсуждалось в разделе 5.4, где было показано, что области неустойчивости соответствуют незаштрихованным частям плоскости gl9 g2 на рис. 5.7 [10]. Неустойчивые резонаторы разделяют на два вида: положительного типа (англ. negative - branch), с параметрами, удовлетворяющими условию gx - g2 &gt; 1, и отрица­тельного типа (англ. positive-branch), для которых gx g2 &lt; 0. Прежде чем приступить к количественному описанию неустойчивых ре­зонаторов, объясним, почему эти резонаторы представляют интерес для ла­зерной техники. Во-первых, согласно результатам примера 5.5, в заданном устойчивом резонаторе, отвечающем некоторой точке в плоскости gl9 g2, не лежащей вблизи границы устойчивости, размер пятна w обычно такого же порядка, как и в конфокальном резонаторе; таким образом, при длине вол­ны « 1 мкм он обычно меньше 1 мм. В соответствии с результатами приме­ра 5.9, для того чтобы ограничить генерацию модой ТЕМ00, в резонатор ла­зера необходимо поместить диафрагму с радиусом а &lt;2 мм. Если генерация ограничивается модой ТЕМ00 со столь малым разменом поперечного сече­ния, то мощность (или энергия), получаемая в пучке на выходе, с необходи­мостью ограничена. Напротив, в неустойчивых резонаторах пучок не стяги­вается к оси резонатора (см., например, рис. 5.3), так что можно надеяться получить одну поперечную моду большого объема. Однако проблемой неус* тойчивых резонаторов является то, что излучение стремится покинуть его. Таким образом, соответствующие моды имеют существенно большие (гео - j метрические) потери, чем моды в устойчивом резонаторе (где потери связа - 1 ны с дифракцией). Этот факт, с другой стороны, можно рассматривать как J преимущество, если эти покидающие резонатор пучки использовать в каче - 1 стве полезного, выходящего излучения. I НЕУСТОЙЧИВЫЕ РЕЗОНАТОРЫ](/img/655/image532.jpg "Условие устойчивости обобщенного сферического резонатора обсуждалось в разделе 5.4, где было показано, что области неустойчивости соответствуют незаштрихованным частям плоскости gl9 g2 на рис. 5.7 [10]. Неустойчивые резонаторы разделяют на два вида: положительного типа (англ. negative - branch), с параметрами, удовлетворяющими условию gx - g2 &gt; 1, и отрица­тельного типа (англ. positive-branch), для которых gx g2 &lt; 0. Прежде чем приступить к количественному описанию неустойчивых ре­зонаторов, объясним, почему эти резонаторы представляют интерес для ла­зерной техники. Во-первых, согласно результатам примера 5.5, в заданном устойчивом резонаторе, отвечающем некоторой точке в плоскости gl9 g2, не лежащей вблизи границы устойчивости, размер пятна w обычно такого же порядка, как и в конфокальном резонаторе; таким образом, при длине вол­ны « 1 мкм он обычно меньше 1 мм. В соответствии с результатами приме­ра 5.9, для того чтобы ограничить генерацию модой ТЕМ00, в резонатор ла­зера необходимо поместить диафрагму с радиусом а &lt;2 мм. Если генерация ограничивается модой ТЕМ00 со столь малым разменом поперечного сече­ния, то мощность (или энергия), получаемая в пучке на выходе, с необходи­мостью ограничена. Напротив, в неустойчивых резонаторах пучок не стяги­вается к оси резонатора (см., например, рис. 5.3), так что можно надеяться получить одну поперечную моду большого объема. Однако проблемой неус* тойчивых резонаторов является то, что излучение стремится покинуть его. Таким образом, соответствующие моды имеют существенно большие (гео - j метрические) потери, чем моды в устойчивом резонаторе (где потери связа - 1 ны с дифракцией). Этот факт, с другой стороны, можно рассматривать как J преимущество, если эти покидающие резонатор пучки использовать в каче - 1 стве полезного, выходящего излучения. I НЕУСТОЙЧИВЫЕ РЕЗОНАТОРЫ")
|
Рх=Р2 |
Б
|
|
![Условие устойчивости обобщенного сферического резонатора обсуждалось в разделе 5.4, где было показано, что области неустойчивости соответствуют незаштрихованным частям плоскости gl9 g2 на рис. 5.7 [10]. Неустойчивые резонаторы разделяют на два вида: положительного типа (англ. negative - branch), с параметрами, удовлетворяющими условию gx - g2 &gt; 1, и отрица­тельного типа (англ. positive-branch), для которых gx g2 &lt; 0. Прежде чем приступить к количественному описанию неустойчивых ре­зонаторов, объясним, почему эти резонаторы представляют интерес для ла­зерной техники. Во-первых, согласно результатам примера 5.5, в заданном устойчивом резонаторе, отвечающем некоторой точке в плоскости gl9 g2, не лежащей вблизи границы устойчивости, размер пятна w обычно такого же порядка, как и в конфокальном резонаторе; таким образом, при длине вол­ны « 1 мкм он обычно меньше 1 мм. В соответствии с результатами приме­ра 5.9, для того чтобы ограничить генерацию модой ТЕМ00, в резонатор ла­зера необходимо поместить диафрагму с радиусом а &lt;2 мм. Если генерация ограничивается модой ТЕМ00 со столь малым разменом поперечного сече­ния, то мощность (или энергия), получаемая в пучке на выходе, с необходи­мостью ограничена. Напротив, в неустойчивых резонаторах пучок не стяги­вается к оси резонатора (см., например, рис. 5.3), так что можно надеяться получить одну поперечную моду большого объема. Однако проблемой неус* тойчивых резонаторов является то, что излучение стремится покинуть его. Таким образом, соответствующие моды имеют существенно большие (гео - j метрические) потери, чем моды в устойчивом резонаторе (где потери связа - 1 ны с дифракцией). Этот факт, с другой стороны, можно рассматривать как J преимущество, если эти покидающие резонатор пучки использовать в каче - 1 стве полезного, выходящего излучения. I НЕУСТОЙЧИВЫЕ РЕЗОНАТОРЫ](/img/655/image535.jpg "Условие устойчивости обобщенного сферического резонатора обсуждалось в разделе 5.4, где было показано, что области неустойчивости соответствуют незаштрихованным частям плоскости gl9 g2 на рис. 5.7 [10]. Неустойчивые резонаторы разделяют на два вида: положительного типа (англ. negative - branch), с параметрами, удовлетворяющими условию gx - g2 &gt; 1, и отрица­тельного типа (англ. positive-branch), для которых gx g2 &lt; 0. Прежде чем приступить к количественному описанию неустойчивых ре­зонаторов, объясним, почему эти резонаторы представляют интерес для ла­зерной техники. Во-первых, согласно результатам примера 5.5, в заданном устойчивом резонаторе, отвечающем некоторой точке в плоскости gl9 g2, не лежащей вблизи границы устойчивости, размер пятна w обычно такого же порядка, как и в конфокальном резонаторе; таким образом, при длине вол­ны « 1 мкм он обычно меньше 1 мм. В соответствии с результатами приме­ра 5.9, для того чтобы ограничить генерацию модой ТЕМ00, в резонатор ла­зера необходимо поместить диафрагму с радиусом а &lt;2 мм. Если генерация ограничивается модой ТЕМ00 со столь малым разменом поперечного сече­ния, то мощность (или энергия), получаемая в пучке на выходе, с необходи­мостью ограничена. Напротив, в неустойчивых резонаторах пучок не стяги­вается к оси резонатора (см., например, рис. 5.3), так что можно надеяться получить одну поперечную моду большого объема. Однако проблемой неус* тойчивых резонаторов является то, что излучение стремится покинуть его. Таким образом, соответствующие моды имеют существенно большие (гео - j метрические) потери, чем моды в устойчивом резонаторе (где потери связа - 1 ны с дифракцией). Этот факт, с другой стороны, можно рассматривать как J преимущество, если эти покидающие резонатор пучки использовать в каче - 1 стве полезного, выходящего излучения. I НЕУСТОЙЧИВЫЕ РЕЗОНАТОРЫ")
Рис. 5.18
Конфокальные неустойчивые резонаторы: а) отрицательного типа; б) положительного типа.
