ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

СВОЙСТВА ИНТЕРФЕРОМЕТРА ФАБРИ-ПЕРО

Интерферометр Фабри-Перо состоит из двух плоских или сферических зеркал с коэффициентами отражения и #2, расположенных на расстоя­нии Ь в среде с показателем преломления пг. Хотя для наилучшей работы в интерферометрах используют сферические зеркала, рассмотрим здесь для простоты случай двух плоскопараллельных зеркал. Предположим, что на интерферометр в направлении, составляющем угол 0' с нормалью к плоско­стям двух зеркал, падает плоская волна с частотой V (рис. 4.10). Эта волна схематически представлена на рис. 4.10 лучом 0. Волна на выходе из интер­ферометра является суперпозицией волны, прошедшей напрямую через два зеркала (луч 1 на рис. 4.10), и волн, образующихся за счет всех многократ­ных отражений (два из которых — лучи 2 и 3 на рисунке). Таким образом,

Et =YjIEi -[-®оМ2exp(i/<K)]^m(r1r2)mехр(2т/ф). (4.5.1)

J о

Как в соотношении (4.5.1), так и на рис. 4.10,2£0 — это амплитуда напря­женности электрического поля волны, падающей на интерферометр; t1i&t2 — амплитудные коэффициенты пропускания двух зеркал, а гх и г2 — соответст­вующие амплитудные коэффициенты отражения; ф' — набег фазы за один про­ход, который включает в себя также изменение фазы из-за прохождения через два зеркала; 2ф — разность фаз между последовательными многократными отражениями, задаваемая соотношением 2ф = kLs = 2&Lcos 0 = (47mrv/c)Lcos 0, где Ls — сумма длин двух отрезков АВ и ВС на рис. 4.10, а угол 0 связан с углом падения 0' законом Снеллиуса (n^in 0 = sin 0'). Отметим, что предыду­щее выражение может быть для простоты преобразовано в

Нетрудно найти сумму геометрической прогрессии, стоящей в соотноше­нии (4.5.1):

Тр _ р ^уф'___ П£2______

' 0 1-(г1г2)ехр(2/ф)' (4.5.4)

Энергетический коэффициент пропускания интерферометра Т дается соот­ношением Т = |Д,|2/|Я0|2> так что из (4.5.4) получаем:

Г = -

1

- 2гхг2 cos (2ф) + г/г22 Поскольку Ri = г32, R2 = г22 и для зеркал без потерь на поглощение

Г{ — 1 — Ri иц = l-rЈ = 1 — R2,

То соотношение (4.5.5) можно преобразовать в

_______ (1-Д1)(1-Д2)

[1 -(R1R2)l,2f + 4(RxR2 )1/2 вт2ф ’

Что и является окончательным результатом проводимого расчета.

Для того чтобы продемонстрировать свойства интерферометра Фабри-Перо, на рис. 4.11 показана зависимость пропускания Т от частоты V падающей

Волны при = Н2 = 64%. Эта зави­симость построена на основе соот­ношения (4.5.6), где для расчета ф используется (4.5.2). Видно, что кривая пропускания представляет собой последовательность пиков. Эти пики наблюдаются, когда в со­отношении (4.5.6) 8т2ф = 0, т. е. когда ф = тпп, где тп — некоторое по-

Vn = mc/2L'. (4.5.7)

Разность частот двух соседних пи­

Ков по причинам, которые станут понятны в конце этого раздела, называют свободной областью дисперсии (англ. free spectral range) интерферометра - Avfsr. Из (4.5.7) сразу получаем:

Avfsr = c/2L'.

В максимуме пропускания этф = 0, а из (4.5.6) видно, что величина ко­эффициента пропускания равна при этом

Т - (1-Д1Х1-Д2) тах [1-(ВД)1/2:Г

Отметим, что если = #, то Ттах = 1 независимо от величины коэффи­

Циента отражения Я. Этот результат справедлив только если, как до сих пор и предполагалось, в зеркалах нет поглощения.

Минимумы пропускания наблюдаются там, где &ш2ф = 1, т. е. посереди­не между максимумами. Из (4.5.6) для коэффициента пропускания в точке минимума получаем:

_ (L-JfrXl-Jfe) min [1+(Й1Д2)1/2]2'

Отметим, что, как правило, величина Тт1п очень мала (см. пример 4.3).

Для того чтобы определить ширину Ас пика пропускания, отметим, что, согласно (4.5.6), пропускание уменьшится вдвое по сравнению с максималь­ной величиной при таком отклонении Аф от значения ф = пп, для которого вы­полняется равенство 4(#1#2)1/2зт2 Дф = [1 - (Я^)1/2]2. Предполагая, что Дф намного меньше величины я, можно приближеннно считать, что БтДф = Дф, что дает Дф = ±[1 - (Д1Я2)1/2]/2[Я1Л2]1/4. Последнее соотношение показывает, что две точки на половине высоты пика, отвечающие Дф+ и Дф_, расположены симметрично по обе стороны от максимума. Если ввести обозначение Дфс = Дф+ -

- Дф_, то получим:

(4.5.11)

_ с

С 2L' n(R1R2)1/4 ' (4.5.12)

Определим теперь добротность, или остроту полос (англ. finesse) F интер­ферометра как

F = Avfsr/Avc. (4.5.13)

Из (4.5.8) и (4.5.12) получаем:

1 -(ад)1/2' (4.5.14а)

Добротность показывает, во сколько раз ширина пика пропускания меньше свободной области дисперсии; обычно величина добротности много больше 1.

Пример 4.3. Свободная область дисперсии, добротность и пропуска­ние эталона Фабри-Перо. Рассмотрим интерферометр Фабри-Перо, изго­товленный из стеклянной пластины с двумя плоскопараллельными поверх­ностями, на которые нанесено высокоотражающее покрытие (часто назы­ваемый также эталоном Фабри-Перо). Если положить Ь= 1 см и пг= 1,54, то свободная область дисперсии при угле падения близком к нормальному, т. е. при 0 = 0, будет составлять Ду^г = с/2пгЬ = 9,7 ГГц. Если теперь поло­жить = #2 = 0,98, то из (4.5.14а) получим величину добротности F = 150, откуда Дус = Ду^г/ЛР = 65 МГц. Согласно (4.5.9а), если потерь в зеркальном покрытии нет, то пиковое пропускание эталона достигает Ттах = 1; мини­мальное пропускание, в соответствии с (4.5.10), составляет Тт1п = 10~4. Как уже отмечалось, величина Тт1п весьма незначительна.

Приведенные выше описание и формулы справедливы для идеальных непоглощающих зеркал. Если теперь обозначить через А долю падающей мощности, поглощенной зеркалом (коэффициент поглощения зеркала) и счи­тать, для простоты, что коэффициент отражения зеркал одинаков, т. е. по­ложить = Л2 = - К, то из соотношения (4.5.5) сразу получим:

(1-Д)2 (4.5.146)

(1-Д)2 +4.Rsin2(|>’

Где T=t2 — коэффициент пропускания зеркал {Т = 1 - R-A).

4.5.2.

ИНТЕРФЕРОМЕТР ФАБРИ-ПЕРО КАК СПЕКТРОМЕТР

Рассмотрим теперь использование интерферометра Фабри-Перо в каче­стве анализатора спектра. Рассмотрим простейший случай, при котором из­лучение падает по нормали к зеркалам интерферометра (т. е. cos 0 = 1), а сре­дой внутри интерферометра является воздух (пг =1). Предположим, что рас­стояние L можно изменять на несколько длин волн, например, закрепив одно из зеркал на пьезоэлектрическом толкателе (перестраиваемый, или скани­руемый, интерферометр Фабри-Перо). Для того чтобы представить себе, что

LFP

Будет при этом происходить, рассмот­рим вначале монохроматическую волну с частотой V (длиной волны А). В соответствии с предшествующим описанием, пропускание света будет максимальным, когда ф = тп, т. е. когда расстояние между зеркалами интерферометра будет равно Ь = тк/2 (рис. 4.12а), где т — положительное целое число. Изменение I/, необходи­мое для перемещения с одного пика пропускания на соседний, равно

АЬиг='к/2. (4.5.15)

Ширина каждого пика пропускания АЬС такова, что (2п/с)АЬс = Дфс, где Лфс определяется (4.5.11). С помощью (4.5.14а) получаем, что АХс = А/2^. Имеем, таким образом,

АЬс = АЬГзг/Р, (4.5.16)

Что аналогично соотношению (4.5.13).

Рассмотрим теперь случай, когда на интерферометр падают две волны с частотами V и V + Ау. Волна с частотой (у + Ду) образует набор пиков пропус­кания, отвечающих смещению на величину АЬ от пиков, относящихся к час­тоте у (рис. 4.126). Поскольку 2пЬ/с = тг, то смещение АЬ должно быть та­ковым, чтобы выполнялось условие 2п(Ь + ДЬ)(у + Ду)/с = пп, т. е., иначе, АЬ = -(Ду/у )Ь.

Линии двух частот у и у + Ду разрешаются спектрометром, если АЬ > АЬС. Знак равенства в этом соотношении соответствует минимальной разности час­тот Дут, которая может быть разрешена, что означает (Дут/у)Ь = АЬС. С помо­щью (4.5.16) и (4.5.15) приходим при этом к соотношению (Дут/у)Ь = /2Р. Используя (4.5.8) при Ь' = Ь, получаем

Дут = Ду иг/Р. (4.5.17)

Таким образом, добротность интерферометра характеризует его разрешаю­щую способность по отношению к свободной области дисперсии.

Отметим, что когда АЬ = АЬ^Г, т. е. когда Ду = А^г = с/2Ь, пики пропус­кания на частотах у + Ду и у будут совпадать, хотя и отличаться друг от друга на один порядок. Следовательно, если Ду > Ду^8Г, то измерение величины Ду неоднозначно с точностью до целого числа величин Ду^г. Таким образом, при измерении разности частот линий простой и однозначный результат получа­ется только тогда, когда Ду < Ду^8Г, что и объясняет, почему величину ДУ/вг называют свободной областью дисперсии интерферометра. Можно сразу обоб­щить этот результат, заметив, что если Ду08С — спектральная ширина падаю­щего излучения, то для того, чтобы избежать ноднозначности в частотах,

Необходимо, чтобы выполнялось условие Ау08С ^ Ау/8Г. Если предположить, что здесь имеет место равенство, то из (4.5.17) получаем:

Таким образом, добротность Р является также мерой того, насколько хоро­шо можно разрешать частоты внутри спектрального диапазона Ау08С.

Пример 4.4. Спектральные измерения излучения Аг+ лазера. Рассмот­рим лазер на ионах Аг, генерирующий на зеленой линии с длиной волны X — 514,5 нм. Предположим, что лазер генерирует много продольных мод, за­полняющих полный допплеровский контур линии генерации (Ау£ =3,5 ГГц). Таким образом, имеем ДуС8С = Ау5 = 3,5 ГГц. Для того чтобы избежать неод­нозначности в частотах, необходимо взять Ду^г = (с/2Ь) ^ 3,5 ГГц, т. е. Ь ^ 4,28 см. Если теперь предположить, что добротность равна Р = 150, и взять Ь = 4,28 см, то согласно (4.5.18) получим, что разрешение интерфе­рометра составляет Аущ = АуС8С/Р = 23 МГц. Если, например, длина лазер­ного резонатора равна Ьг = 1,5 м, то последовательные лазерные моды отстоят друг от друга (см. главу 5) на Ау = с/2Ьх = 100 МГц. Поскольку Ат < Ду, рассматриваемый интерферометр Фабри—Перо может разрешить эти продольные моды. Отметим, что коль скоро частота лазерного излуче­ния у = с/Х = 5,83 • 1014 Гц, то соответствующая разрешающая способность интерферометра составляет у/Дут = 2,54 • 107. Это очень высокая разрешаю­щая способность по сравнению, например, с наилучшей из получаемых с помощью решеточных спектрометров (у/Ау < 106).