ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

СЕЧЕНИЕ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОГЛОЩЕНИЯ И УСИЛЕНИЯ ДЛЯ ПЕРЕХОДА

В разделе 2.4.1 вероятность вынужденного излучательного перехода была рассчитана для случая взаимодействия падающей электромагнитной волны с одиночным атомом, ширина контура линии перехода в котором определя­ется некоторым механизмом уширения. Рассмотрим теперь ансамбль из ЛГ* атомов в единице объема и определим среднюю вероятность перехода, соот­ветствующую этому случаю.

Вначале рассмотрим ситуацию, когда и резонансная частота у0, и форма контура линии перехода одинаковы для всех атомов (случай однородного уьиирения линии). Вероятность перехода в этом случае будет одной и той же для каждого из атомов, так что можно просто положить:

- у0) = МГ*а(у - у0). (2.4.15)

Если считать теперь, что все атомы находятся в основном состоянии, то для скорости изменения населенности верхнего состояния за счет поглощения излучения, йИ2/^, можно записать:

(с*АГ2/с**) = VbNt. (2.4.16)

Поскольку пропорциональна интенсивности электромагнитной волны,

Т. е. плотности потока фотонов ^ = 1/ку то можно ввести для перехода сече­ние поглощения при однородном уширении аЛ:

3 = ™^. (2.4.17)

Из соотношений (2.4.13а) и (2.4.17) видно, что величина сгЛ определяется соотношением

(2.4.18)

Проводя рассуждения, аналогичные тем, что использовались при обсуж­дении рис. 1.2, из (2.4.16) и (2.4.17), получим уравнение, описывающее из­менение плотности потока фотонов вдоль оси г, в виде (ср. с уравнением (1.2.1)):

1 е£Р = - аЛЛ^с£г. (2.4.19)

Анализ вида уравнения (2.4.19) позволяет дать простую физическую интерпретацию введенного таким образом сечения. Прежде всего, представим себе, что каждому атому можно поставить в соответствие некую площад­ку — эффективное сечение поглощения оа — в том смыс­ле, что если фотон проходит через эту площадку, то он будет поглощен атомом (рис. 2.7). Если обозначить че­рез 5 площадь поперечного сечения пучка электромаг­нитных волн, то число атомов в слое вещества толщиной с12 (см. также рис. 1.2) будет равно что дает сум­марное сечение поглощения для слоя, равное.

Относительное изменение ((П?/Р) плотности потока фо­тонов на длине йг в веществе равно, таким образом,

(с^/Л = ~(оа N^2/8). (2.4.20)

Сравнение соотношений (2.4.20) и (2.4.19) показывает, что аЛ = аа, так что физический смысл, который можно приписать величине стЛ, — это опреде­ленное выше эффективное сечение поглощения.

В некотором смысле иная ситуация реализуется, когда резонансные час­тоты Уо атомов распределены вблизи некоторой центральной частоты у0 (слу­чай неоднородного уширения линии). Такое распределение можно описать
функцией g*(vo - v0), которая определяется таким образом, чтобы величина dNt = Ntg*(vо - vG)dvo давала число атомов с резонансными частотами, попа­дающими в интервал между и Vo +dvо. В соответствии с (2.4.16) часть ско­рости изменения населенности верхнего состояния d(dN2/dt), за счет погло­щения излучения этим числом атомов dNt, составляет величину

D(dN2 /dt)- WhdNt = Wh (v - vq )Ntg * (vq - v0 )dv'0,

Где W^(v-vo)— вероятность переходов для атомов с резонансной часто­той Vq. Полная скорость изменения населенности верхнего состояния опре­деляется при этом выражением

(dN2/dt) = Nt jwA(v-vo)g*(vo - v0)dV(,. (2.4.21)

Сравнение (2.4.21) и (2.4.16) показывает, что можно ввести вероятность пе­рехода при неоднородном уширении Win9 используя соотношение

Щп = Jw^v-vb^vb-votfvb. (2.4.22)

В соответствии с (2.4.17) для рассматриваемого перехода можно теперь опре­делить сечение поглощения при неоднородном уширении ain как oin = Win/F. Разделив обе стороны равенства(2.4.22) на ^и используя (2.4.17), получим:

= JCTft(v-vo)g*(vo - ve)dvo. (2.4.23)

Следуя рассуждениям, относящимся к рис. 2.7, видим, что oin является эффективным сечением поглощения, которое может быть связано с одиноч­ным атомом в том смысле, что фотон поглощается этим атомом, если он прохо­дит через площадку с таким сечением. Отметим, однако, что в действительно­сти при неоднородном уширении каждый атом характеризуется своим сече­нием cifc(v-vo) на частоте падающего излучения, а сечение oin является просто эффективным средним сечением. Отметим также, что согласно (2.4.23) форма и ширина контура линии ain определяются функцией g*(vo “ v0), т. е. распределением резонансных частот атомов. Явления, приводящие к воз­никновению таких распределений частот, будут рассмотрены ниже. Здесь же ограничимся лишь указанием на то, что обычно g*(v'0 -v0) представляет­ся функцией вида:

Х1/2~1схр |~4(v°~v°)2ln2

J AvS2 (2.4.24)

Где множитель в первой квадратной скобке правой части (2.4.24) обеспечи­вает нормировку jg*(vo — v0)dvo =1, и, как легко показать, параметр AvjJ

Представляет собой полную ширину линии перехода (FWHM). Действитель­но, если подставить в экспоненту во второй квадратной скобке (2.4.24) зна­чения (vo - v0) = ±Avq /2, то получим, что величина экспоненты будет равна 1/2, т. е. половине ее максимальной величины, равной 1, которая, очевидно, достигается при (vo~v0) = 0. Соотношение (2.4.24) представляет собой до­статочно общую форму распределения g*(v0-v0), а величина параметра AvJ определяется конкретным действующим механизмом уширения.

С помощью соотношения (2.4.18) выражение (2.4.23) можно преобразо­вать к виду: Р 2 °- = З^Л^|2^(У-Уо)- (2.4.25) В (2.4.25) обозначение ёг(у - у0) используется для описания результирующей формы контура линии перехода, которая определяется как +00 8г = |^*(^[(у-у0)-л:]^л:, (2.4.26) -00 Где х = (уо — у0). Выражение для сечения при неоднородном уширении получается, таким образом, из выражения для сечения при однородном уши­рении (2.4.18) путем замены в нем функции #(у - у0) на функцию ^(у - у0). Отметим, что, в соответствии с (2.4.26), функция ^ является сверткой функ­ций ё и£*. Можно показать, что, поскольку обе эти функции нормированы таким образом, чтобы площадь под контуром равнялась единице, функция ёг Также оказывается нормированной, т. е. (у - у0 )й = 1. Отметим также, что Выражение (2.4.25) имеет более общий вид и включает в себя выражение (2.4.18). Действительно, из (2.4.25) и (2.4.26) сразу следует, что а1п превра­щается в стЛ, когда ё* (уо - у0 ) = 5(уо - у0 ), т. е. когда резонансные частоты всех атомов одинаковы. Наоборот, если ширина контура £(у-Уо) линии перехо­да одиночного атома гораздо меньше ширины распределения Г (уо -^0), обу­словленного неоднородным уширением, то £(у-Уо) в (2.4.26) можно заме­нить 6-функцией Дирака, получив при этом ёг = £*(у - у0) (случай чисто неод­нородного уширения). При этом из (2.4.24) получаем: 1/2

(2.4.27)

Где р = (п1/с) = (пРЬ^/с) — объемная плотность энергии электромагнитной волны.

Аналогичное рассмотрение можно провести для случая вынужденного излучения. Из равенства (2.4.12) непосредственно следует, что для невыро­жденных уровней выражения общего вида для сечения и вероятности выну­жденного излучения снова задаются соответственно соотношениями (2.4.29) и (2.4.30).

Необходимо подчеркнуть, что согласно (2.4.29) сечение а для данного перехода определяется только свойствами среды (||ы|2, ^ и у0) и частотой V падающей волны. Таким образом, зависимость ст от разности (V - у0) — это все, что необходимо знать для описания процесса взаимодействия излуче­ния с веществом. Поэтому сечение а является очень важной и широко ис­пользуемой характеристикой перехода. Отметим, что в случае, когда насе­ленности двух уровней равны Ых и ЛГ2, соотношение (2.4.19) следует записы­вать в более общем виде:

ЙР = - а(А^! - АГ2)Жг.

По виду это выражение аналогично полученному ранее в главе 1 соотноше­нию (1.2.1), в котором = ё2. В то же время проведенное в данном разделе рассмотрение дает более глубокое представление о физическом смысле (эф­фективного) сечения а.

Другой подход к описанию взаимодействия излучения с веществом за­ключается в введении для данного перехода параметра а, определяемого как

А = ст(^1-АГ2).

Если > ЛГ2, то величина а положительна, и ее называют коэффициентом поглощения вещества. Используя (2.4.29), можно следующим образом выра­зить а:

(2.4.33)

Поскольку параметр а зависит от населенностей двух связанных переходом уровней, то он не слишком удобен при описании ситуаций, когда эти насе­ленности изменяются, как, например, это происходит в лазерах. Однако пре­имущество его использования заключается в том, что коэффициент погло­щения а часто можно непосредственно измерить. Действительно, из (2.4.31) и (2.4.32) получаем:

ЙР = - аРйг.

Отсюда следует, что отношение плотности потока фотонов, прошедших че­рез слой вещества толшиной I, к плотности потока падающих фотонов равно [Р(1)/Р(0)] = ехр(-аI). Измерив это отношение в эксперименте при использо­вании излучения с достаточной степенью монохроматичности, можно опре-

Делить величину а на данной длине волны. Соответствующую величину се­чения для перехода можно затем получить, при известных величинах АГ1 и с помощью соотношения (2.4.32). Если среда находится в термодина­мическом равновесии, то и Ы2 можно определить из соотношения (1.2.2), если известны суммарная населенность + Ы2 и кратности вырожде­

Ния уровней. Прибор для измерения а называется спектрофотометром по­глощения. Однако отметим, что измерение поглощения нельзя произвести, если уровень 1 не заселен. Такая ситуация имеет место, если, например, со­стояние 1 не является основным, и отстоит от него по энергии на величину много большую, чем кТ.

В заключение следует отметить, что если Л/2 > то величина коэффи­циента поглощения а, определяемая соотношением (2.4.32), становится от­рицательной, так что, очевидно, электромагнитная волна будет усиливаться в среде, а не поглощаться. В этом случае принято использовать новый пара­метр а именно:

§ = су(Ы2 - Ыг), (2.4.35)

Величина которого положительна; его называют коэффициентом усиления.