ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ПРОСТРАНСТВЕННО-ЗАВИСИМАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим случай, когда распределение моды в резонаторе и скороспУ накачки являются пространственно зависимыми. В данном случае инверсиД населенностей оказывается также пространственно зависимой и, таким ст­разом, скоростные уравнения становятся более сложными. Таким образов, в данном разделе будут рассмотрены наиболее важные результаты, а более^е- тальное их описание можно найти в приложении Д. Предположим, что рас­пределение поля в резонаторе обладает цилиндрической симметрией, и пусть величина и обозначает амплитуду поля заданной моды, нормированную на ее максимальное значение. Для простоты представим, что величина и не за­висит от продольной координаты г резонатора, тогда как скорость накачки будем считать зависящей как от радиальной, так и от продольной координа­ты, т. е. Ир = Rp(r9 г).

Поскольку здесь рассматриваются пороговые условия, в приложении Д будет показано, что выражение (7.3.2) рассматривается для среднего значе­ния инверсии ЛГ, т. е.:

(Юс в (У/а0> (7.3.19)

Где усреднение ведется по распределению квадрата амплитуды поля [см. так­же выражение (6.3.17)], а именно:

/

PV | и |2 dV /1 и |2 dV (7.3.20)

а

И интегрирование ведется по всему объему активной среды. В каждой точке активной среды (ниже порога генерации или близко к нему) должно соблю­даться условие равновесия между числом атомов, возбуждаемых под дейст­вием накачки, и числом спонтанно релаксирующих атомов, т. е. Rp(r, г) = = N(r, г)/т. При достижении порога генерации имеем следующее:

<Л)с=Ик = JL (7.3.21)

У т gIt

Где (Rp) обозначает усреднение величины Rp (г, г) по распределению квадрата амплитуды поля [см. выражения (6.3.8) (7.3.19)].

После достижения порога генерации, при условии d§/dt = 0, находим, что среднее значение усиления равняется полным потерям, т. е.:

Ol{N)о - у - gI(N)c. (7.3.22)

Таким образом, согласно данному выражению среднее значение инвер­сии (N)0 достигает порогового значения и остается на этом уровне после пре­вышения порога (см. рис. 7.3).

Для расчета пороговой (Рел) и выходной (Pout) мощности лазера необхо­димо знать пространственные распределения величин и2 и Rp. Предполо­жим, что генерация осуществляется на одной моде ТЕМ00. Для этого слу­чая запишем:

| и |2= ехр[-(2г2 /м>о)]. (7.3.23)

Это означает, что: 1) поперечный размер пучка не зависит от координа­ты 2 и равен размеру пучка в перетяжке (w0); 2) профиль стоячей волны моды можно не учитывать (в качестве сравнения см. выражение (6.3.9)).

Для распределения Rp (г, г) рассматриваются два случая: 1) накачка одно­родна, т. е. Rp = const; 2) профиль накачки является гауссовым, как в случае продольной накачки, например лазерными диодами. В этом случае имеем

Rp(r, z) = Сехр[-2(г2 /и;2)]ехр[-(аг)],

Где С — константа, пропорциональная полной входной мощности накачки (см. выражение (6.3.7)).

Рассмотрим вначале случай однородной накачки, которая обеспечивает­ся либо лампой, либо электрическим разрядом. Далее, используя выраже­ние (6.2.6) или (6.4.26), получаем:

<7-3-24»

Где а — радиус цилиндрической среды. Теперь рассмотрим стержень с бо­ковой поверхностью, выполненной в виде оболочки (см. раздел 6.3.3), где активная среда заключена только в центральной области 0 ^ г ^ а стерж­ня, тогда как вне этого диапазона (т. е. при г > а) в стержне отсутствуют какие-либо примесные атомы. В этом случае усечением пучка вследствие ограниченной апертуры активной среды можно пренебречь. Таким обра­зом, уравнение (7.3.23) можно решать для области 0 < г < оо, принимая во внимание, что Rp = const для 0^г^аиЛр=0 для г > 0. Для определения среднего значения Rp подставим выражение (7.3.24) в (7.3.21) и применим затем соотношение (7.3.23). В этом случае получаем выражение для поро­говой мощности Pth, которое имеет тот же вид, что и соотношение (6.3.22), если параметр г)р заменить на гр1. Далее расчет выходной мощности выпол­няется по алгоритму, приведенному в приложении Д; здесь будут рассмот­рены лишь конечные результаты. Определим нормированную мощность накачки х в виде

X = Pp/Pmth, (7.3.25)

Где Pmth — минимальное значение порога генерации, которое имеет место при w0 <С а и которое определяется, согласно выражению (6.3.22), как

Также зададим нормированную выходную мощность у в виде

У = Роиг/Р8, (7.3.27)

Где Р8 — мощность, при которой активная среда насыщается. Данный пара-

Метр определяется как

_ У о nwfi,

Ps =2—~2~ *' (7.3.28)

У 50
40
ЗО
20
10
0
Окончательное выражение, связывающее параметры хну, имеет вид:
У
(7.3.29)
Х —
Где
(7.3.30)
Р = ехр[-(2а2 / wl)],
1 Если в выражении (7.3.9) взять Р8 = Аь13у2/2> то данное соотношение даст у = (х - 1), гДв параметры у их задаются формулами (7.3.27) и (7.3.25).

Смотрим в качестве примера случай, когда ю0 = = 0,7а. Зависимость от х для этого случая при­ведена на рис. 7.10 (сплошная кривая). Начи­ная со значения гг * 0,97(ю0/а)2 « 0,473, при не­больших значениях мощности параметр гг рас­тет и стремится к единице, когда х 1. Такое поведение можно объяснить тем, что энергия возбужденного атома может уменьшаться либо за счет процессов вынужденного излучения, либо за счет спонтанных переходов. Таким об­разом, при низких уровнях входной мощности, т. е. когда х->19 вблизи центральной области пучка (где интенсивность пучка высокая) пре­обладает вынужденное излучение, тогда как ближе к периферии пучка преобладает спонтан­ное излучение или спонтанные переходы. При больших значениях х, т. е. когда мощность пуч­ка возрастает, вынужденное излучение начи - сплошная кривая отображает слу­чай неоднородной накачки, пунк­тирная кривая приведена для слу­чая гауссова профиля накачки.

Нает преобладать на большей части профиля

Накачки и, следовательно, для большей части возбуждаемых атомов. В ко­нечном счете, при очень высоких уровнях мощности практически все возбу­жденные атомы будут участвовать в вынужденных переходах, т. е. = 1, и в этом случае весь профиль пучка накачки будет задействован в генерации [6].

При использовании накачки лазерными диодами можно обеспечить зна­чительное превышение мощности накачки над пороговым значением, и было бы полезно рассмотреть этот случай при изучении поведения зависимости г|*

(Щ/а) (и’о^Г

Рис. 7.11

А) График зависимости эффективности заполнения г), активной среды от параметра (ш0/а)2 при нормированной мощности накачки х - 10 для случая неоднородной накачки (ы;0 — поперечный размер моды, а — радиус стержня), б) Зависимость т|, от параметра (^о/ы'р)2 при нормированной мощности накачки х = 10 для случая гауссова профиля накачки (здесь юр — размер пятна профиля накачки):

Кружками обозначен график для четырехуровневого лазера, треугольниками — для квази-трехуровневого лазера при В = авЛ^/у = !•

От параметра (ю0/а)2 для больших значений х. График такой зависимости для случая х = 10 приведен на рис. 7.11а. Из рисунка видно, что для получе­ния значений г|* > 90% необходимо иметь ю0 > 0,66а, а для ьи0 = 0,7а достига­ется значение эффективности заполнения более 94%. Однако для более тра­диционных лазерных систем (со стержнем без оболочки) увеличивать и даль­ше поперечный размер пучка оказывается невыгодно, поскольку это приводит к значительному росту дифракционных потерь вследствие ограниченной апертуры стержня.

Для гауссова профиля пучка накачки вычисления проводятся аналогич­ным образом, см. также приложение Д. Здесь снова определяется нормиро­ванная выходная мощность как величина у, см. выражение (7.3.27), где вели­чина Р8, как и раньше, задается отношением (7.3.28). Определим нормирован­ную мощность накачки через х> см. выражение (7.3.25), где Ртгн представляет в этом случае минимальное пороговое значение для гауссова профиля пучка накачки и находится из выражения (6.3.20), когда ю0 <С юр. Таким образом, для Ртгн получаем:

Рщгк =|

(7.3.32)

Соотношение между параметрами у их задается следующим выражением:

1= ел

* л+

Где 8 = (ю0/юр)2. И хотя это выражение отличается по форме записи, оно пол­ностью согласуется с первоначальным представлением, которое было выве­дено Моултоном [13]. Для ю0 иор имеем 8 -» 0, так что выражение (7.3.33) дает такой же результат, что и отношение (7.3.29) (когда и>0 а, т. е. когда Р -> 0). Таким образом, график зависимости у от х имеет такой же вид, как и в случае однородной накачки (см. рис. 7.9). Действительно, для очень ма­леньких значений поперечного размера пучка не существует разницы между однородной накачкой и накачкой с гауссовым профилем распределения. Для ю0 = юр имеем 8 = 1.

Интегрируя уравнение (7.3.33), получаем:

1п(1 + У)

1-

У

График зависимости описываемый выражением (7.3.34), представлен на рис. 7.9 пунктирной линией. Здесь можно снова рассчитать дифференци­альный КПД как г|в = (1Роиг/йРр = (Р8/Ртгк)(<1у/<1х) и убедиться, что параметр г8 может быть выражен через соотношение (7.3.14), где, как и в случае с попе­речной накачкой лазерными диодами, г|9 — к/Нр и где теперь

(7.3.35)

Я ы>£ йх

Зависимость гг от параметра х при ьи0 = ьир9 определяемая выражениями (7.3.34) и (7.3.35), представлена на графике рис. 7.10 пунктирной линией. Рост кривой в этом случае имеет тот же физический смысл, что и в случае однородной накачки. Необходимо отметить, что для относительно больших значений х (х > 7) эффективность заполнения среды для этих двух случаев оказывается приблизительно одинаковой. График зависимости тг от пара­метра (IVо/юр)2 для х — 10 показан на рис. 7.116. Точками на графике обозна­чены результаты, взятые из источника [13], тогда как кривые отображают результат интерполяции этих точек. Сравнивая графики на рис. 7.11а и б, можно видеть, что рост зависимости г|* от параметра (и)0/и>р)2 оказывается более медленным, чем в случае однородной накачки. Это связано с более низким значением скорости накачки на краях гауссова профиля по сравне­нию с однородным распределением накачки.

Из графиков на рис. 7.116 видно, что для достижения более высоких значе­ний т],, например 94%, достаточно иметь ю0 « и)р9 хотя это менее выгодно с точ­ки зрения увеличения поперечных размеров лазерного пучка. Действительно, если гг в этом случае увеличивается незначительно, то пороговая мощность накачки Р^, которая пропорциональна величине (м;§+м;|), (см. выражение (6.3.20)), может возрасти существенно. Таким образом, при больших значе­ниях х условие и>0 « юр (также называемое условием согласования мод) мо­жет считаться более или менее оптимальным. Пунктирная линия на рис. 7.9 отображает зависимость выходной мощности для данного случая при опре­деленной мощности накачки. Если сравнить данную кривую с зависимостью, при которой ю0 = 0,7а, может возникнуть ошибочное ощущение, что для за­данного значения х и для одного и того же размера пятна ю0 в пучке выход­ная мощность, полученная при использовании гауссова профиля накачки, оказывается меньше, чем при использовании однородной накачки. Однако при рассмотрении этих двух случаев накачки необходимо проводить сравне­ние не только для равных размеров пучка, но и для одинаковой области на­качки, т. е. для (пи>2 /2) = па2. Если теперь рассмотреть случай ю0 = юр (для гауссовой накачки), и если принять равными размеры пятна в моде для этих двух случаев, то будет иметь место (пи% /2) = па2. Таким образом, для одно­родной накачки кривая, которую необходимо взять в качестве сравнения, должна рассматриваться для размера перетяжки ьи0 = 42а. Этот график так­же приведен на рис. 7.9, и здесь нетрудно видеть, что пунктирная кривая (гауссов профиль накачки) и сплошная кривая (однородная накачка) прак­тически совпадают. Следует отметить, что кривая с параметром и>0 -[2а приведена лишь в качестве сравнения, поскольку для реальной активной среды (стержень без оболочки) данная ситуация приводила бы к значитель­ному увеличению дифракционных потерь вследствие ограниченной аперту­ры активной среды.

До сих пор при рассмотрении данной темы характер моды стоячей волны не учитывался, т. е. величина и2 описывалась выражением (7.3.23), а не (6.3.9). Это справедливо для однонаправленных кольцевых резонаторов (см. рис. 5.4а), тогда как для большинства других случаев, например для резонаторов с двумя зеркалами, при генерации одной продольной моды формируется характерная пространственная картина стоячей волны.[31] Для моды с равномерным попе­речным распределением влияние характера профиля распределения стоя­чей волны на выходную мощность было рассмотрено Касперсоном [6]. Полу­ченный результат можно представить в виде пятого множителя в правой части выражения (7.3.14), которое описывало величину дифференциально­го КПД. Можно обозначить этот множитель как продольный коэффициент использования распределения накачки Т1г, или продольную эффективность. Вблизи порога генерации это значение составляет г|/ = (2/3) = 0,666 и увели­чивается до значения, например, = (8/9) = 0,89 при десятикратном превы­шении порога.

Физический смысл величины г|{ примерно такой же, как и г|,, а именно: после достижения порога генерации атомы, находящиеся в области пучно­сти стоячей волны, распадаются преимущественно за счет вынужденных про­цессов, тогда как атомы, расположенные вблизи узлов стоячей волны, уча­ствуют в спонтанных переходах. Таким образом, при увеличении парамет­ра ху т. е. при увеличении плотности энергии, большая часть атомов, которые располагаются вблизи максимумов амплитуды поля, распадаются в боль­шей степени за счет вынужденных процессов, и продольная эффективность возрастает.

В заключение данного раздела отметим, что если принимать во внимание пространственную зависимость уравнений, задача становится более слож­ной. Однако выражения для пороговой инверсии населенности и пороговой скорости накачки остаются идентичными тем, которые получены при рас­смотрении пространственно-независимой модели, если использовать сред­ние значения (Ы)с и (.Е)с. Следует также отметить, что, как показано в разде­ле 6.3.3, данный результат также является подходящим, если учитывать пространственную картину стоячей волны в моде. С другой стороны, выра­жение для выходной мощности, как функции величины превышения накач­ки над порогом, усложняется. Тем не менее, что касается величины диффе­ренциального КПД, данные результаты являются простыми и понятными, и они могут быть напрямую связаны с результатами, полученными в рамках пространственно-независимой модели.

Пример 7.4. Пороговые условия и выходная мощность Nd:YAG лазера с продольной накачкой лазерными диодами. В качестве примера рассмот­рим схему лазера, приведенную на рис. 7.12, в которой используется Nd: YAG стержень длиной 1 см. Для продольной накачки стержня исполь­зуется массив из лазерных диодов, ширина массива — 100 мкм, длина вол­ны излучения накачки составляет 805-808 нм [15]. Согласующая оптика состоит из собирающей линзы с фокусным расстоянием 6,5 мм и числовой апертурой 0,615; пары анаморфотных призм с кратностью 4х и линзы с фо-

Кусным расстоянием 25 мм для фокусировки излучения накачки на стержне (см. рис. 6.12). В данном случае резонатор NdrYAG лазера формируется из плоского зеркала, напыленного на входной торец стержня и выходного зеркала радиусом 10 см, коэффициент отражения которого составляет 95%; расстояние между зеркалами составляет приблизительно 5,5 см. Через плос­кое зеркало в стержень передается около 93% мощности накачки. При та­кой геометрии перетяжка моды ТЕМ00 формируется на плоском зеркале, и размер пятна в перетяжке может быть рассчитан как w0 « 130 мкм (при этом влиянием тепловой линзы в стержне можно пренебречь). Такой размер
пятна в пучке накачки обеспечивает хорошее согласование для лазерной моды ТЕМ00. Выходные характеристики лазера приведены на рис. 7.13. Пороговая мощность накачки составляет Р, Л «75 мВт. При оптической мощ­ности накачки Рр = 1,14 Вт достигается выходная мощность РоШ = 370 мВт. При такой выходной мощности измеренное значение дифференциального КПД для оптической накачки составляет г|5 » 40%.

Чтобы сравнить пороговую мощность накачки с ожидаемым значе­нием, предположим, что поперечное распределение пучка накачки опи­сывается приблизительно гауссовой функцией, и предположим, что и>р~юо = 130 мкм. Из выражения (6.3.22), принимая Нур = 2,45 • 10~19 Дж, ое = 2,8 • 10-19 см2ит = 230 мкс, получаем (у/гр) « 3,7 • 10~2. Для коэффи­циента пропускания 5% выходного зеркала получаем у2 » 5 • 10-2, далее, полагая, что внутренние потери за проход составляют уь = 0,5 • 10-2, по­лучаем у = уг + (у2/2) = 3 • 10-2. Исходя из рассчитанного значения у/гр9 далее получаем величину гр « 81%, которая включает в себя суммарный коэффициент пропускания согласующей оптики, а также пропускание плоского зеркала для указанной длины волны излучения накачки. Сле­дует отметить, что эффективность поглощения излучения накачки лазер­ным стержнем за один проход, описываемая выражением г|а = {1-ехр [-(а/)]}, может быть приравнена единице при среднем значении коэффициента поглощения ~6 см-1 в полосе длин волн 805-808 нм (см. рис. 6.8а) для стержня длиной 1= 1 см. Теперь можно сравнить измеренное значение дифференциального КПД с ожидаемым значением. Поскольку пороговая мощность при юр ж ю0 составляет 75 мВт, то минимальная пороговая мощ­ность, которая имеет место при —» 0, должна составить половину этого значения, т. е. РшН * 38 мВт. Таким образом, при входной мощности

1, 14 Вт имеем х « 30. Для этого значения х, из уравнения (7.3.34), нахо­дим у = 26, а из выражения (7.3.35) получаем г|*« 0,97. Далее имеем Л с = (Уг/У) = 0,83 и цд = (807/1060) = 0,76. Таким образом, ожидаемое (рас­четное) значение дифференциального КПД для оптической накачки со­ставляет г|8 = ЛрЛсПгЛд = 0,49, что достаточно хорошо согласуется с изме­ренным значением. Следует отметить, что продольная эффективность здесь не принимается во внимание, поскольку лазер генерирует на мно­гих продольных модах, вследствие чего суммарная пространственная картина стоячих волн этих мод формирует достаточно равномерное рас­пределение плотности энергии вдоль лазерного стержня. Согласно вы­ражениям (7.3.27) и (7.3.28), ожидаемое значение выходной мощности, при мощности на входе 1,14 Вт, составляет РоШ = уР8 = 500 мВт, т. е. несколько больше экспериментального значения. Это расхождение мо­жет быть связано с тепловыми эффектами в лазерном стержне, которые при больших значениях мощности накачки приводят к росту потерь и уменьшению размера пятна ю0.

Следует отметить, что указанное выше значение эффективности 40% имеет отношение только к оптической эффективности. Для получения пол­ного дифференциального КПД лазера, учитывающего электрическую на­качку массива лазерных диодов, необходимо умножить оптическую эф­фективность на значение г|г эффективности преобразования электрической накачки в оптическую. Из рис. 7.13 находим г|г « 29%, таким образом, зна­чение полного дифференциального КПД составляет около 11,6% .