ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕЗАВИСИМАЯ МОДЕЛЬ

В разделе 7.2 были рассмотрены скоростные уравнения для четырехуров­невой схемы лазера, предполагалось, что время жизни нижнего лазерного уровня является очень коротким. Прежде чем приступить к подробному рас­смотрению непрерывного режима работы лазера в рамках таких допущений, следует определить необходимое условие для возникновения непрерывной генерации, когда время жизни тх нижнего лазерного уровня является огра­ниченной величиной. Прежде чем это сделать, отметим, что стационарная населенность уровня 1 должна определяться условием баланса населенно­стей для фотонов, приходящих на уровень 1 и уходящих с него. Таким обра­зом, при отсутствии генерации можно записать (М1/т1) = (А^/т21)> гДе Т21 — время жизни перехода 2 —» 1. Если теперь для простоты рассмотреть случай с двумя отдельными, равно вырожденными уровнями, то для возникновения генерации необходимо потребовать, чтобы ЛГ2 > А/'1. Согласно предыдущему выражению это означает, что

Т1 < т21- (7.3.1)

Если данное неравенство не выполняется, то работа лазера возможна в импульсном режиме лишь при условии, что длительность импульса накачки не превышает времени жизни верхнего уровня. Возникнув, лазерная генера­ция будет продолжаться до тех пор, пока число атомов, накопившихся на нижнем уровне (в результате вынужденного излучения), не станет достаточ­ным для снятия инверсии населенностей. Поэтому такие лазеры называются лазерами на самоограниченных переходах. С другой стороны, если выраже­ние (7.3.1) справедливо и величина постоянна и достаточно велика, то, в
конечном счете будет выполнено условие стационарной генерации. Теперь можно проанализировать это условие в предположении, что т2, так что­бы были применимы уравнения (7.2.16).

Рассмотрим вначале пороговое условие генерации лазера. Предположим, что в момент времени £ = 0 в резонаторе вследствие спонтанного испускания присутствует некоторое небольшое число фотонов ф* (например, ф^ = 1). При этом из уравнения (7.2.166) видно, что для выполнения неравенства (с? ф/сй) > О, должно выполняться условие (ВУаЫ) > 1/тс. Следовательно, генерация воз­никает в том случае, когда инверсия населенностей N достигнет критическо­го значения Ис, определяемого выражением (см. также раздел 1.2):

Ые^(1/ЕУахс) = (у/Ы)9 (7.3.2),

При выводе которого использовались выражения (7.2.13) и (7.2.14). Соответ­ствующее значение для критической скорости накачки Ир выводится из урав­нения (7.2.16а), полагая (йЫ/дЛ) = 0, что соответствует устойчивому состоя­нию, а также полагая N = ЫС и ф = 0. Таким образом, можно видеть, что крити­ческая скорость накачки соответствует ситуации, когда скорость 11ср накачки уравновешивает скорость Ыс/х спонтанного перехода с уровня 2, т. е.

Кср = К/х = (у/с/х), (7.3.3)

Где было использовано выражение (7.3.2).

Если Нр > то число фотонов ф будет возрастать от исходного значе­ния, определяемого спонтанным излучением, и если Яр не зависит от време­ни, то число фотонов, в конечном счете, достигнет некоторого стационар­ного значения ф0. Это значение, а также соответствующее стационарное зна­чение инверсии ЛГ0, выводятся из уравнения (7.2.16), если положить в них (йЫ/(И) = (й$/сИ) = 0. Таким образом, имеем:

ЛГ0-(1/В? л) = (у/аО, (7.3.4а)

Фо = Птс[Др-(ЛГ0/т)]. (7.3.46)

Следует отметить, что соотношение (7.3.46) было получено из выраже­ний (7.3.4а), (7.2.14) и (7.2.15).

Выражения (7.3.4) описывают непрерывный режим работы четырехуровневого лазера. Рас­смотрим их более детально. Сравнивая выраже­ния (7.3.4а) и (7.3.2), можно видеть, что равенст­во ЛГ0 = ЛГС выполняется даже когда Щ > 11ср, т. е. инверсия в условиях стационарного состояния всегда равна критической или пороговой инвер­сии. Для лучшего понимания данного результата рассмотрим на рис. 7.3 график зависимости вели­чин N и ф от скорости накачки Яр. Если К, р < то ф = 0 и инверсия N возрастает линейно с рос­том При Ир = 11Ср все еще имеем N = ЛГС и ф = 0. Если теперь кр превышает то, как видно из выражения (7.3.4), инверсия населенностей И0

Остается постоянной и равна критической, тогда как ф0 линейно возрастает с ростом Нр. Иными словами, когда скорость накачки оказывается выше поро­говой, в резонаторе лазера увеличивается число фотонов (т. е. электромаг­нитная энергия, запасенная в резонаторе); когда скорость накачки не превы­шает пороговую, растет только инверсия населенностей (т. е. энергия, запа­сенная в активной среде).

Теперь можно переписать выражение (7.3.46) в более простой форме, вы­нося член (Л^оЛ) = №с/т) = Вср за квадратные скобки. Таким образом:

Фо=(^о)—(ж-1), (7-3-5>

Т

Где

Х = НрШср (7.3.6)

Представляет собой относительное превышение скорости накачки. Нетрудно заметить, что как для оптической, так и для электрической накачки можно записать следующее:

Х = Рр/Ргн, (7.3.7)

Где Рр — мощность накачки, а Р1Н — ее пороговое значение. Подставляя вы­ражения (7.3.7) и (7.3.4а) в уравнение (7.3.5) можно получить более удобную запись:

Л _ - А-ъУ тс

El

Pth

(7.3.8)

Где Аъ = (Уа/1) — поперечное сечение моды (область пучка), которое, как пред­полагается, должно быть меньше или равно поперечному сечению А = (V/I) активной среды.

Запишем теперь выражение для выходной мощности. Используя выра­жения (7.2.18) и (7.3.8), получаем:

Pout =(-Aft-fs)[

(7.3.9)

Где Is = hv/<5T — интенсивность насыщения усиления для четырехуровневой системы [см. выражение (2.8.24)]. Это выражение согласуется с тем, которое получил Ригрод [5] в своем анализе «проход за проходом» для случая, когда зеркало 1 имеет стопроцентное отражение. Поскольку кривая зависимости Pout от Рр имеет вид прямой линии, пересекающей ось Рр в точке Pp = PthJ можно определить дифференциальный КПД лазера как

4s = dP0Ut/dPp, (7.3.10)

Где T|s — величина, которая оказывается постоянной для заданной лазерной схемы.

С помощью предыдущего выражения, а также уравнений, полученных в главе 6, можно получить весьма полезное и наглядное выражение для пара­метра т}8. Подставляя вначале Pout из формулы (7.3.9) в выражение (7.3.10), запишем:

Аъ hv у о 1

^ ~ стт ~2 ' Pth' (7.3.11)

Как для оптической, так и для электрической накачки подстановка вы­ражения (6.2.6) или (6.4.26) в формулу (7.3.3) дает следующее соотношение:

(7.3.12)

Где, как уже оговаривалось, утр определяет разницу в частотах между верх­ним лазерным уровнем и основным состоянием; и А представляет собой пло­щадь поперечного сечения активной среды. Из выражений (7.3.11)и(7.3.12) получаем:

(7.3.13)

Таким образом, можно записать:

(7.3.14)

Где: 1) г)р — эффективность накачки; 2) г)с = у2/2у — доля фотонов, сгенери­рованных на выходе резонатора (или, другими словами, эффективность связи на выходе резонатора). Здесь следует отметить, что в любом случае Лс< 1, причем единица достигается при уг = у* = 0; 3) цд = Ну/Нтр — доля минималь­ной энергии накачки, которая преобразуется в лазерную энергию (ее можно также обозначить как квантовую эффективность лазера); 4) =АЬ/А опре­деляет часть площади поперечного сеченая активной среды, которая заполня­ется лазерным пучком (другими словами этот параметр можно назвать коэф­фициентом заполненця сечения активной среды или эффективностью сече­ния). Следует отметить, что в данном случае накачка считается однородной.

Пример 7.2. Непрерывный режим работы мощного А!<1:УАС лазера с оптической накачкой. Рассмотрим лазерную систему, изображенную на рис. 7.4. Стержень из ЫсЬУАО длиной 7,5 см и диаметром 6,35 мм (кон­центрация N(1 составляет 1% ) накачивается излучением криптоновой лам­пы высокого давления, помещенной вместе со стержнем в эллиптический осветитель. Резонатор лазера состоит из двух плоских зеркал, располо­женных на расстоянии 50 см друг от друга. Коэффициент отражения пер­вого зеркала составляет = 100%, а выходного зеркала И2 = 85%. Зави­симость мощности Роиг на выходе зеркала 2 (в многомодовом режиме) от мощности электрической накачки Рр9 подводимой к криптоновой лампе, показана на рис. 7.5, [7]. Следует отметить, что речь идет о мощном непре­рывном N(1:УАО лазере, выходная мощность которого превышает 200 Вт. Поскольку данный лазер генерирует на многих продольных и поперечных

#2=85%

Рис. 7.4

Возможная схема резонатора непрерывного Кс1:УАО лазера с оптической накачкой

Рис. 7.5

Зависимость выходной мощности непрерывного излучения от входной

Мощности лампы накачки

В мощном КсіїУАО лазере

(согласно работе Коэхнера [7])

Модах, то согласно рассуждениям, приведенным в разделе 7.2.1, было бы обосновано сравнить экспериментальные результаты с теоретическими рас­четами, проводимыми в рамках рассмотренной пространственно-незави - симой модели скоростных уравнений. Действительно, в случае, когда вход­ная мощность превышает пороговую, за исключением значений вблизи порога, экспериментальная кривая на рис. 7.5 демонстрирует линейную зависимость выходной мощности от входной, как это и следовало из выра­жения (7.3.9). Экстраполируя линейный участок данной кривой, можно определить пороговую мощность Рт = 2,2 кВт. Таким образом, после пре­вышения накачки над порогом зависимость выходной мощности может быть представлена следующим приближенным выражением:

Рош = 53[(Рр/Р- 1].

Где Рои( выражена в ваттах. Значение дифференциальной эффективности может быть легко найдено из выражения (7.3.15): = (<1Роиг/йРр) =

= 53/Р1Ъ = 2,4%. Сравним выражения (7.3.15) и (7.3.9), принимая во внима­ние (как уже обсуждалось в примере 2.10), что эффективное сечение перехода для длины волны X = 1,06 мкм (в материале КсЬУАО), а также время жизни верхнего уровня такого перехода составляют а = 2,8 • 1019 см2 и т = 230 мкс со­ответственно. Энергия фотона с такой длиной волны равна Нх = 3,973 • 10~19 х х (0,5/1,06) = 1,87 • 10~19 Дж, где значение 3,973 • 10-19 Дж есть энергия фотона с длиной волны 0,5 мкм (см. приложение 3). Далее находим значе­ние насыщения интенсивности линии 18 = /гу/ат = 2,9 кВт/см2. Теперь мож­но принять Н2 = (1 “ а2 ~ Т2)« (1 — Т2), поскольку для зеркал с очень хоро­шим качеством напыления поглощение а2 может составлять менее 0,1%. Далее имеем у2 = -1п#2 = 0,162. Сравнивая выражения (7.3.15) и (7.3.9), получаем значение Аъ » 0,23 см2, которое можно сравнить с поперечным сечением стержня А «0,317 см2. Для того чтобы сравнить значения диффе­ренциального КПД и пороговой мощности, полученные путем экстраполя­ции, с результатами теоретических расчетов, необходимо знать величи­ну у, точнее у*. Поскольку ух = 0, выражение (7.3.12) с помощью (7.2.8) мож­но переписать в виде:

(7.3.16)

Следовательно, если провести несколько измерений пороговой мощно­сти накачки при различных коэффициентах отражения #2, то должна по­лучиться линейная зависимость величины у2 = —1п #2 от РгЛ. Именно такая

Зависимость и наблюдается экспериментально, как это видно из рис. 7.6. Экстраполяция этого отрезка прямой на ось у2 дает, в соответствии с выра­жением (7.3.16), величину внутренних потерь (анализ Финдли и Клэя [9]). Таким образом, из рис. 7.6 получаем значение yf» 0,038 и, следовательно, полные потери у = (у2/2) + yt« 0,12.

Поскольку полные потери известны, можно, используя выражение

(7.3.14) , сравнить измеренное значение дифференциального КПД, r|s = 2,4%, с теоретическими результатами. Выбираем цс = у2/2у « 0,68. Также выби­раем rq = АтрД = 0,89, где Хтр = 0,94 мкм — длина волны, соответствую­щая переходу с верхнего лазерного уровня в основное состояние для Nd: YAG лазера(см. рис. 2.15). Согласно предыдущим вычислениям, г)t = Ab/A » 0,72. Из выражения (7.3.14) получаем rjp = 5,5%, что вполне соответствует эф­фективности накачки для криптоновой лампы (см. также табл. 6.1). Рас­считываемое значение Pth может быть теперь легко получено из выраже­ния (7.3.12), принимая во внимание, что hvmp & 2,11 • 10-19 Дж. Исходя из этого, получаем Pth «2,26 кВт, что достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными. Зная полные потери, можно также вы­числить пороговую инверсию населенностей. Из выражения (7.3.2) нахо­дим Nc = 5,7 • 1016 ионов/см3. При доле примеси 1% общая концентрация атомов Nd составляет Nt = 1,38 • Ю20 ионов/см3. Таким образом, Nc/Nt = = 4,1 • 10~4, т. е. действительно инверсия населенностей составляет лишь очень небольшую долю полной населенности.

Пример 7.3. Непрерывный режим работы мощного С02 лазера. Рассмот­рим лазерную систему, изображенную схематично на рис. 7.7, которая включает в себя неустойчивый резонатор положительной ветви, что обес­печивает большой объем моды и, следовательно, высокую выходную мощ­ность. Длина резонатора составляет L= 175 см, а длина активной среды

I — 140 см. Активная среда состоит из газовой смеси C02:N2:He с соотноше­нием парциального давления 1:1:8 и полным давлением 100 Topp. Для эф­фективного охлаждения газовая смесь прогоняется поперек оси резонатора. Как показано на рисунке, возбуждение газа осуществляется постоянным элек­трическим разрядом между двумя плоскими электродами (поперечный раз­ряд, см. также рис. 6.196). На рис. 7.8 представлена типичная зависимость выходной мощности лазера Pout от входной мощности г* подводимой

Рис. 7.7

Возможная схема резонатора мощного непрерывного С02 лазера

Рис. 7.8 Зависимость выходной мощности Р от мощности Рр, подводимой к электрическому разряду, для мощного непрерывного С02 лазера

К электрическому разряду [10]. Экспериментальные точки на графике мож­но аппроксимировать выражением:

Pout = 6,66[(Pp/Pth) - 1], (7.3.17)

Где величина Pout дается в киловаттах, a Pth — пороговая мощность накач­ки, полученная путем экстраполяции (Pth « 44 кВт).

При давлении 100 Topp уширение линии генерации в С02 лазере обу­словлено преимущественно столкновительными процессами. Полагая, что температура газа составляет Т = 400 К, получаем Avc « 430 МГц (см. при­мер 3.3), тогда как доплеровское уширение дает -50 МГц (см. пример 3.2). Для заданной длины резонатора разность частот между двумя соседними продольными модами составляет Av = c/2L = 107 МГц, и при значительном превышении накачки над порогом в резонаторе могут генерироваться не­сколько продольных мод. Кроме того, в генерации могут участвовать и не­сколько поперечных мод. Действительно, число Френеля (см. раздел 5.6.2) в данном случае оказывается достаточно большим (Neq = 7,4), и, как ожида­ется, потери нескольких поперечных мод сравнимы по величине (см. рис. 5.21). Следовательно, поперечный профиль пучка внутри резонатора можно считать достаточно однородным. Таким образом, имеет место слу­чай, когда описанная ранее модель скоростных уравнений дает достаточно хорошее приближение; и поскольку С02 лазер работает по четырехуровне­вой схеме, можно сравнить выражения (7.3.17) и (7.3.9). Для этого необхо­димо знать пропускание Т2 выходного зеркала. Поскольку поперечный профиль пучка считается достаточно однородным, будем использовать при­ближение геометрической оптики. Значение Т2, которое соответствует по­терям за полный (двукратный) проход в неустойчивом резонаторе, опреде­ляется выражением Т2 = (М2 - 1 )/М2 = 0,45 (см. выражение (5.6.5)). Здесь величина М представляет собой увеличение за полный проход резонатора и задается выражением М = RX/R^ = 1,35, где Rx и R2 — радиусы кривизны соответствующих зеркал (R2 < 0, т. к. зеркало 2 является вогнутым). Срав­
нивая выражения (7.3.17) и (7.3.9) и используя соотношениеу2 = - In (1 - Т2) » « 0,6, получаем AbIs = 22,3 кВт. Диаметр пучка в резонаторе (см. также рис. 5.18б) составляет D = 2Ма2 « 7,6 см, где 2а2 = 5,7 см — диаметр выход­ного зеркала (см. рис. 7.7). Таким образом, получаем Ab = nD2/4 » 45 см2 и 18» 500 Вт/см2. Данное значение хорошо согласуется с теоретическими оцен­ками интенсивности насыщения линии для С02 лазера такого типа [11].

Используя данные, приведенные на рис. 7.8, вычислим теперь коэф­фициент усиления g активной среды до момента насыщения (т. е. когда лазерная генерация еще не началась) при входной мощности накачки Р « 140 кВт. Действительно, имеем:

G = N2a = E*-Nna = E*-l, (7.3.18)

*th rth 1

Где N2 — населенность верхнего уровня до момента насыщения при Рр = = 140 кВт, a N2o — населенность этого уровня при Р Следует отметить,

Что выражение (7.3.4а) использовалось для iV20, так что коэффициент усиле­ния насыщения g0 = N20g имеет вид g0 = у/I. Для того чтобы рассчитать g0t необходимо знать потери резонатора у за один проход. Предположим, что потери на зеркале за счет поглощения и рассеяния составляют 2%. На са­мом деле, для мощной лазерной генерации на длине волны 10,6 мкм поли­рованные и охлаждаемые водой зеркала, изготовленные из меди, обеспечи­вают существенно более высокие потери, чем многослойные диэлектриче­ские зеркала. Далее, имеем yt» 0,02, и поскольку ух = 0, у2 = 0,6, получаем у «0,32. Подстановка этого значение в выражение (7.3.18) дает значение g0 = 6,3 • 10~3 см-1. Коэффициент усиления до момента насыщения может быть легко получен экспериментально путем измерения коэффициента уси­ления активной среды при снятых зеркалах резонатора. Измеренные значе­ния коэффициента усиления для такого типа лазерной системы достаточно хорошо согласуется с теоретическими оценками, полученными здесь [12].

Сравним теперь экспериментальное значение дифференциального КПД, полученного из рис. 7.8, с расчетными оценками. Положим г|р « 0,8 (см. рис. 6.28), т)с = у2/2у = 0,94, rt« 1 и r|g = hv/hvmp = 0,4 (см. схему энергети­ческих уровней С02 лазера, глава 10). Из выражения (7.3.14) получаем = 0,3, что значительно превышает значение, полученное эксперимен­тально из рис. 7.8 (rjs« 0,21). Это расхождение можно объяснить как ми­нимум двумя различными обстоятельствами:

1. Коэффициент заполнения r|f может быть заметно меньше единицы. Возможно, если бы в данной задаче значение было взято из предыдуще­го примера, rj, = 0,73, то теоретический результат практически бы полно­стью совпал с экспериментальными данными.

2. Данные на рис. 7.7 относятся к системе, работающей частично по замкнутому циклу, и в этом случае продукты электрического разряда (боль­шей частью СО и 02) имеют склонность накапливаться в газовой смеси и уменьшать тем самым КПД накачки ниже теоретического значения 80%. В действительности для большинства используемых С02 лазеров крайне редко достигается значение дифференциального КПД больше, чем ~20%.

Рассмотренный пример позволяет наглядно понять механизм умень­шения дифференциального КПД от его предельного теоретического значе­ния, ограниченного сверху квантовой эффективностью или квантовым вы­ходом (г|9 = 40%).