ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ

Рассмотрим теперь три волны с частотами сох, со2 и со3 (причем со3 = сох - I - со2), взаимодействующие в кристалле. Общее поле Е(г, £) этих волн можно запи­сать в виде следующей суммы:

E(z, t) = Ещ (z, t) + (z, t) + Еаз (z, t),

Где каждое из полей определяется выражением (12.4.27а). Подставляя (12.4.29) в соотношение (12.4.2) и используя (12.4.27а), получаем выражение для ком­понент Р^ь(г) (аналогичное выражению (12.4.276)) нелинейной поляризации
на различных частотах со*. Выполнив утомительные, но несложные алгеб­раические преобразования, находим, что, например, компонента Р^ь(г) на частоте сох задается выражением:

Ргт =280<Щ}(2)Я2*(г)ехр [у№ - йз)2]. (12.4.30)

Компоненты нелинейной поляризации Рмь на частотах со2 и со3 вычисля­ются аналогичным образом. Подставляя в уравнение (12.4.28) компоненты величины Рмь9 соответствующие трем частотам, получаем следующие три уравнения:

DE3E2exp [—у(Д? з —k2~ki)z], (12.4.31а) dE3Ei exp [-j{k3-kl-k2)z, (12.4.316)

Эти основные уравнения описывают нелинейное параметрическое взаи­модействие. Нетрудно видеть, что они связаны между собой посредством не­линейного коэффициента d.

На данном этапе удобно определить новую переменную А* поля:

Л = (^М)1/2^. (12.4.32)

Поскольку интенсивность волны равна /* = п*е0с|2£*|2/2, соответствующий поток фотонов Ft можно записать в виде: Ft = Ii/focdi = (e0c/2/i)|Aj2. Таким об­разом, величина |At2 пропорциональна потоку фотонов Ft с частотой со*, при­чем коэффициент пропорциональности не зависит от nt и со*. В этих новых полевых переменных уравнения (12.4.31) принимают вид:

}А2* exp [-j(Akz)], (12.4.33а)

3Aiexp [-/(Ate)], (12.4.336)

LiA2exp [j(Akz), (12.4.33b)

Аг 2 —

Где а* = а*/я*е0с, Ак = к3-к2~к1и

И л1/2

8 = ^1 Ю10)2(03 1 . (12.4.34)

СуЩЩПз )

Преимущество использования А* вместо Еь очевидно, поскольку в проти­воположность уравнениям (12.4.31) в уравнения (12.4.33) теперь входит един­ственный параметр связи 5.

Пренебрегая потерями (т. е. полагая щ = 0), умножая обе части уравнения (12.4.33а) на А{, а обе части уравнения (12.4.336) на А2 и сравнивая получен­ные выражения, приходим к следующему соотношению: = -<2|А3|2/*йг.

Выполняя аналогичные преобразования уравнений (12.4.336) и (12.4.33в), получаем йА22/йг = ~(1Аг2/йг. Таким образом, можно записать следующие равенства:

(1г йг йг 9

Которые называются соотношениями Мэнли-Роу. Поскольку величина |А*|2 пропорциональна соответствующему потоку фотонов, из соотношений (12.4.35) следует, что всякий раз, когда уничтожается фотон с частотой со3, образуют­ся фотоны с частотами сох и со2. Это согласуется с фотонной моделью парамет­рического процесса, о которой говорилось в разделе 12.4.1.2. Следует заме­тить, что из соотношений (12.4.35) вытекает, например, следующее равенст­во: (с/Рх/с^г) = -(со1/со3)(^Р3/^г),где Рг и Р3 — мощности соответствующих волн. Таким образом, в излучение с частотой щ может быть преобразована лишь часть мощности излучения с частотой со3.

Строго говоря, уравнения (12.4.33) справедливы в случае «бегущей» вол­ны, когда в кристалле произвольной длины распространяются три волны с частотами со15 со2, о>3. Покажем теперь, каким образом эти уравнения можно применить к случаю оптического параметрического генератора, схематиче­ски показанного на рис. 12.8. Рассмотрим сначала генератор, работающий по двухрезонансной схеме. В этом случае внутри резонатора в прямом и об­ратном направлениях распространяются две волны с частотами и со2. Па­раметрический процесс имеет место здесь только тогда, когда направления распространения этих волн и волны накачки совпадают (поскольку лишь при данных обстоятельствах удовлетворяется условие фазового синхрониз­ма). Если «развернуть» оптический путь волны в резонаторе так, как показа­но на рис. 12.9а, то из рисунка видно, что волны испытывают потери на любом участке пути, в то время как параметрическое усиление имеет место лишь на одном из двух отрезков пути. Эту ситуацию можно эквивалентно представить в виде схемы, приведенной на рис. 12.96, если соответствую­щим образом определить коэффициент эффективных потерь а* (I = 1, 2). По­тери, определяемые на рис. 12.96 длиной кристалла I, на самом деле должны быть равны потерям при двойном проходе резонатора, как показано на

Рис. 12.9

А) «Развертка» оптического пути в резонаторе ОПГ; б) приведение рассмотренной выше конфигурации к варианту однопроходной схемы, причем потери на зеркалах включены в распределенные потери в кристалле

Рис. 12.9а. Последние представляют собой реальные потери в кристалле, а также потери, обусловленные дифракцией и отражением на зеркалах. Сле­довательно, входящие в уравнения (12.4.33) коэффициенты и а2 должн- быть определены таким образом, чтобы они учитывали эти различные поте­ри. Из уравнений (12.4.33), пренебрегая параметрическим взаимодействием (т. е. полагая 6 = 0), можно видеть, что после прохождения пути I, равного длине кристалла, мощность излучения на частоте со* (I = 1, 2) уменьшается в ехр(-а*0 раз. При этом необходимо учитывать потери, которые испытывает излучение при двукратном проходе резонатора. Это требование можно запи­сать следующим образом:

Ехр(-аа) = RuR2i(l ~ Lt)2,

Где Еи и Л21 — коэффициенты отражения (по мощности) соответствующих зер­кал, а Ц — потери в кристалле (с учетом дифракционных потерь) за один проход излучения с частотой со*. Определим теперь следующие величины (ср. с (1.2.4)): уи = -1пД1г, у2; = -1пД2„ у2г =-1пЙ2г, у; =—1п(1-1-г)иу( =[(уц+у2</2]+у|. При этом выражение (12.4.35а) принимает вид:

(12.4.36)

Где у* — общие потери в резонаторе (на частоте со*) за один проход. Заметим, что это равносильно замене потерь, обусловленных отражением от зеркал, потерями, распределенными по кристаллу, и последующему включению их в эффективный коэффициент поглощения а* (Ь = 1, 2) кристалла. При этом ве­личина а3 учитывает лишь потери внутри кристалла, которыми, вообще гово­ря, можно пренебречь. Таким образом, на этом этапе можно утверждать, что в случае двухрезонансной параметрической генерации уравнения (12.4.33) все еще остаются справедливыми при условии, что а2 и а2 определяются выра­жением (12.4.36) и что а3 = 0.

Чтобы получить пороговое условие для параметрической генерации в двухрезонансной схеме, приведем уравнения (12.4.33) к более простому виду, предположив, что «истощением» волны накачки за счет параметрического процесса можно пренебречь. Используя это предположение, а также предпо­ложение о том, что а3 = 0, можно положить А3(г) = А3(0), гдеА3(0) — ампли­туда падающей волны накачки, которая считается вещественной. Если пред­положить затем, что Ак = 0 (идеальный фазовый синхронизм), то уравнения (12.4.33) принимают существенно более простой вид:

(12.4.37a)

(12.4.376)

(12.4.38)

Теперь нетрудно получить пороговое условие для параметрической ге­нерации при двойном резонансе. Для этого в уравнениях (12.4.37) поло­
жим dAx/dz = dA2/dz = 0, что приводит к следующей системе однородных уравнений:

Oil Ах + jgA2 =0, (12.4.39а)

JgA1 - а 2А2 =0, (12.4.396)

Где в последнем уравнении левая часть является комплексно-сопряженной относительно правой части уравнения (12.4.376). При решении этой одно­родной системы уравнений ненулевые значения Ах и А2 имеют место лишь при условии

G2 = ага2 = 4 (т2/12). (12.4.40)

Последнее выражение получено с помощью соотношения (12.4.36). Сле­дует отметить, что согласно (12.4.38), величина g2 пропорциональна величине Е3(0), т. е. интенсивности волны накачки. Таким образом, условие (12.4.40) означает, что для возбуждения параметрической генерации необходима оп­ределенная пороговая интенсивность волны накачки. Как будет показано в следующем примере, эта интенсивность пропорциональна произведению по­терь (по мощности) у! и у2 двух волн с частотами coj и со2 за один проход в резонаторе и обратно пропорциональна величинам d2 ml2.

Пример 12.4. Расчет пороговой интенсивности пучка накачки в двух­резонансном оптическом параметрическом генераторе. Из соотношений

(12.4.38) и (12.4.40) нетрудно получить выражение для порогового значе­ния величины Е3(0), которая представляет собой квадрат амплитуды поля пучка накачки:

Р2 /л - °2 п1п2 У1У2

Поскольку интенсивность пучка накачки задается выражением /3 = = п3£0сЕ32/2, соотношение для пороговой интенсивности накачки можно записать в виде:

Г И ^ Г#- Мгч л ^ л Л

[У1Уг].

Где Z = 1/г0с = 377 Ом — полное электрическое сопротивление свободного пространства, и — длины волн «сигнальной» и «холостой» волны со­ответственно. Заметим, что член в правой части этого выражения, приве­денный в первых квадратных скобках, имеет размерность интенсивности, таким образом, все остальные члены в квадратных скобках являются без­размерными.

Случай однорезонансной параметрической генерации является несколь­ко более сложным. Если лазерный резонатор настроен лишь на частоту сох, то величину ах можно снова представить в виде (12.4.36). Поскольку волна на частоте со2 не отражается обратно в резонатор, величина а2 будет включать в себя только потери в кристалле и, следовательно, эту величину можно не учитывать. Опять пренебрегая «истощением» волны накачки и предпола­гая, что фазовый синхронизм является идеальным, уравнения (12.4.37)
можно применить и в этом случае, но при условии, что а2 = 0. В случае, ко­гда параметрическое преобразование невелико, в правой части уравнения

(12.4.376) можно положить А{(г) = А{(0). Таким образом, имеем следующее выражение:

A2(z) = - jgAf(0)z/2, (12.4.41)

При выводе которого предполагалось, что А2(0) = 0 (т. е. из резонатора в кри­сталл волна на частоте со2 обратно не возвращается). Если подставить выраже­ние (12.4.41) в (12.4.37а) и в правой части последнего положить Аг(г) = А^О), то можно записать следующее:

IH~f+Tb<o>- <12-4-42)

Интегрирование этого уравнения по длине кристалла I дает следующее выражение для амплитуды волны на частоте сох:

А (0 = А (0)^1 ~^Y+(12.4.43)

Пороговое условие достигается при Аг(1) = Ах(0), т. е. когда

G2 ='TL = l2L' (12.4.44)

Поскольку величина g2 пропорциональна интенсивности I волны накач­ки, сравнение выражений (12.4.44) и (12.4.40) дает отношение пороговых значений интенсивности накачки:

^- = — (12.4.45)

*DRO У2

(здесь индексы SRO и DRO обозначают однорезонансную и двухрезонансную генерацию соответственно). Если в качестве примера выбрать потери за про­ход равными у2 = 0,02 (т. е. 2%), то из выражения (12.4.45) находим, что пороговая мощность для однорезонансной генерации должна быть в 100 раз больше, чем для двухрезонансной.