ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

НЕУСТОЙЧИВЫЕ РЕЗОНАТОРЫ С ЗЕРКАЛОМ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ОТРАЖЕНИЯ

Некоторые, если не все, недостатки неустойчивых резонаторов с резкой границей зеркала можно исправить, используя неустойчивые резонаторы с зеркалом с переменным коэффициентом отражения. В этом случае коэф­фициент отражения зеркала на выходе, вместо того чтобы равняться 1 при г < а2 и нулю при г > а2, как у резонатора с резкой границей зеркала, умень­шается по радиусу от максимальной величины И0 в центре вплоть до нуля на расстоянии, сравнимом с поперечным размером активной среды [14]. Обо­значим через р(г) коэффициент отражения зеркала 2 по напряженности поля и рассмотрим односторонний резонатор с коэффициентом увеличения за об­ход М. Для простоты используем подход, основанный на геометрической оптике. Используя в качестве координаты расстояние г от оси резонатора вдоль радиуса, можно представить, что напряженность и2(Мг) электриче­ского поля волны, проходящей после одного обхода через точку с координа­той Мг на зеркале 2, определяется напряженностью и2(г)*поля волны, па­дающей на зеркало 2 в точке с координатой г в начале обхода. Учитывая коэффициент отражения по напряженности зеркала 2 и коэффициент уве­личения за обход М, можно записать, что

4(Мг)-Й2й£>. (5.6.6)

Появление величины М в знаменателе в правой части выражения (5.6.6) не­трудно объяснить тем, что после М-кратного увеличения площадь пучка уве­личивается в М2 раз. При неизменной мощности в пучке его интенсивность должна уменьшиться в М2, а напряженность электрического поля — в М раз.

Если функция и2 отвечает моде резонатора, то должно выполняться соот­ношение и2(г) = аи2(г), в котором а является действительной величиной, по модулю меньшей 1, что связано с наличием в резонаторе потерь. Из (5.6.6) получаем:

Ст“2(Мг)----------- м----- ' (5.6.7)

Собственные функции и2(г) = и21(г) уравнения (5.6.7) определяют распреде­ления напряженности электрического поля внутри резонатора перед зерка­лом 2. При этом собственные значения этого уравнения определяют потери за обход, обусловленные выходом излучения, в соответствии с известным соотношением (см. (5.2.6)):

У = 1 — а2. (5.6.8)

Рассмотрим вначале случай гауссового профиля коэффициента отраже­ния зеркала на выходе резонатора [11, 12]. Запишем коэффициент отраже­ния этого зеркала в виде:

Р = р0ехр(-г2/и4), (5.6.9)

Где р0 — коэффициент отражения в максимуме, а параметр wm задает попе­речный масштаб изменения профиля коэффициента отражения. Отметим, что в соответствии с (5.6.9) профиль коэффициента отражения по энергии, величина которого обычно измеряется в эксперименте, имет вид:

R = До exp(-2r2 /wl), (5.6.10)

Где Rq = pg — коэффициент отражения по энергии в максимуме. Используя соотношение (5.6.9) путем непосредственной подстановки можно показать, что решение уравнения (5.6.7) низшего порядка имеет вид:

“2о(/'> = UaoCOJexpt-r2/^2), (5.6.11)

ГДе W2 = (М2 -1 )Wm.

Соответствующее собственное значение а равно

G = Po/M, (5.6.13)

Так что согласно (5.6.8) потери, обусловленные выходом излучения, равны

У=1-(Д0/М2). (5.6.14)

Радиальный профиль интенсивности пучка, падающего на зеркало 2, оп­ределяется соотношением:

Iin(r) = iin(0)exp (-2Г2 / w2). (5.6.15)

Видно, что радиальные профили как амплитуды напряженности электриче­ского поля и2о, так и интенсивности Iin пучка описываются функцией Гаус­са. С другой стороны, радиальный профиль интенсивности выходящего пуч­ка Iout определяется выражением

Ioutir) = Iin(r)[ 1 - Д(г)] = /*Л(0)[ехр (~2r*/w2) - R0exр (-2MV/h;2)], (5.6.16)

Для получения которого были использованы соотношения (5.6.15), (5.6.10) и (5.6.12). Отметим, что радиальное распределение Iout не описывается функ­цией Гаусса и при определенных условиях можно ожидать, что этот профиль будет иметь плоскую вершину при г = 0, что представляет интерес с точки зрения некоторых приложений. Действительно, это может иметь место, если выполняется условие (d2Iout/dT2,)r=={i = 0. Из выражения (5.6.16) находим, что для этого коэффициент отражения R0 в центре зеркала и коэффициент уве­личения М должны быть связаны соотношением

RqM2 = 1. (5.6.17)

Потери за обход в этом резонаторе, согласно (5.6.14) и (5.6.17), даются вели­чиной

У =1 - (1/М2). (5.6.18)

Приведенные соотношения являются основными результатами для неус­тойчивых резонаторов с гауссовыми профилями коэффициентов отражения зеркал. Хотя эти результаты получены на основе простых рассуждений в рамках геометрической оптики, при относительно больших значениях
эквивалентных чисел Френеля (ЛГС9 ^ 5) они хорошо согласуются с расчета­ми, использующими методы волновой оптики [15]. Для зеркал с гауссовыми профилями коэффициентов отражения изящный анализ в рамках волновой оптики можно также провести, взяв за основу соответствующую комплекс­ную АВС1)-матрицу [16].

Пример 5.11. Расчет неустойчивого резонатора с зеркалом на выхо­де, имеющим гауссов профиль коэффициента отражения. Положим у = 0,5, исходя из того, что эта величина оптимизирует мощность излучения на выходе из данного лазера (см. главу 7), и рассмотрим случай, когда попе­речный профиль пучка на выходе имеет плоскую вершину. Из (5.6.18) по­лучаем М2 = %/2, из (5.6.17) имеем До=1/М2=1/л/2=0,71, а (5.6.12) дает а’2 =0,41 Радиальные профили коэффициента отражения зеркала на выходе и интенсивности излучения внутри и снаружи резонатора показа­ны на рис. 5.23. Обозначим теперь через а радиус активной среды и будем считать, что она находится непосредственно перед зеркалом 2, а радиаль­ный профиль интенсивности пучка в среде описывается функцией 1т(г). Для того чтобы избежать излишнего виньетирования пучка апертурой ак­тивной среды, т. е. чтобы избавиться от обусловленных таким виньетиро­ванием ярко выраженных дифракционных колец, можно, например, на­ложить условие, что11п(а)/11п(0) = 2 • 10-2. Получим при этом а = 0,9и)т, что для данного размера апертуры а определяет величину характерного пара­метра ют гауссова профиля коэффициента отражения. Например, если по­ложить а = 3,2 мм, то получим, что шт = 3,5 мм. Таким образом, гауссово зеркало должно иметь максимальный коэффициент отражения Д0 = 71%, характерный параметр профиля ьит = 3,5 мм и быть установлено в неустой­чивом резонаторе (например, конфокальном) с увеличением за обход, рав­ным М = [2]1/4 = 1,19.

Второй рассматриваемый случай относится к супергауссову профилю ко­эффициента отражения [17]. Вместо (5.6.9) и (5.6.10) запишем теперь:

Р = р0 ехр(—гп /и;" ), (5.6.19а)

Д = До ехр(-2гл /И&). (5.6.196)

При п > 2 соотношения (5.6.19) описывают супергауссовы профили коэффи­циентов отражения. Подстановка соотношения (5.6.19а) в (5.6.7) дает при этом

^20 (г) = ы20(0)ехр (-гп/юп), (5.6.20)

Ю = гит(Мп - 1)1/п. (5.6.21)

Снова имеем, что а = Ро/М иу=1-с2=1- (Д0/М 2). Из (5.6.20) получаем

Теперь

1ы(г) = ^т(0)ехр (-2 г-/IV "). (5.6.22)

Радиальные профили, как и2о, так и 1Ьп, описываются супергауссовыми функциями того же порядка п, что и профили коэффициента отражения. С другой стороны, профиль интенсивности выходящего пучка 1ои1 нетрудно получить из выражения 1оШ = /^(г)[1 - Д(г)], при этом он не описывается су - пергауссовой функцией.

Для того чтобы сравнить работу неустойчивых резонаторов с гауссовым и супергауссовым профилями коэффициента отражения зеркала на выхо­де, на рис. 5.24а приведены профили интенсивности 1Ы при п = 2 (гауссов профиль) и п = 5, 10 (супергауссовы профили). Кривые нормированы на значения в максимуме, а соответствующие величины характерного пара­метра и; в выражениях (5.6.22) и (5.6.15) выбраны таким образом, что ехр (-2ап/ьип) = 2 • 10-2, где а — радиус активной среды. Таким образом, сравнение выполнено при одинаковой степени виньетирования пучка актив­ной средой. Основное преимущество супергауссова зеркала по сравнению с гауссовым очевидно из рис. 5.24а: при увеличении порядка п супергауссо­вы зеркала позволяют более эффективно использовать активную среду (т. е. площадь поперечного сечения моды Ат увеличивается с ростом п). В то же время с ростом п возрастает угол дифракционной расходимости 0^, как это можно понять из рис. 5.246. На нем показаны соответствующие радиаль­ные профили 1оиг(г), рассчитанные при Я0 = 0,45 иМ=1,8. Видно, что по

Рис. 5.24

Сравнение гауссова и супергауссовых (п = 5, п = 10) профилей коэффициента отражения зеркала на выходе из неустойчивого резонатора: радиальные профили интенсивности пучка (а) внутри резонатора и (б) на выходе из резонатора (из [18], с разрешения)

Мере возрастания п в поперечном распределении интенсивности пучка на выходе появляется провал увеличивающейся глубины, что приводит к воз­растанию расходимости пучка. Следствием этих двух противоположных тен­денций является то, что яркость пучка, которую можно считать пропорцио­нальной величине Ат /0^, как функция п имеет максимум. Величина п, со­ответствующая этому максимуму, зависит от коэффициента увеличения за обход М и коэффициента отражения Д0 в центре зеркала, но во всех практи­чески интересных случаях она изменяется в пределах от 5 до 8 [18]. Таким образом, с точки зрения получения наибольшей яркости пучка, зеркала с супергауссовыми профилями коэффициента отражения порядков п = 5 8

Являются оптимальными для неустойчивого резонатора с зеркалом с пере­менным коэффициентом отражения.