ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

МОДЫ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОЛОСТИ

Рассмотрим полость прямоугольной формы, показанную на рис. 2.1. Для расчета функции ру определим вначале типы стоячих волн электромагнит­ного поля, которые могут существовать в данной полости. В соответствии с уравнениями Максвелла, напряженность электрического поля Е(х, у, г, £) должна удовлетворять волновому уравнению:

У2Е-^'0*°' (2-2'4»

Где V2 — оператор Лапласа, а сп — скорость света в рассматриваемой среде. Помимо этого напряжен­ность поля должна удовлетворять граничному ус­ловию на каждой из стенок полости:

Е х п = 0, (2.2.5)

Где п — нормаль к поверхности рассматриваемой стенки. Данное условие отражает тот факт, что для идеально проводящих стенок тангенциальная ком­понента электрического поля на стенках полости должна обращаться в нуль.

Нетрудно показать, что данная задача решается путем разделения пере­менных. А именно, если представить ее решение в виде:

Е = и(х, г/, z)E(t) (2.2.6)

И затем подставить выражение (2.2.6) в уравнение (2.2.4), то получим соот­ношение

У2ц = 1 d2E и с2 dt2 '

Поскольку левая часть данного равенства зависит только от пространствен­ных координат х, у, г, тогда как правая часть зависит только от времени t, то для его выполнения при любых значениях пространственных и временных переменных необходимо и достаточно, чтобы обе его части были равны од­ной и той же константе, которую обозначим через - к2. Отсюда получаем два уравнения для функций и(х, у, г) и E(t):

V2 u = - fc2u, (2.2.7а)

D2E __ / l2 р

Df2 - Vn*) (2.2.76)

Уравнение (2.2.76) имеет общее решение вида:

Е = Е0cos (cot + ф), (2.2.8)

Где Е0 и ф — произвольные константы и

Со = спк. (2.2.9)

Поскольку функция E(t) описывается выражением (2.2.8), то решение (2.2.6) можно записать в виде:

Е(х, у, 2, О = Е0и(х, I/, г)ехру(со£ + ф). (2.2.9а)

Отсюда видно, что в произвольной точке пространства (х, у, г) напряжен­ность электрического поля периодически изменяется во времени с постоян­ной амплитудой и(х, у, z), что соответствует стоячей волне электромагнит­ного поля внутри полости. Решение такого типа называется электромагнит­ной модой полости.

Приступим теперь к решению уравнения (2.2.7а), известного как уравне­ние Гельмгольца, учитывая при этом граничное условие, заданное соотноше­нием (2.2.5). Нетрудно проверить, что выражения:

Их = excos kxx sin kyy sin kzz, (2.2.10a)

Uy = eysinkxx cos куу sin kzz, (2.2.106)

Uz = e^sin kxx sin kyy cos kzz (2.2. 10b)

Удовлетворяют уравнению (2.2.7a) при любых значениях ехУ еу, ег, если толь­ко выполняется равенство:

К2+к2+к2=к2. (2.2.11)

Для того чтобы получить окончательное решение, необходимо потребовать выполнения граничного условия (2.2.5). Отметим вначале, что выражения

(2.2.10) в том виде, как они записаны, уже удовлетворяют этому условию на трех плоскостях х = 0, у = 0, г = 0. Действительно, если взять, к примеру, плоскость г = 0, то условие (2.2.5) требует выполнения равенства их = иу = 0, и из (2.2.10а) и (2.2.106) видно, что оно справедливо, если положить 2 = 0. Если теперь потребовать выполнения условия (2.2.5) на трех других стенках полости, то получим:

Где I, тип — положительные целые числа. Действительно, если взять, на­пример, плоскость г = Ь9 то условие (2.2.5) требует выполнения равенства их = иу = 0, и из (2.2.10а) и (2.2.106) видно, что оно справедливо, если поло­жить г = Ь и принять во внимание (2.2.12в). Физический смысл чисел /, т и п заключается в том, что они представляют собой количество узлов, кото­рые имеет мода стоячей волны вдоль направлений хууиг соответственно.

Нетрудно заметить, что данные значения 1,тип однозначно определяют резонансную частоту моды. В самом деле, величины кх, ку и кг задаются соот­ношениями (2.2.12), и тогда, в соответствии с (2.2.9) и (2.2.11), угловая час­тота моды определяется соотношением:

(2.2.13)

В котором явно показано, что частота моды щтп зависит от индексов I, тип. Отметим, что мода при этом все еще не полностью определена, поскольку ве­личины еХ9 еу и е2 пока еще остаются произвольными. Однако из уравнений Максвелла вытекает другое условие, которому должно удовлетворять элек­трическое поле, а именно V • и = 0, из которого, используя выражения (2.2.10), получаем равенство ехкх + еуку + е2к2 = 0. Это равенство можно кратко запи­сать в виде:

Е • к = 0, (2.2.14)

Где введено два вектора е и к, компонентами которых вдоль осей х9 у и г являются величины ех, еуие2и кх9 ку и к2 соответственно. Используя равенст­во (2.2.14), можно показать, что из трех величин ех, еу и е2 только две явля­ются независимыми. Действительно, если зафиксировать 19 тип (опреде­лив тем самым вектор к), то, согласно (2.2.14), векторе должен лежать в плоскости, перпендикулярной к. В этой плоскости для выбора вектора е ос­таются лишь две степени свободы. В самом деле, если обозначить через ^и|/ два произвольных ортогональных единичных вектора, лежащих в некото­рой плоскости, то любой вектор е, лежащий в той же плоскости, можно пред­ставить в виде линейной комбинации этих двух векторов, т. е. е = е^ + е^у. Это рассуждение показывает, что заданным величинам 19 тип соответству­ют две независимые моды, с одной и той же резонансной частотой и ортого­нальными поляризациями напряженности электрического поля.

Определим теперь число резонансных мод АГ(у), частоты которых лежат в диапазоне от 0 до у. Это число будет равно количеству мод, волновой век-

Тор к которых будет иметь величину к в диапазоне от 0 до 2п/сп. Из соотно­шений (2.2.12) видно, что в системе координат кх9 ку и кг возможные зна­чения вектора к задаются векторами, соединяющими начало координат с узловыми точками трехмерной про­странственной решетки, изображен­ной на рис. 2.2. Однако поскольку ве­личины кх, ку и к2 являются положи-
Т7І-Т7І
	(2.2.15)
2.2.2. ЗАКОН РЭЛЕЯ-ДЖИНСА И ФОРМУЛА ПЛАНКА ДЛЯ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Для того чтобы рассчитать плотность энергии ру, найдем вначале величи - НУ Ру — число мод в единице объема и в единичном интервале частот (плот­ность числа мод9 или состояний электромагнитного поля, в полости). По­скольку ру = йИ(у)/Уй9 то из (2.2.15) сразу же получим:

(2.2.16)

Определив величину можно рассчитать ру как произведение числа мод в единице объема и в единичном частотном интервале на среднюю энер­гию (Е)9 заключенную в каждой моде, т. е.:

Р* = Р*(Е). (2.2.17)

Для вычисления (Е) предположим, что стенки полости поддерживаются при постоянной температуре Т. Согласно статистике Больцмана вероятность с1р

Того, что энергия данной моды полости лежит в интервале от Е до Е 4- dEy равна dp = C exp [-(.E/kT)]dE, где С — константа, удовлетворяющая условию

00

JCexp[-(E/kT)]dE = l.

О

Следовательно, средняя энергия (Е) моды равна:

$Eexp[-(E/kT)]dE

(.Е) = ^--------------------------- = *Г.

' 7 оо

Jexp[-(Ј//eT)]dЈ

О

Из соотношений (2.2.16) — (2.2.18) получаем:

( Snv2

KT. (2.2.19)

V С'

V

Полученное соотношение — это хорошо известный закон излучения Рэ­лея-Джинса. Однако эта формула полностью противоречит эксперименталь­ным фактам. В самом деле, совершенно очевидно, что соотношение (2.2.19) ошибочно, поскольку оно приводит к бесконечно большой величине полной плотности энергии р (см. выражение (2.2.2)). Отметим вдобавок, что если бы оно было справедливо, то, в соответствии с (2.2.3), величина /у оказалась бы также пропорциональна V2, что означает неограниченное возрастание интен­сивности излучения, испускаемого поверхностью черного тела при V —» оо (эту ситуацию иногда называют ультрафиолетовой катастрофой). Тем не менее, данное выражение является неизбежным следствием всех предыдущих рас- суждений в рамках классической теории.

Эти противоречия оставались неразрешенными до тех пор, пока Планк в начале XX века не высказал гипотезу о квантах света. Фундаментальная ги­потеза Планка заключалась в том, что излучательный обмен энергией между стенками полости черного тела и ее внутренним пространством может про­исходить только дискретными порциями величиной Лу, где V — частота из­лучения, а Л — некоторая постоянная величина, впоследствии названная постоянной Планка. Минимальная порция энергии, которая может участ­вовать в процессе обмена, была позже названа квантом света, или фотоном.

Из гипотезы Планка однозначно следует, что энергия электромагнитной волны с частотой у может принимать не любые значения от 0 до оо, как это неявно предполагалось при выводе соотношения (2.2.18), а задается соотно­шением:

Е = пк у, (2.2.20)

Где п — положительное целое число. Следовательно, средняя энергия моды, как было показано Планком, равна

^ nhvexp[-(nhv/kT)]

<-E>='5_V = exp(ftv/AT)-l' (2.2.21)

2, exp[-(n&y /kT)]

71=0

Pv[10 16Джс/м3]

A

З -

2,5-

Рис. 2.3

Зависимость функции ру (V, Т) от частоты V при двух значениях температуры Т

У[1014Гц]

Полученное выражение существенно отличается от классического представ­ления (2.2.18). Очевидно, что при <С кТ (2.2.21) сводится к соотношению (2.2.18). Из соотношений (2.2.16), (2.2.17) и (2.2.21) можно вывести форму­лу Планка:

_ 8яу[4]______ hv_____

Pv с3 exp(/*v/&T)-l

Которая полностью удовлетворяет экспериментальным результатам, при ус­ловии, что константа Л выбирается равной 6,62 • 10~34 Дж • с. В качестве при­мера на рис. 2.3 показано поведение функции ру в зависимости от частоты V при двух значениях температуры Т.

В заключение следует отметить, что отношение

(2.2.23)

Определяет среднее число фотонов (ф) в каждой моде в условиях теплового равновесия. Для частоты v = 4 х 1014 Гц, лежащей в оптическом диапазоне, hv * 1 эВ. При температуре Т » 300 К имеем кТ = (1/40) Эв, так что из (2.2.23) получаем, что (ф) = ехр (- 40). Таким образом, видно, что среднее число фото­нов в каждой моде излучения черного тела при комнатной температуре ока­зывается намного меньше единицы. Это значение следовало бы сравнить с числом фотонов ф0, которое можно получить в одной моде резонатора лазера (ж Ю10, см. пример 7.1 в гл. 7).

На самом деле корректным. Однако прошло еще много лет, прежде чем гипо­теза Планка была полностью подтверждена квантовой теорией поля Дирака (1927). И хотя подробное описание квантования поля выходит за рамки этой книги, уделим некоторое внимание тому, как оно проводится [2]. Это помо­жет лучше разобраться в некоторых вопросах, которые рассматриваются да­лее в этой книге.

Рассмотрим электромагнитную моду полости, то есть моду, описывае­мую заданной формой стоячей волны, и обозначим через V ее резонансную частоту. Если величины Ех{г, £) и Н^г, £) являются поперечными компонен­тами соответственно электрического и магнитного полей этой моды, то отве­чающая им плотность энергии р определяется соотношением (2.2.1), а энер­гия в моде равна

(2.2.24)

Где V— объем полости. Прежде всего, для понимания основ квантовой тео­рии поля необходимо осознать, что величины Ех(г, £) и Ну(г, £) не могут быть одновременно измерены с произвольной точностью [2]. Это означает, что су­ществует соотношение неопределенности Гейзенберга для величин Ех(Г, £) И Ну(г, £), аналогичное тому, которое справедливо для положения рх и импуль­са дх частицы, движущейся, например, в направлении х.

Следует отметить, что соотношение неопределенности Гейзенберга для рх и qx является своего рода основой квантовой теории частиц. Действитель­но, оно показывает, что уравнения классической механики, которые основа­ны на канонических величинах рх и qx, неприемлемы в рамках квантовой теории. Аналогично соотношение неопределенности для Ех(г, £) и Ну(г, £) является основополагающим для квантовой теории излучения в том смысле, что оно показывает несостоятельность уравнений Максвелла, в частности уравнения (2.2.4).

Аналогия между квантовой теорией частиц и квантовой теорией излуче­ния может быть продолжена, если рассмотреть частицу, связанную с задан­ной точкой пространства упругой силой. Это — случай квантового гармони­ческого осциллятора, который представляет собой одну из важнейших моде­лей квантовой теории связанных частиц. Гармоническим осциллятором, колеблющимся, например, вдоль направления х, является механический осциллятор, полная энергия которого определяется выражением:

Е = (крх /2) + (qx / 2т),

Где к — константа упругости, а т — масса частицы. Такой осциллятор имеет несколько общих черт с электромагнитной модой полости. И тот, и другая действительно являются осцилляторами в том смысле, что характеризуются резонансной частотой. В механическом осцилляторе колебания происходят из-за того, что потенциальная энергия, представленная слагаемым крх /2, периодически преобразуется в кинетическую энергию, описываемую слагае­мым q2 /2т. В электромагнитном осцилляторе, которым является мода по­лости, электрическая энергия, представленная слагаемым J(e<^f)/2)dF, пе­
риодически преобразуется в магнитную энергию, которая описывается как /2)(1У. Опираясь на эти аналогии, можно искать сходство и в прави­лах квантования. Корректно проведенная процедура квантования приводит к фундаментальному результату, который заключается в том, что энергия данной моды полости квантуется точно так же, как и энергия квантового гармонического осциллятора. А именно, собственные значения энергии моды записываются в виде:

Е = (1/2)/гу + пк V, (2.2.26)

Где п — целое число. Первый член — нулевая энергия в отсутствие колебатель­ных квантов — имеет здесь то же происхождение, что и в случае гармоническо­го осциллятора. Там этот член возникает, поскольку энергия осциллятора не может быть равна нулю, так как, согласно (2.2.25), это потребовало бы одновре­менного равенства нулю рх и дх, что, в свою очередь, противоречит принципу неопределенности Гейзенберга. Подобным же образом, в случае моды полос­ти, энергия поля не может быть равна нулю, поскольку, согласно (2.2.1), это потребовало бы одновременного равенства нулю компонент Ех и Нх. Послед­нее невозможно также вследствие принципа неопределенности. Итак, кванто­вание поля приводит к выводу, что значения энергии заданной моды полости (с частотой у) выражаются соотношением (2.2.26), что вполне соответствует гипотезе Планка (см. соотношение (2.2.20)), за исключени­ем члена, отвечающего нулевой энергии. Таким образом, ре­зультаты квантования поля дают предположению Планка фундаментальное подтверждение. Излишне говорить о том, что уравнения Максвелла (см. раздел 2.2.1) не задают ни од­ного из условий, которым должна удовлетворять полная плотность энергии моды полости. В частности, согласно этим уравнениям энергия моды может непрерывно изменяться в интервале от 0 до оо, принимая любые значения.

В качестве заключения к данному разделу отметим, что согласно соотношению (2.2.26) уровни энергии моды полос­ти, как и уровни гармонического осциллятора, можно изо­бразить, как показано на рис. 2.4. На самом нижнем, нулевом, уровне энергии как (Ех), так и (Нх) отличны от нуля. Эти величины называют нулевыми флуктуациями соответственно электрического и магнитного полей.

Отметим также, что сама по себе нулевая энергия (Лу/2) фактически не имеет физического смысла. Если вместо соотношения (2.2.24) определить энергию моды как

£ = (|р£ГГ)-(Лу/2), (2.2.27)

То самый нижний уровень будет иметь энергию, равную нулю. Однако мож­но показать, что соответствующему состоянию поля по-прежнему отвечают нулевые флуктуации (Ех)и(Нх) той же величины, что и прежде. Таким образом, именно эти флуктуации в действительности и являются характери­стиками нулевого энергетического состояния.