ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

М2-ФАКТОР И ПАРАМЕТР РАЗМЕРА ПЯТНА МНОГОМОДОВОГО ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА

Рассмотренные выше выражения для расходимости пучка (см. (11.4.9) и

(11.4.8) ) содержат некоторую неопределенность, связанную с произвольным определением диаметра пучка. В данном разделе будут представлены более точные выражения для расходимости и радиуса пучка, которые позволяют описать распространение как дифракционно-ограниченного лазерного пуч­ка с произвольным поперченным профилем интенсивности, так и многомо­довых частично-когерентных лазерных пучков, которые не являются ди - фракционно-ограниченными [6].

Пусть 1(х, уу г) — усредненный по времени профиль интенсивности ла­зерного пучка с учетом продольной координаты г. Следует отметить, что в общем смысле описание интенсивности не ограничивается только радиально симметричными пучками и может записываться как функция поперечных координат х и у отдельно. Определим среднеквадратическое отклонение для пучка ох(г)> например по координате х9 следующим образом:

А2(г) }|(х - (х))21(х, у, 2)(1хёу (11.4.10)

Ц1(х, у,г)(1х(1у

Где

(х) = [ Цх/(х, у, г)с/хс/у]/[ ДО/(х, у, 2)ёхёу^.

Аналогичным образом эту величину можно записать и для координаты у.

Для того чтобы определить расходимость пучка, обозначим через I(в*, 8у) интенсивность волны в нормированных угловых координатах вх = &х/Х и ву = которые обычно называются пространственно-частотными коор­динатами волны и в общем смысле используются в дифракционной опти­ке [7]. Если, например, значение расходимости получено путем измерения интенсивности 1(х', у') в плоскости х’у у' на большом расстоянии г от источ­ника, то угловую интенсивность 1(8Ху8у ) можно получить из 1(х у'), ИСПОЛЬ“ зуя следующие соотношения:

Х' = 6хг = 8хХг (11.4.11а)

У' = вуг = вуХг. (11.4.116)

Имея распределение интенсивности /($*,8^), можно определить средне­квадратическое отклонение в функции пространственных частот в* следую­щим образом:

„ - (8Х >)2 , Є )сІ8хСІ8у

= -------- ЇЇТ,------ ’ (11.4.12)

)}1(8Х,8у)(і8Х<І8у

(8Х > = [ $»*/(«*, 8у )<І8х<І8у ]/[ ЦДв* , 8у УІ8хй8у ].

Аналогичным образом эту величину можно записать и для координаты у.

Если теперь обозначить через и(х, г/, г) поперечное распределение ампли­туды пучка (так что I ~ | и |2) и через й(зх98у) распределение амплитуды в пространственно-частотных координатах (так что /~|й|2), можно сказать, что для любого произвольного оптического пучка две функции могут быть связаны преобразованием Фурье [7]. Можно затем показать, что для любого произвольного лазерного пучка величина ст2 (г) подчиняется уравнению рас­пространения пучка в свободном пространстве:

С2х(г) = ст20 + №<*1 (2~2ох)2> (11.4.13)

Где ах0 — минимальное значение а*, а г0х — координата, при которой это минимальное значение достигается. Аналогичным образом можно показать, что (по аналогии с (11.3.28))

Ах0а^1/4л. (11.4.14)

Данное неравенство справедливо только для когерентного гауссова пуч­ка. Действительно, в этом случае имеем 1(х9 у, г) ~ ехр[-2(х2 4- у2)/и>2(г). Выполнив соответствующее преобразование координат (11.4.11), нетрудно показать, что /(^»в^осехр [-2п2ю$(8% +$2)]. Таким образом, из выражений

(11.4.10) и (11.4.12) получаем:

Ах(г) = ю(г)/2, (11.4.15а)

С8х = 1/2пи>0 (11.4.156)

И, очевидно, что из выражения (11.4.15а) при 2 = 0 имеем:

Ахо = м;о/2- (11.4.15в)

Далее из выражений (11.4.156) и (11.4.15в) находим:

(ох0с8х)С = 1/4 п. (11.4.16)

Описав соответствующие параметры, можно теперь определить так на­зываемый М2-фактор, как отношение произведения (ох0<у8х) для произволь­ного пучка к соответствующему произведению (ст*оавх )£ для гауссова пуч­ка, т. е.

М2х = (сг^оСТ^ )/(од.0о8;е )в = 4л(ах0а3х). (11.4.17)

Аналогичным образом это выражение записывается для координаты у. Следует отметить, что согласно выражению (11.4.14), имеем М2^ 1. Обычно понятие М2-фактора характеризует качество пучка. Поскольку большее зна­чение М2 соответствует меньшему качеству пучка, этот параметр иногда называют фактором, обратным качеству пучка. Также следует заметить, что если сравнивать произвольный пучок с гауссовым пучком, имеющим то же самое среднеквадратическое отклонение, т. е. если (а*оХ^ = (а*о)* то фактор М2 показывает, насколько расходимость произвольного пучка превышает расходимость гауссова пучка.

В качестве альтернативы подходу, описываемому выражением (11.4.13), распространение многомодового лазерного пучка можно описать, учитывая тот факт, что согласно выражениям (11.4.15а) и (11.4.15в) для гауссова пуч­ка имеет место: юх(г) = 2ах(г) и юх0 = 2ох0. Таким образом, для лазерного пучка с наиболее распространенным поперечным профилем интенсивности можно определить параметры размеров пятна №х(г) и IVх0:

¥х(г) = 2<ух(г), (11.4.18а)

УГх0 = 2<ух0. (11.4.186)

Следует отметить, что для обозначения параметров размера пятна произ­вольного лазерного пучка здесь используются прописные буквы ¥х(г) и 1¥х0. Подставляя в выражение (11.4.13) величины <зх(г) и ох0 из (11.4.18) и <з8Х из (11.4.17), находим:

(И419)

Очевидно, что для гауссова пучка имеем Ух(г) = юх(г), №Гх0 = юх0 и М2 =1, и в этом случае выражение (11.4.19) сводится к (4.7.13а). С другой стороны, для многомодового лазерного пучка запись (11.4.19) формально напоминает выражение для гауссова пучка, за исключением того, что второй член в пра­вой части этого выражения, описывающий распространение пучка с учетом дифракции, умножается на величину М^.

Выражение (11.4.19) описывает распространение многомодового лазер­ного пучка через функцию, в которой параметр размера пятна №^х(г) опре­делен достаточно точно. Следует заметить, что распространение пучка оп­ределяется тремя параметрами 1№х0, М2 и г0х. Их значения могут быть опре­делены путем измерения размера пучка Wx(z) при трех различных значениях координаты 2. Также следует сказать, что при больших расстояниях 20х от положения перетяжки из выражения (11.4.19) можно получить

¥х(2)^(М2хХ/кЦГх0)(2-20х).

Для многомодового лазерного пучка можно теперь определить величину расходимости:

0<г* =^х(г)/(2-г0х) = М| (X / л )• (11.4.20)

Таким образом, расходимость многомодового лазерного пучка в М2 раз больше расходимости гауссова пучка при одних и тех же размерах пучка (т. е. при юх0 = И^.0). Сравнивая выражения (11.4.20) и (11.4.9), можно так­же вывести соотношение, связывающее параметры М2, Ух0 и диаметр об­ласти когерентности 2)с.

Пример 11.4. М2-фактор и параметр размера пятна полупроводнико­вого лазера с кристаллом большой площади. Рассмотрим полупроводни­ковый лазер на структуре АЮаАв/ОаАв с большой площадью кристалла, размеры выходного пучка которого на выходе из кристалла (т. е. в ближ­ней зоне) составляют = 0,8 мкм и с? ц =100 мкм. Расходимость пучка со­ставляет 0± = 20° и ©и = 10°. Символы _1_ и || обозначают перпендикулярное и параллельное направление относительно плоскости р-п-перехода соответст­венно. Диаметр (2 измерялся на полувысоте распределения интенсивности, тогда как расходимость определялась как половинный угол, измеренный на полувысоте от максимума интенсивности. Поскольку выходной торец полупроводника является плоским, за положение перетяжки для оси х и оси у можно принять плоскость выходного торца. Распределение интенсив­ности в ближней зоне для плоскости, перпендикулярнойр-л-переходу («бы­страя ось»), можно приближенно считать гауссовым. Соответствующий раз­мер пятна w0± = W01 должен удовлетворять выражению exp [-2(d±/2w0A)2] — = (1/2). Таким образом, имеем w01 = W0± = dj[21n 2]1/2 = 0,68 мкм. Профиль интенсивности в дальней зоне (вдоль того же направления) можно также считать гауссовым. Согласно выражению (11.4.11), для больших значений г такой профиль интенсивности (в обозначениях координаты 02) можно опи­сать как ос ехр [-2(Qz/W±)2], где W±(z) = ivL(z) — размер пятна, значение ко­торого может быть получено ИЗ условия ос ехр [-2 (0_|Z/Wj_)2] = (1/2). Посколь­ку расходимость пучка определялась в этом случае как Qdl = W±/z, получа- ем Qdl = [2/1п2]1/20± = 0,59 радиан, и из выражения (11.4.20) находим М =nW01dd±/'k = nd1dL/(n2)X = lt5, где X = 850 нм. Как и ожидалось, М2 -фактор в этом случае оказался близким к М2 -фактору для гауссова пучка. Распределение интенсивности в ближней зоне для плоскости, па­раллельной р-п-переходу («медленная ось») можно приближенно считать постоянным. Из выражения (11.4.10) получаем ¥щ = d^/2 = 50 мкм. С дру­гой стороны, распределение интенсивности в дальней зоне описывается колоколообразной функцией, которая приближенно может считаться функ­цией Гаусса. По аналогии получаем 0d| = [2/1п 2]1/20ц = 0,148 рад. и из вы­ражения (11.4.20) находим М2 =яЖоц0^(/Х = 7г0|Ц|/[21п2]1/2Я, = 55. Таким об­разом, в направлении «медленной оси» расходимость пучка оказывается намного больше, чем в случае дифракционно-ограниченного гауссова пуч­ка, т. е. пучок является многократно дифракционно-ограниченным.