ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ГИПОТЕЗА ПЛАНКА И КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ

В течение некоторого времени после того, как фундаментальная гипотеза Планка, выраженная соотношением (2.2.20), была сформулирована, она вос­принималась с некоей долей осторожности, если не с подозрением. Кое-кто даже рассматривал основанные на ней расчеты как не более чем математиче­ский трюк при преобразовании интеграла (2.2.18) в сумму (2.2.21), исполь­зуемый для того, чтобы получить соответствие между полученным результа­том и экспериментальными фактами. Однако предложенная Эйнштейном (1904) теория фотоэффекта, в принципе основанная на гипотезе Планка, вско­ре предоставила новые доказательства того, что это предположение является

[5] Напомним, что комплексный вектор А — это вектор, чьи компоненты, например Ах, Ау и Аг* являются комплексными числами. Амплитуда А комплексного вектора является действи­тельной величиной и определяется как А = [АА*]1/2, где А* — вектор, сопряженный вектору А (т. е. вектор с компонентами А*, А* и А*, которые сопряжены соответствующим компонентам вектора А).

[6] Иногда этот параметр кратко называют также излучательным временем жизни состояния или излучательным временем жизни на уровне. — Прим. редактора.

[7] Напомним, что функция /(г) симметрична (или является четной), если /(-г) = /(г), и анти­симметрична (или нечетна), если /(-г) = -/(г).

[8] Необходимо напомнить, что в соответствии с квантовой механикой состояния часто могут иметь определенную четность (т. е. являются либо симметричными, либо антисимметричны­ми). Это, например, имеет место в изолированных атомах или ионах, или в атомах или ионах во внешнем поле, когда центр инверсии отсутствует.

[9] Примечание: множитель 3 в знаменателе соотношений (2.4.3), (2.4.5), (2.4.7), (2.4.9а),

(2.4.11) , (2.4.13а) и (2.4.136) соответствует случаю линейно поляризованной волны, взаимо­действующей с произвольно ориентированными атомами (как это имеет место в газах). В этом случае получаем:

ИМ|Ц21 Яо РНйя12 Eg(cos2e>=|n2112 ЕЦ3,

Где 6 — угол между векторами ц21 и Е0, а усреднение берется по всем возможным взаимным ориентациям атома и вектора поля. Действительно, для произвольно ориентированных век­торов ij-21 имеем: <cos26) = 1/3, где усреднение производится в трехмерном пространстве, т. е.

(cos2 0} = jcos2 QdQ/4n.

Для разных случаев взаимной ориентации частиц и вектора поля множитель |m.2i|2/3 необхо­димо соответствующим образом изменить. Так, например, для выстроенных ионов (таких, как в ионном кристалле) и линейно поляризованной волны множитель 3 необходимо опус­тить, считая при этом, что |ji2il обозначает величину проекции вектора ц21 на вектор Е0.

[10] Для данной частоты V соответствующая величина в волновых числах (т. е. в см-1) равна и) = у/с, где с — скорость света в вакууме (выраженная в см/с). Таким образом, частота V в обычных единицах связана с частотой в волновых числах простым соотношением V = си>. Со­ответствующая длина волны (выраженная в см) равна А, = с/у = 1 /ш, что показывает преиму­щество использования волновых чисел (см1) как единиц частоты.

Пример 2.4. Естественная ширина линии разрешенного перехода. В ка­честве характерного примера оценим по порядку величины естественную ширину Аупа( для разрешенного электрического дипольного перехода. По­ложив |ц| = еа, где а = 0,1 нм, а X = 500 нм (зеленый свет), в примере 2.1 уже определили, что х8р = 10 не. Из (2.5.13) получаем Дупа, = 16 МГц. Отме­тим, что величина Аупа1, как и А= 1/х8р, должна увеличиваться с ростом частоты, как Поэтому естественная ширина линии перехода очень бы­стро возрастает при продвижении в область коротких длин волн (в УФ - или рентгеновский диапазон).

Другой механизм неоднородного уширения линий, который характерен для газов, связан с движением атомов и называется допплеровским ушире - нием. Предположим, что падающая электромагнитная волна частоты v рас­пространяется в положительном направлении оси г, и пусть через и2 обозна­чена проекция скорости атома на эту ось. В соответствии с эффектом Доп­плера частота волны, воспринимаемая в движущейся системе координат, связанной с атомом, равна v' = v[l - (иz/c), где с — скорость света в среде. Отметим хорошо известный результат, который заключается в том, что если

0, то v' < v, и наоборот. Конечно, поглощение атомом происходит только тогда, когда воспринимаемая атомом частота v' электромагнитной волны равна частоте перехода v0 в атоме, т. е. когда v[l - (и2/с) = v0. Если записать это соотношение в виде:

V = v0/[l-(uz/c)], (2.5.14)

То приходим к другой интерпретации процесса: результат взаимодействия электромагнитного излучения с атомом получается таким же, как если бы атом находился в покое, но при этом имел резонансную частоту v'0, опреде­ляемую соотношением

Vo=v0/[l-(ь,/c)L (2.5.15)

В соответствии с проведенным рассмотрением, форма контура однородно уширенной линии всегда является лоренцевой, а неоднородно уширенной — гауссовой. Когда уширение линии обусловлено вкладами двух механизмов, форма результирующего контура всегда определяется сверткой соответст­вующих спектральных функций — как записано в соотношении (2.4.26) для случая, когда один контур уширен однородно, а другой — неоднородно.

[11] Отметим, что выведенное в разделе 2.4.4 уравнение, которое описывает состояние равно­весия между двухуровневым атомом и излучением черного тела, также является примером использования приципа детального равновесия.

[12] При столкновениях первого рода кинетическая энергия одной частицы переходит во внут­реннюю энергию другой частицы (см. реакцию (2.6.5)). При столкновениях второго рода внут­ренняя энергия частицы преобразуется в некоторые другие виды энергии, отличные от энер­гии излучения, например в кинетическую энергию (см. реакцию (2.6.1)), или передается в качестве внутренней энергии другой частице, такой же или иного типа (см. реакцию (2.6.9)). Таким образом, столкновения второго рода могут также приводить, в частности, к пребразо - ванию энергии возбуждения в химическую энергию.

[13] Отсутствие трансляционной инвариантности в стеклах означает, что, строго говоря, В этом случае нельзя пользоваться понятием фононов, как это делается в случае кристаллов. Однако здесь и ниже будем, для краткости, употреблять термин «фонон» и в случае стекол.