ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ, ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ И ДИСПЕРСИЯ ГРУППОВОЙ ЗАДЕРЖКИ

Сначала рассмотрим плоскую линейно-поляризованную монохроматиче­скую электромагнитную волну на частоте со, распространяющуюся вдоль оси г в прозрачной среде. Тогда электрическое поле волны £(£, г) можно записать как Е = А0ехр[у(со£ - Рг)], где А0 — константа, а постоянная распростране­ния р является функцией угловой частоты со. Функция Р = Р(ю) является ха­рактеристикой данной среды и называется дисперсионным соотношением среды (см. рис. 8.25). Теперь, поскольку полная фаза волны равна ф, = со£ -

- Р2, скорость заданного фазового фронта будет такой, что элементарные при­ращения временной и пространственной координат сИ и йг должны удовле­творять условию = юсИ - = 0. Это означает, что фазовый фронт дви­

Жется со скоростью:

(8.6.24)

Которая называется фазовой скоростью волны.

Далее рассмотрим световой импульс, распространяющийся в среде, и обо­значим центральную частоту и ширину соответствующего спектра как и Асоь соответственно (рис. 8.25а). Также предположим, что дисперсионное соотношение за пределами ширины линии можно аппроксимировать линей­ным соотношением, а именно Р = Рх, + (ф/^со)ю=юь(со-соь), где рь — постоян­ная распространения, соответствующая частоте соь. В этом случае при рас­

Смотрении Фурье-представления волны, можно показать, что электрическое поле волны можно выразить как (см. приложение Г):

E(t, 2) =A[t - (z/i^)]exp[y(cDL* - рL2), (8.6.25)

Где А— амплитуда импульса, exp [y(coLf - Р^г)]— несущая волна. Величи­на vg задается выражением

<8-в-2б>

Тот факт, что амплитуда импульса является функцией переменной t -

- (z/vg), означает, что импульс распространяется, не меняя свою форму, со скоростью vg. Эта скорость называется групповой скоростью импульса и, со­гласно (8.6.26), задается углом наклона зависимости со от р при со = coL (т. е. vg = tgG', см. рис. 8.25а). Также отметим, что для основного дисперсионного соотношения, такого как на рис. 8.25а, фазовая скорость несущей волны (vph = tgG, см. рис. 8.25а) будет отличаться от групповой скорости.

Согласно вышесказанному, импульс при прохождении через активную среду длиной I подвергнется временной задержке:

<8-6-27»

В предыдущем выражении была определена фаза ф, зависящая от частоты со:

Ф(со - coL) = Р(со - сoL)l, (8.6.28)

Причем ф'(со^) = [</ф(со - co^/dco]^. Поэтому величина тg = ф'(а>х,) называется групповой задержкой в среде на частоте coL.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда в среде будут распространяться два импульса с шириной Асох и Асо2 и центральной частотой а>1 и со2 соответствен­но (со2 > ©!, см. рис. 8.256). Если угол наклона кривой дисперсионного соот­ношения отличается для двух этих частот, то оба импульса будут распро­страняться с различными групповыми скоростями vgl и vg2. Таким образом, максимумы импульсов достигнут начала среды одновременно, и затем, прой­дя расстояние I в среде, будут разнесены во времени на величину

Ат^ = ф'(<»2) - фг(©1) = Ф"(ю1) * (®2 ~ ®i)- (8.6.29)

В последнем выражении использовалось обозначение ф'г(со1) = [с?2ф/ dco2 ]Ю1. Отметим, что соотношение (8.6.29) выполняется точно, если связь между ф и со, в диапазоне частот от до со2, можно аппроксимировать параболиче­ской зависимостью вида:

Ф=фь+(!Й <8-6-30>

V V Sq3L

Далее рассмотрим случай, когда ширина импульса AcoL велика настоль­ко, что дисперсионное соотношение уже не может быть описано линейным законом (рис. 8.25в). В этом случае различные спектральные области им­пульса будут распространяться с различными групповыми скоростями и,

Следовательно, импульс будет уширяться во время распространения. Вновь предположим, что дисперсионное соотношение внутри полосы Асоь можно описать параболическим законом. Тогда согласно выражению (8.6.29) обу­словленное дисперсией уширение импульса Ата будет задаваться разностью групповой задержки между самыми быстрыми и самыми медленными спек­тральными компонентами. Итак, согласно соотношению (8.6.29) получаем:

Аха = |ф"(оз£)|Дю1

Величина ф"(ю£,) называется дисперсией групповой задержки (ДГЗ) сре­ды на частоте ыь. Ее значение и определяет уширение на единицу ширины полосы импульса. Из выражений (8.6.28) и (8.6.31) можно видеть, что Ат<* также может быть записано в виде:

SHAPE \* MERGEFORMAT

GVD = (d2V/d2<»)GІL =[d(l/vg)/d^L (8.6.33)

Называется дисперсией групповой скорости (ДГС) на частоте соь. Ее значе­ние задает уширение импульса на единицу длины среды и на единицу шири­ны полосы импульса. Следует отметить, что понятие дисперсии групповой скорости применимо только для однородной среды. Для неоднородной или многокомпонентной среды, такой как две пары призм на рис. 8.26 или мно­гослойное диэлектрическое зеркало, рассматривать понятие дисперсии груп­повой скорости намного проще.