ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ

Внешние электроны атомов полупроводниковых материалов делокали - зованы по всему кристаллу, а соответствующие волновые функции могут быть записаны в виде волновых функций Блоха [4]:

I|/(r) = wfc(r)[expy‘(k • г)],

Где uk(г) обладает теми же свойствами периодичности, что и кристалличе­ская решетка. При подстановке выражения (3.2.1) в уравнение Шредингера оказывается, что получаемые собственные значения энергии электрона £ являются функцией волнового вектора к и образуют зоны разрешенных зна­чений. Здесь и ниже будем рассматривать только наиболее высокую запол­ненную зону, называемую валентной (относящиеся к ней величины обозна­чаются индексом v — от англ. valence band), и следующую, лежащую выше, называемую зоной проводимости (соответствующие величины имеют ин­декс с — от англ. conduction band). В приближении параболической зоны со­отношение между Enk, модулем вектора к, имеет вид параболы. Это приво­дит к формам валентной зоны и зоны проводимости, изображенным на

Рис. 3.9

Соотношение между Е и к в объемном полупроводнике: з0целро-

А) положительные отсчеты энергии производятся вверх относительно дна ЗОНЫ нь1й отсчет водимости, и вниз относительно потолка зоны — в валентной зоне; б) полоЖ*1'геЛ1^1ТНОй зОНе, энеогии пгюизволится ттепх птнпгитрлкнп пптппия ияпйнтной зоны — как В

Энергии производится вверх относительно потолка валентной зоны так и в зоне проводимости

Рис. 3.9. Энергия Ес в зоне проводимости, измеренная вверх относительно ее нижнего края, или дна (см. рис. 3.9а), может быть записана в виде:

(3.2.2а)

Где тс = Н2/[с12Ес/с1к2]к=0 — так называемая эффективная масса электрона вблизи дна зоны проводимости. Аналогично энергия Еи в валентной зоне, измеренная вниз относительно ее верхнего края, или потолка (см. рис. 3.9а), может быть записана в виде:

(3.2.26)

Где т1) = Н2/((12Еи/(1к2)к=о — эффективная масса электрона вблизи потолка валентной зоны. В некоторых случаях, особенно когда рассматривается кон­кретный переход, оказывается более удобным отсчитывать эти энергии в одном направлении и относительно одного и того же уровня, например вверх относительно потолка валентной зоны (рис. 3.96). Если через Е' обозначить энергию в этой системе отсчета, то энергии в зоне проводимости и в валент­ной зоне будут, очевидно, определяться соотношениями:

Где Её — ширина запрещенной зоны, или энергетическая щель.

Эту простую одномерную модель легко обобщить на трехмерный случай. Обозначив через ку и кг компоненты волнового вектора электрона к, и по­

Лагая, что его эффективная масса, т. е., другими словами, кривизна зоны, одинакова вдоль направлений х, у и 2, опять получаем соотношения (3.2.2) и

(3.2.3) , в которых теперь к2 =к,2+к2 +к2.

До сих пор при описании предполагалось, что кристалл полупроводника имеет неограниченные размеры. Для полупроводникового кристалла конеч­ных размеров, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с длина­ми граней Ьх, Ьу и Ьх, необходимо задать граничные условия, которые сво­дятся к тому, что полный набег фазы волновой функции вдоль кристалла к • г должен быть кратен 2л. Отсюда получаем:

Кь = (2п1/Ц)у

Где I = х, у, 2, а I — некоторое целое число. Так, в изображенном на рис. 3.9 одномерном случае разрешенные состояния в валентной зоне обозначены точ­ками, а в зоне проводимости — окружностями.

Существование валентной зоны и зоны проводимости можно объяснить, исходя из простых физических соображений. Рассмотрим, для простоты, атомы натрия, каждый из которых содержит по 11 электронов. Десять из этих электронов жестко связаны с ядром и образуют ион с положительным зарядом е. Одиннадцатый электрон движется по орбите вокруг этого иона. Пусть через Ег и Е2 обозначены энергии этого электрона соответственно в ОСНОВНОМ И В первом возбужденном электронных СОСТОЯНИЯХ, а через У! И |/2 — отвечающие им волновые функции. Рассмотрим теперь два атома натрия,

Находящихся на некотором расстоянии й друг от друга. Если величина й зна­чительно превышает размеры атомов, то они не будут взаимодействовать между собой, так что энергии этих двух состояний будут оставаться неиз­менными. То же самое можно выразить по-другому, если, рассматривая, на­пример, два атома в энергетическом состоянии Е19 представить, что энергия электрона в такой двухатомной системе по-прежнему равна Е19 а соответст­вующий уровень является двукратно вырожденным. Полная волновая функ­ция может быть в этом случае записана в виде линейной комбинации двух волновых функций |/ы и |/1Б, в которой эти функции складываются либо с одной и той же фазой, либо с разностью фаз в 180° (рис. 3.10). Если потенци­ал взаимодействия отсутствует, то энергия обоих состояний равна Ег. Если, однако, межатомное расстояние (I становится достаточно малым, то энергии этих состояний слегка изменяются благодаря взаимодействию атомов, а дву­кратно вырожденный уровень расщепляется на два. Аналогично в системе из N атомов, где атомы находятся достаточно близко друг от друга, чтобы взаимодействовать, ^У-кратно вырожденный уровень с энергией Ех расщеп­ляется на N близко расположенных уровней. Таким образом, уровень с энер­гией Ех приводит к образованию валентной зоны, тогда как уровень с энер­гией Е2 приводит, аналогичным образом, к образованию зоны проводимости (рис. 3.11). Из проведенного рассмотрения очевидно, что каждая зона в дей­ствительности состоит из N близко расположенных уровней, где N — полное число атомов в кристалле полупроводника. Поскольку число N очень вели­ко, то отдельные энергетические уровни в каждой из зон полупроводника обычно не различимы.

Подводя итог, можно сказать, что соотношения (3.2.2) и (3.2.3), вместе с граничными условиями (3.2.4), позволяют достаточно просто описать разре­шенные значения энергий электронов в полупроводнике в приближении па­
раболической зоны. Отметим, что в этом приближении электрон рассматри­вается как свободная частица с импульсом р = hk (действительно, для сво­бодной частицы Е = р2/2т), а свойства полупроводника как реальной кван­товой системы учитываются путем введения таких параметров, как ширина запрещенной зоны Eg и эффективные массы тс и mv. Отметим, что в трех­мерном случае соотношение, связывающее квазиимпульс электрона р с k-вектором волновой функции, можно записать в виде:

P = ftk. (3.2.5)

Отметим также, что использование соотношений (3.2.2) и (3.2.3) пред­полагает, что рассматриваются только прямозонные полупроводники, в ко­торых центры зон — потолок валентной зоны и дно зоны проводимости — соответствуют одной и той же величине k. Непрямозонные полупроводники, такие как Si или Ge, здесь не рассматриваются, поскольку они не подходят для применения в качестве лазерных сред.

Из различных прямозонных полупроводников ограничимся соединения­ми групп III-V, таких как GaAs, InGaAs, AlGaAs или InGaAsP. В частно­сти, в GaAs эффективная масса электрона в зоне проводимости составляет тс = 0,067т0, где т0 — масса покоя свободного электрона. Отметим, что во всех полупроводниках групп III-V существуют три валентных зоны разных типов, а именно зона тяжелых дырок (с индексом параметров hh — от англ. heavy holes) (mhh = 0,46m0 для GaAs), зона легких дырок (с индексом пара­метров lh — от англ. light holes) (mlh = 0,08m0 для GaAs) и спин-отщеплен- ная зона (рис. 3.12). Для того чтобы понять, почему это так, используя проведенное выше рассмотрение на примере атомов натрия, представим себе, что энергетические зоны складываются из дискретных уровней энергии изо­лированных атомов, образующих кри­сталлическую структуру. В этом слу­чае можно показать, что возникает только одна зона проводимости, по­скольку возбужденное состояние рас­сматриваемых изолированных атомов имеет такую же сферическую симмет­рию, как и s-орбитали атомов. Ана­логично, поскольку нижнее состояние (состояние 1 с энергией Ех на рис. 3.11), как это может быть показано, имеет р-симметрию, то при различных ком­бинациях рх, ру и рг орбиталей р-состоя­ния, зависящих от симметрии кристал­ла, образуются три валентных зоны.

Так, в кристаллах кубической симмет­рии, к которым относятся все нена­пряженные полупроводники групп III-V, ожидается, что при k = 0 энер­гия всех трех зон будет одинакова.

Однако спин-орбитальное взаимодействие смещает вниз одну из этих зон — спин-отщепленную зону. Поскольку величина этого смещения (например, для ОаАв АЕ = 0,34 эВ) намного превышает кТ (~ 0,028 эВ), то спин-отщепленная зона всегда заполнена электронами, которые не принимают участия в излуча - тельных или безызлучательных переходах. По причинам, приведенным в раз­деле 3.2.2, зона легких дырок также дает малый вклад в эти переходы. Та­ким образом, в первом приближении можно считать, что система валентных зон соединений групп III-V состоит только из зоны тяжелых дырок.