ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ

Чтобы подойти вплотную к аналитическому описанию процессов ГВГ и параметрической генерации, необходимо показать, каким образом можно ввести в волновое уравнение нелинейный член поляризации (например, урав­нение (12.4.2)), вызывающий генерацию волн. Как известно, поле в среде описывается уравнениями Максвелла:

= (12.4.21а)

УхН = 1+^, (12.4.216)

Э*

УБ = р, (12.4.21в)

V В = 0, (12.4.21г)

Где р — плотность свободного заряда. Для среды, представляющей интерес в нашем случае, можно считать, что намагниченность М равна нулю. Таким образом, имеем:

В = |и0Н + ц0М = ц0Н. (12.4.22)

Потери в среде (например, вследствие рассеяния) могут быть учтены вве­дением воображаемой проводимости <т8 таким образом, чтобы выполнялось соотношение:

3 = о8Е. (12.4.23)

Окончательно можно записать:

Б = 80Е + Vе + Рмь = еЕ + Рмь, (12.4.24)

Где Рх — линейная поляризация среды, которую обычно учитывают введе­нием диэлектрической проницаемости 8. Теперь применим к обеим частям уравнения (12.4.21а) оператор Ух и заменим в правой части этого уравнения порядок следования операторов Ух иб/д£. Используя при этом выражения (12.4.22), (12.4.216), (12.4.23) и (12.4.24), получаем:

У*У*Е = - Цо.§ + е0+^). ,12.4.25)

Учитывая здесь тождество Ух Ух Е = У(У • Е) - У2Е и предполагая, что У • Е = 0, уравнение (12.4.25) можно переписать в виде:

= (12.4.26а)

Гсг дг сг д£2 гс2 дг1

Где с = (£ц0)~1/2 — фазовая скорость электромагнитной волны в среде. Урав­нение (12.4.26) представляет собой волновое уравнение, в котором содер­жится нелинейный член поляризации. Заметим, что член, учитывающий линейную поляризацию среды, входит в левую часть этого уравнения и вклю­чен в диэлектрическую проницаемость 8. При этом нелинейный член Рмь на­ходится в правой части уравнения. Покажем, что этот член играет роль ис­точника волн, генерируемых на новых частотах, а также источника потерь для падающей волны. В простом скалярном случае плоских волн, распро­страняющихся вдоль оси 2, уравнение (12.4.26а) принимает вид:

Д2Е а, дЕ 1 д2Е 1 д2Рмь

Дг2 е с2 с2 д£2 8 с2 д£2

Амплитуда поля волны на частоте со£ запишется в виде:

^и,(г,0 = (1/2){£Дг)ехр [/(со^-Д%г)]+с. с.}, (12.4.27а)

Где в общем случае Еь является комплексной величиной. Аналогично для амплитуды нелинейной поляризации на частоте со* имеем:

Pf = (1 /2){Р^ь(z)exp [Дш;*-/**)]+с. с.}. (12.4.276)

Поскольку уравнению (12.4.266) должна удовлетворять по отдельности каждая из распространяющихся в кристалле волн соответствующей часто­ты, в левую часть этого уравнения можно подставить выражение (12.4.27а), а в правую его часть — выражение (12.4.276). В рамках приближения мед - ленноменяющейся амплитуды можно пренебречь второй производной вели­чины Еь(г), (т. е. предположить, что (12Еь/(1г2 йЕ1/йг). При этом уравне­

Ние (12.4.266) принимает вид:

(12.4.28)

Где были использованы соотношения kt = Tl^i/c И 8 i= nf 80 (где Gt, ЩИ El — потери, показатель преломления и диэлектрическая проницаемость среды на частоте соt соответственно).

Уравнение (12.4.28) будет использоваться в последующих разделах как основное. Заметим, что оно было получено в предположении существования скалярного соотношения между векторами РЯ1иЕ (см. (12.4.2)), что не яв­ляется правильным. В действительности же следует использовать тензорное соотношение (см. (12.4.15)). Однако можно показать, что если Et теперь рас­сматривать как компоненту поля вдоль некоторой оси, а в выражении (12.4.2) коэффициент d заменить на deff, то предположение о скалярном соотноше­нии между величинами Р и Е оказывается справедливым. В общем смысле, величина deff представляет собой комбинацию одного или нескольких коэф­фициентов dim, входящих в выражение (12.4.15) и умноженных на соответ­ствующие тригонометрические функции углов 0 и ф, определяющих направ­ление распространения волны в кристалле [20] (0 — угол, который волновой вектор составляет с осью г, а ф — угол, который образует проекция волново­го вектора на плоскость х~у и ось х кристалла). Например, в случае кристал­ла точечной группы симметрии 42т и фазового синхронизма типа I получа­ем deff = dS6 sin 2ф sin 0. Однако для простоты записи в соотношении (12.4.2) сохраним символ d, помня при этом, что на самом деле это deff9 т. е. эффек­тивное значение коэффициента d.