ПРИМЕНЕНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА МАШИНОСТРОЕНИИ

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРЕССОВ

В статье рассмотрены задачи о расчете плоского элемента, имеющего форму кругового сектора, загруженного краевыми на­грузками, и сплошного кругового цилиндра, загруженного осесим - метричной нагрузкой. Эти задачи имеют между собой некоторое сходство, поэтому для их решения применен единый метод.

Решение задач проведено приближенным способом на основе вариационного принципа Кастильяно, разработанного примени­тельно к рассматриваемому классу задач Тимошенко С. П. [16], Папковичем П. Ф. [1], Филоненко-Бородичом М. М. [3], [4].

Вариационный метод расчета сплошных и полых цилиндров с использованием уравнения Кастильяно подробно разработан Бидерманом В. Л. В статье сделана попытка подобрать такие функции напряжений, которые удовлетворяли бы однородным статическим условиям на торцах при загружении боковой поверх­ности цилиндра и, наоборот,:

Ставя своей целью проиллюстрировать метод, мы не стреми­лись достигнуть большой точности результатов. расчета. и. огра­ничились только первыми приближениями. Однако, как показано в работе, даже первые приближения для основных группы усилий дают вполне "удовлетворительные результаты/ - ~ - ~

Плоская задача секториального профиля

Основные уравнения и подбор функции напряжений. Рассма­тривая условия равновесия элемента ABCD (фиг. 1), получим уравнения

J. ,._?.S. 0.

R дер ' дг ' г...

Положительные направления усилий и координат показаны на фиг. 1.

Если компоненты усилий выразить через функцию напряжения Эйри при помощи формул

TOC \o "1-3" \h \z г —_L UL. т д2р

1 1 ~ г2 ' 0фа + г ' дг ' дг2

„ _______ 1 d2F, J_ dF_

Г дг-оф г2 йф '

То уравнения равновесия (1) будут удовлетворяться при произ­вольном выборе функции F (г, ф). Однако произвол в выборе

F (г, ф) ограничивается подчинением последней условию совмест­ности деформаций.

Будем искать решение системы уравнений (1) в виде

Ті = Ті + ТІ Т2 - ТІ + Т%,

S = s° + sK,

Где Ті, Тг, 5° — решения, дающие нулевые значения на контуре; Ті, Т$, SK — решения неоднородной системы уравнений, удовлетворяющие только заданным контурным условиям. Введем безразмерную координату
й перепишем выражения (2) в новой независимой переменной

Г____ d*F 1 dF

;і"г02е2'йфа + r*Q ' dQ '

TOC \o "1-3" \h \z 5==_____ 1 d2F. 1 dF (5)

Функцию напряжений представим также в виде двух слагаемых

F(Q, ср) = Ле. ф) + ^(Є - Ф). (6)

Каждое из которых будем рассматривать в виде

Р(е, Ф) = 2аиАт(е)Фт(<р); (7)

FK(Q, = (е)Фк(ф). (8)

Где т, п = 1,2,3,..., amrt — параметры, подлежащие определению.

Подставляя І70 из уравнения (7) в выражение (5) и требуя выполнения нулевых значений на контуре, т. е.

R,

От Фоп) = 0

Ф = 0. »

Ф = а

Є-0, е = 1

Ф = 0, ф = а,

Нетрудно подобрать функции Rom и Ф0„, удовлетворяющие усло­виям (10).

Примем, например,

, ,\2 3m

(е —І) е ;

Ф(,„ = (а-ф)2ф2"-

Отсюда функция F° (q, ф) может быть представлена в виде

Ґ (д, ф) = 2 amnRomOon - 2 атп (q - I)2 е3т (а - ф)2 <?2п, (14)

Где т, п = 1, 2, 3, ...

Подставляя в выражения (5) значения FK (q, ф) из (8), получим

RK

,2 \ Q* 1 Q

71 - Л

Rk RK

Функций RK (0) и Фк (ф), как указывалось ьыше, удовле­творяют только контурным условиям и, следовательно, для каж­дого частного вида нагружения подбираются самостоятельно.

Рассмотрим случаи загружения по контуру. При этом примем, что нагрузка симметрична относительно оси ординат (фиг. 2, а и б). При q = 1

TOC \o "1-3" \h \z 7? = - р(<р); (18)

= 0, (19)

А при ф = 0 и Ф = а

71 = -<7 (Q); (20)

SK = 0. (21)

Из уравнений (15) и (16), учитывая соответственно условия (18) и (19), получаем

ЯИ1)Фк + /М1)Ф«--гор(ф); • (22) [fl«(l)-/Ml)]<& = 0. (23)

Положив в условии (23) Фк=0, из формулы (22) находим, что

Г2

Фк =--------- Л - р (<Р) = const. (24)

RKW

Из уравнения (16) получаем

= \^(Q)dQdQ. (25)

Таким образом, при равенстве нулю сдвигающих усилий по всему контуру, нагрузка по криволинейной части контура может быть только постоянной. Уравновешивающая ее нагрузка, распре­деленная на прямолинейной части контура, может быть задана про­извольно. И затем, как видно из уравнений (15)—(17) при R = = R (q) и при Ф = Ф (ф) следует, что для подбора R и Ф весь контур должен быть нагружен.

Если же самоуравновешенная нагрузка распределена только на прямолинейной части контура, а сдвигающие усилия по всему контуру равны нулю, можно положить, что

Фк (ф) = const = 1,

Ті е., что

FK = R(Q). (26)

Выражения (15)—(17) примут вид

T1 = \R'k-, (27)

'о

71 = 4^; (28)

Г1

SK = 0. (29)

А — по закону (q) = kq4; б —по закону q (q) = к cos» Щ - (где к опреде­ляется нз условия равновесия системы).

Положим, например, что прямолинейная часть контура на­гружена нормальной самоуравновешенной нагрузкой

Q (q) — (/„costcq, (ЗО-)

Т. е., что

Тк2 = -\RK = ^осоэяд; (31)

Го

Отсюда находим, что

' 1 2

RK = — qoro sin яд; (32)

RK = — cos n6 • (33)

Подставляя RK из выражения (32) в формулу (27),' нетрудно убедиться, что криволинейный контур свободен от нагрузки.

Самоуравновешенная нагрузка, распределенная на прямо­линейном контуре вида

?(е) = ?о(5е4-1). (34)

Также обеспечивает криволинейный контур незагруженным. В этом легко убедиться, проделав изложенные выше выкладки.

Уравнения равновесия (1) также будут удовлетворяться, если выразить усилия Ті, Г2 и S с помощью функции напряжения Ф = ф (б. ф); по таким формулам

~ г аТ^дф + к >

«—Д.- <37>

Как и прежде, будем полагать, что

Ф) = - Р(в)®(ф). (38)

Введя новую переменную q и учитывая выражения (38), фор­мулы (35)—(37) перепишем в виде

7\ = (я©'" + 2Рв' + J qP" dQ) ; (39)

; T, = ^(qP" + 2P')-, (40)

I о

5 = — — Р'в". (41)

Rt>

Полагая, что Pom = Rom и воп = Ф0;1 [см. формулы (12) и (13) ], рассмотрим здесь только функции Рк и ©к, т. е. функции, 320
удовлетворяющие контурным условиям. Примем при этом, что самоуравновешенной нормальной контурной нагрузкой нагружен только криволинейный контур. Сдвигающие усилия SK по всему контуру равны нулю. В этом случае можно положить Рк= const = = 1, т. е., что

¥К = ©К(Ф). (42)

Отсюда выражения (,39)—(41) примут вид

П = ^(©; + 2©;)|е = 1;

Тг = 01 ф=о 0 | q = 1, Ф = 0, ф = а. (43)

<р=а

Пусть по криволинейной части контура профиля распределена самоуравновешенная нормальная нагрузка

Р =~ Р (ф). (44)

Т. е., что

П=-^(©; + 2©;) = р(ф). (45)

'о

Отсюда ©к (ф) определится как частный интеграл неоднород­ного дифференциального уравнения

©«+2©; = р(ф). (46)

Таким образом, функция напряжений F (q, ф) позволяет удов­летворить контурным условиям, когда криволинейная часть кон­тура нагружена постоянной нагрузкой или вовсе ненагружена. Прямолинейную же часть контура возможно нагрузить произ­вольной нагрузкой.

С помощью функции ^ (q, ф) есть возможность нагрузить криволинейный контур произвольной нагрузкой.

Отсюда путем наложения напряжений, определенных с по­мощью функций F (е, ф) и ^ (q, ф), можно получить ряд решений задачи при различных распределениях нагрузки по контуру про­филя.

Уравнение Кастильяно. Выпишем значения усилий 7\, Т2, S, выражая их, например, через функцию F (q, ф):

TI = jr 2а™ + ф") +

Т2 — - у 2 AmnRom®o

1 v п \ ^от і ф' j чк

Тт^М"?----------- г)Фоп + 3 '

Эти усилия подобраны так, что удовлетворяют уравне­ниям равновесия (1) и граничным условиям, но не удовлетворяют

21 Сборник 1835 321
уравнениям совместности деформаций. Для удовлетворения пос­ледним воспользуемся вариационным уравнением Кастильяно

V = ~2ШГ 11 + — 2v7\T2 + 2(1 — v) S2]r-dr-d(f>, (48)

Где Е — модуль упругости; v — коэффициент Пуассона; h — толщина профиля.

Усилия, удовлетворяющие и уравнениям равновесия и уравне­ниям неразрывности деформации, реализуют минимум V. Внося значения Тъ Т2, S из уравнений (47) в условие

Е; і.

Нетрудно убедиться, что правая часть выражения (52) равна нулю; отсюда и а = 0. Напряженное состояние профиля опишется формулами

1 Rk

Ф

Г0

Пример 2. Рассмотрим случай загружения, когда по криволинейной части контура приложена постоянная равномерно распределенная нагрузка, а по прямолинейной — уравновешивающая ее нагрузка, распределенная по параболе четвертой степени (фиг. 2, а), т. е.

Фк = —рлд = const;

Ф;=Ф;=о;

9(Є) = /гЄ4.

Коэффициент k определим из условия равновесия

1

—р — k | Q* dQ

Откуда 21*

Таким образом,

Q (е) = —5р Q4; ЈK = 5jjY. rfe. rfe; RK = 5jQ4rfg = Q5; ^ = 5Є4.

Вычислив для рассматриваемого случая правую часть уравнения (52), по­лучим

—0,38094-0,0333я5р^.

Отсюда [см. формулу (53)]

0,38094-О, ОЗЗЗя6 , . _, а = 0,0474939л5 рГо = °'2637^' о,

И напряженное состояние профиля опишется следующими формулами:

Ф і і ф" і

О ' П2 к '

= р (0,2637q (q - 1) [2 (Q - 1) (я2 — бяф + 6ф2) + (5е — 3) (я - Ф)2 ф2] - е4};

(58)

Т2 = 4" ИоФ0 + = Р [0,5274q (10е2 _ 12q + 3) (я - Ф)2 Ф2 - 5е4];

(59)

Ф0 =

-р [1,0548е (е — 1) (2q — 1) ф (я — ф) (я — 2ф)].

Распределение напряжений показано на рис. 2, а, где'принято р = 1. Пример 3. Криволинейная часть контура нагружена постоянной равно­мерно распределенной нагрузкой, а прямолинейная — уравновешивающей на­грузкой, распределенной по закону (см. фиг. 2, б)

' + cos яд \ 4

Q (q) = k cos8

Коэффициент k, как и прежде, определим из условия равновесия і

Р = k J cos8 dq

Следовательно,

128

35

128 f g яе, 8 / 35 8 .

K = ~35~~ J 008 "rrfe = "35-^6 + —з. пяе

+ 1ЇГ sin 2ле - sinS яе + - Щ-sin 4яе);

128 8 л£> 8 /", , . _ 2 |j3 , 4 \

/?к = —gg - COS —= - gg - (1+4 COS яе + 6 cos + 4 cos яе - t - cos яе) =

G

= - gg-(l - f cosng)4;

Фк остается прежней (см. примеры 1 и 2).

Выполняя аналогичные вычисления [(только правой части уравнения (52)], получим

0,0333-3,26676лэ 2 0,1087 2 „,„„ 2 ,,,,

0 = - 0,0474939л5 ^ = "^Г ^ = 0-2319рло. (61)

Усилия определятся по формулам Тг = р |o,2319q (е - 1) [2 (е — 1) (я2 -- бяф + бф2) + (5q - 3) (я - ф)2 ф2j —

8 / 35 I 8 ■ , 7 ■ О 4 9 1 ■ А \)

~ Ж [т + ^5Ш Яе +5Ш 2яе - w5Ш е + "^ёsm е Л;

(62)

Г2 = р |"o,4638g (IOq2 — 12е + 3) (я — ф)2ф2 _ — (1 + cos ne)4J ; (63) S ■= —р [0,4638-2q (є — 1) (2q — 1) ф (я — ф) (я — 2<р)]. (64)

Распределение напряжений в профиле показано на фиг. 2, б, где принято р = 1.

Выводы

1. Усилия Ту и Т2 с достаточной точностью могут определяться по приведенным формулам, т. е. в первом приближении; что касается сдвигающего усилия S, то потребуется, очевидно, взять второе приближение.

2. Приведенным в статье методом возможно рассчитывать профили, мало отклоняющиеся от круга, например очерченные по параболе четвертой степени.