ПРИМЕНЕНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА МАШИНОСТРОЕНИИ

Приближенный метод расчета толстой торообразной оболочки, находящейся под действием внутреннего давления

Основным недостатком приведенных формул для расчета горо­образных оболочек является то, что они не позволяют установить закон распределения тангенциальных напряжений в поперечном сечении спиральной камеры, так как эти напряжения, как и в обыч­ном цилиндре, считаются равномерно распределенными по сечению. Для металлических спиральных камер этот фактор не играет существенной роли, поскольку подбор толщины оболочки произ­водится по меридиональным напряжениям, величина которых примерно вдвое больше тангенциальных.

В железобетонных спиральных камерах закон распределения тангенциальных напряжений влияет на характер армирования конструкции, а поэтому возникает необходимость уточнения расчета.

Вырежем из толстостенной торообразной оболочки бесконечнб малый элемент, образованный углами гіф (фиг. 2, а) и гі0 (фиг. 2, б) и поверхностями, отстоящими от центра сечения на расстоянии гх и Rx + Drx. Введем предположение, что перекоса элемента не происходит и по его граням действуют только нормаль­

Г1.

Sin ф

Dr.

Из которой следует, что ~ =

ЙГл

1, т. е. dr2~ drx

_ Drx

Для упрощения дальней­ших записей отбросим индекс у радиуса кривизны гх. Тогда будем иметь

Dr2 — dt\ — dr. (12)

Составим условие равно­весия элемента тора, спроек­тировав все силы на направ­ление радиуса г:

(ог - dor) (г + dr) гіф (г2 - I - dr) dQ вгг гіфг2 dQ — (сгф + гісГф)^ r2 + —

2cr« Dr

После приведения подобных членов, сокращения на общий множитель гіфгіб и пренебрежения малыми величинами высших порядков будем иметь

Do, rrt - I - or dr (г2 -

(Or

Полученное выражение является условием равновесия беско­нечно малого элемента торообразной оболочки. Нетрудно заме -

Тить, что прй 12 -> со это выражение превращается в условие равновесия толстостенного цилиндра:

^ + K-V> = 0, (14)

А при r2 = г получается условие равновесия толстостенной сфе­рической оболочки:

Fgr + 4-(a,-a,) = 0, (15)

Где меридиональное напряжение огф равно тангенциальному ae.

Поскольку уравнение (13) содержит три неизвестных вели­чины Ог, ОГф и 0Г9, то для решения его необходимо составить условия совме­стности деформаций. Будем считать, что грани элемента, плоские до де­формации, остаются плоскими и после деформации, т. е. перемещение всех точек элемента определяется вели­чиной радиального перемещения U точек внутренней поверхности элемента (фиг. 3). Точки внешней поверхности элемента перемещаются в радиальном направлении на вели­чину U + DU, а толщина элемента изменяется на DU.

Тогда относительная радиальная деформация будет

DU Фиг. 3. Деформации беско-

Ег = - jp. нечно малого элемента тора.

І

В меридиональном направлении относительная деформация элемента еф определяется относительной деформацией дуги АА1У Которая в деформированном состоянии займет положение А 'А\\ При этом єф = Аналогично получается величина относитель­ной деформации в тангенциальном направлении. Эта деформация равна е9 = ^г.

Выразим относительные деформации через напряжения по закону Гука:

TOC \o "1-3" \h \z Ег ~ — (°г М^ф М^е); (16)

ЕФ = -7- = К — l1^)- (17)

Е9 = = ——ЦОф)- (18)

Полученные выражения совместно с уравнением равновесия позволяют найти четыре неизвестных величины: ог, огф, о9 и U. Исключим из уравнений величины напряжений и получим диф­ференциальное уравнение для определения перемещения U. Для этого возьмем ог9 из выражения (17), выразим:

1 EU

И подставим полученное значение о9 в уравнение (16):

DU 1 ( , EU\

= ~Ё~\аг —~ 0гф + fior, + — J

ИЛИ

U 1+j. i

Е

Подстановка значения о9 из уравнения (19) в уравнение (18) дает

U __ і UE

77 ~"Т

ЦОг — и^огф

Или

И (цг + г2) __ 1 + ц

Ц/т2

Сложив левые и правые части выражений (20) и (21), исключим из них напряжения 04:

1+ц Г (1-Ю

MJ __ . U (цг + г2) dr г ' цгг2

Ц

Подставив полученное значение оф из уравнения (22) в уравне­ние (20), получим выражение для определения ог;

(1 — ц) dU R + R2

Найдем значение^, продифференцировав выражение (23):

DOj. __ Ell Г(1 — ц) D4J_

Dr ~~ (1 4-И) (1 — 2ц) ц • Dr2 +

(1 4- ц) (1-

T 4- r2 dU

(24)

Выражение для o9 получим, подставив значения огф и ог из уравнений (22) и (23) в уравнение (19):

П \dU і. — + R / ;1

0 (1 + ц) (1 — 2ц) [ Dr Т" цг2г J"

Таким образом, с помощью зависимостей (22), (23) и (25) можно определить напряжения ог, огф и ог9, если известно пере­мещение U. Для определения U необходимо исключить значения напряжений и производной от радиального напряжения из уравнения равновесия (13). После соответствующих подстановок и преобразований получаем дифференциальное уравнение

L№ r + r2 dU r2A-rl

77- "і----- —— —---------- (26)

Dr2 ггг dr Rr^

Таким образом, для определения U получили обыкновенное, линейное дифференциальное уравнение второго порядка с пере­менными коэффициентами. Если использовать зависимость (11) между радиусами кривизны торообразной оболочки, то получим окончательно

D2U А + 2R Sin ф DU Г г r sjn ф^ • Dr

_ a2 -F 2г (а + г Sin Ф) Sin Ф jy = q ^7)

R2(A-\-R sin ф)2 ' ' '

Это уравнение при а ^ со превращается в дифференциальное уравнение Эйлера второго порядка для толстостенного цилиндра:

- = (28)

А при а = О получаеігся уравнение

Г2 ~ + 2R ^ — 2U 0, (29)

Аналогичное уравнению (28) и описывающее напряженное состоя­ние толстостенной сферической оболочки.

Таким образом, для получения выражений, определяющих напряжения ог, огф и а9, необходимо найти решение дифферен­циального уравнения (27) и удовлетворить полученное решение условиям на поверхности оболочки. Эти условия в случае обо­лочки, находящейся под действием внутреннего давления р, Будут

TOC \o "1-3" \h \z при Г - Q, ог --- —р\ (39)

При /- = .£> о г = 0. (31)

Значения ог могут быть найдены из дифференциальной зависи­мости (23), если известно выражение для U, полученное из урав­нения (27) с точностью до двух постоянных интегрирования.

30 Сборник 1835 465

Дифференциальное уравнение (27) для определения радиаль­ного перемещения U можно переписать в следующем виде:

Г2 (a2 - f 2аг sin <р + г2 sin2 <р) - г (а2 4- 3аг sin ф 4- 2г2 sin2 ф) ~

(а2 + 2Аг sin ф 4- 2г2 sin2 ф) U - О,

Т. е. в виде линейного однородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, представляющими собой много­члены степеней г.

Решение такого дифференциального уравнения может быть представлено в виде обобщенного степенного ряда

U - г1 2 СпГп,

П—0

Где Сп — постоянные, которые могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов; X — корни определяющего уравнения, равные для данного уравнения ±1.

Первое решение дифференциального уравнения при Xl = 1 получается в виде ряда

Г Sin'Y о

Или

Нетрудно заметить, что при 1, как это имеет место в спи­

Ральных камерах, ряд, входящий в выражение (35), является биноминальным рядом и суммируется в функцию

(і+^Ф-г)-1. (36)

После подстановки этой функции в выражение (35) получается окончательное выражение для U в замкнутом виде, являющееся первым решением дифференциального уравнения (32), соответ­ствующим корню определяющего уравнение = 1:

И С 3A + 2R sin«p 37

Х а + г sin ф у >

Используя второе значение корня определяющего уравнения = —1, можно получить еще одно решение дифференциального уравнения в виде ряда

«

TOC \o "1-3" \h \z CV-^l—^r+^r*-...), (38)

Который также при суммируется и дает второе решение

Уравнения в замкнутом виде

U, - С2 . , ' .—т - • (39)

2 1 г (а -+- г sin ф) '

Это же выражение получается, если воспользоваться для оты­скания второго решения из первого формулой Лиувиля.

Подстановка полученных решений в уравнение (32) показы­вает, что они удовлетворяют исходному дифференциальному урав­нению.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

И = Сг За + 2г5іпф г - I - С2 , , ' . , • (40)

1 а + г sin ф 1 i г (a - J - г sin q ) х '

Продифференцировав полученное выражение по г, получим значение производной

DU _ R 2(а г sin ф)2 + а2 р А + 2R Sin ф

~Dr 1 (а + г sin ф)2 2 г2 (а + г sin ф)2 ' ( '

Значения постоянных Сі и С2 можно определить из граничных условий на поверхности оболочки по формулам (30) и (31) с по­мощью выражения

^Чо-й^ + і'йтЗНї0]- (42)

Получающегося из формулы (23) при подстановке в нее г2 из уравнения (11) и введении обозначения

= Т1+Ю0-2Ц) • (43)

Подставив в выражение (42) значения U из уравнения (40) и производной из уравнения (41), получим выражение для радиальных напряжений в следующем виде:

- (УГ [С>Ф W - Ct-l^t - (а + 2г Sin Ф)] , (44)

Где

Ф (г) За2 -!- 2 (1 + (.1) г sin ф\2а -4- г sin ф). (45)

30* 467

Использование условий на поверхности дает формулы для определения постоянных Cj и С2:

Г - JL __ ________ (а + Q Sin ф)2_______ . , „

^ "= . А + 2Q Sin Ф ф _ ' <4Ь>

Е2 A 4- 2R sin ф ^

С - с R2(P(R)_____ <47)

(1 - 2ц) (а-j-2Я sin ф) '

Где Ф (R) и Ф (е) — значения функции (45) при г R и г = у.

Из структуры формулы (46) вытекает, что при 2R sin ф = —а постоянная Сх обращается в ноль, а значение С2 в формуле (47) становится неопределенным. Если избавиться от. неопределен­ности, то получим выражение для С2 в следующем виде:

Г =-£- (A -J- Q siN ф)У 2 Е{ (1 — 2ц) (а-і- 2дзіпф) '

Значение угла ф, при котором коэффициент С\ обращается в ноль, для натурных размеров спиральных камер колеблется от —65° до —75°.

Наиболее простой вид формулы для определения постоянных

И С2 имеют для точек, расположенных на вертикальном диа­метре поперечного сечения (ф = 0):

Г - р G2 /494

1 Ех 3(R2 — Q2) ' 1

С 11 R*Q*A

E( 1 — 2(A) (RZ-Q2)'

Формулы для определения меридиональных и тангенциальных напряжений можно получить, если представить уравнения (22) и (25) в виде

И ^ МЛ ; (51)

[ r(a-\-1' sin ф) r dr J v 7

Гещіпф Jj + M (52)

1 і a r sin ф • R dr J v

и подставить в них значения U и ее производной из уравнений (40) и (41). Окончательно получим

% = (гг+ТііїПрГ lCl [3а + 2 (1 ^ Г йіп ф1 + С* ; (53) '

А0 (я+• fs'in ф)' [2'U + 3a/"sin(P + ^ІП2Ф) +

+ (За + 2r sin ф) г sin ф] + С2 1 ~:^ sin ф j - (54)

Для точек вертикального диаметра поперечного сечения спи­ральной камеры формулы значительно упрощаются:

О

- Р

(56)

(57)

Нетрудно заметить, что выражения (55) и (56) в точности сов­падают с формулами Ламе для радиальных и меридиональных напряжений в толстостенном цилиндре. На этом основании можно сделать вывод о том, что введение формул Ламе в решение без­моментной теории тора дает возможность более правильно отразить напряженное состояние толстостенной торообразной оболочки.

Из выражений (49) и (50) видно, что коэффициент С\ учитывает влияние толщины оболочки, а коэффициент С2 — влияние радиуса вращения а оболочки на величину нормальных напряжений.

С помощью полученных формул можно сравнительно просто произвести расчет оболочки в табличной форме.

Рассмотрим пример расчета модели круглой железобетонной спиральной камеры масштаба 1 : 10 применительно к параметрам гидротурбины Красноярской ГЭС. Напряжения вычислим для сечения со следующими расчетными данными: а = 101,0 см; Q = 42,5 см; R = 54,5 см и ц = 0,15. Напряжения будем опре­делять в точках поперечного сечения с величинами углов ф: 90°; 45°; 0°; —30°; —50° и —70°.

Расчет производится в следующем порядке: по формуле (45) находят значения Ф (R) и Ф (е), после чего из выражений (46) и (47) определяют коэффициенты Сх и С2, имея которые по фор­мулам (53) и (54) можно вычислить значения меридиональных и тангенциальных напряжений. Значения функций Ф (R) и Ф (g), коэффициентов Сх и С2 и напряжений аф и о0 для указанных точек поперечного сечения приведены в табл. 1.

Построенная по результатам расчета эпюра меридиональных напряжений приведена на фиг. 4, а. Для сопоставления получен­ных значений напряжений (2 — прерывистая линия и ординаты в скобках) показана эпюра, получающаяся при использовании формул Ламе в решении для безмоментной торообразной обо­лочки (8). Как видно из сопоставления эпюр, они очень близко совпадают во внешней части оболочки до зоны вертикального диа­метра. По мере приближения к статору значения напряжений по формуле (8) продолжают увеличиваться, а напряжения, полу­чающиеся по расчету, несколько убывают.

На фиг. 4, а приведена также (3 — линия с крестиками) эпюра напряжений на внешней поверхности, найденная эксперимен­тально при испытании в НИИЖБ Госстроя СССР железобетон­ной модели спиральной камеры. Сопоставление экспериментальной кривой с теоретическими указывает на близкое совпадение их во внешней части оболочки до зоны вертикального диаметра, а в зоне, примыкающей к статору, эпюра экспериментально най­денных напряжений сначала близко совпадает с эпюрой, построен­ной по формуле (8), а по мере приближения к статору начинает убывать, занимая промежуточное положение между двумя теоре­тическими.

Значения напряжений сгф, найденных экспериментально, в се­чениях с углами <р равными 90°; 45°; 0°; —30°; —50°; —70° на внешней поверхности равны соответственно: 2,89р; 2,95р; 3,28р\ 3,60р; 3,75р и 2,83р.

Таким образом, полученное приближенное решение для тол­стостенного тора во внешней части оболочки довольно точно отра­жает действительное напряженное состояние в меридиональном направлении, а в зоне, примыкающей к статору, имеет место лишь качественное совпадение, т. е. в обоих случаях наблюдается сни­жение напряжений у заделки. Определение меридиональных напря­жений по формуле (8) дает несколько завышенное значение их в зоне примыкания к статору, что обеспечивает прочность обо­лочки при большой простоте расчета. 470

Эпюры тангенциальных (торовых) напряжений представлены на фиг. 4, б, где показаны: эпюра (2 — прерывистая линия), получающаяся по существующей методике расчета и эпюра (3 — линия с крестиками) — по результатам эксперимента. Как видно

3!1р (З. Юр)

Из эпюр, имеет место некоторое совпадение результатов экспери­мента с результатами расчета по существующей методике расчета почти во всем поперечном сечении, за исключением околостатор - ной зоны, где в эксперименте наблюдается снижение торовых напряжений и даже перемена их знака в непосредственной бли­зости заделки. Перемена знака тангенциальных напряжений получается также и по полученной формуле (54), однако в более резком виде, так как величины разнозначных напряжений имеют примерно один порядок.

Экспериментальные значения тангенциальных напряжений на внешней поверхности модели в указанных выше точках попереч­ного сечения равны: 2,13р; 2,20р; 2,56р; 2,Юр; 0,93р и —0,1р.

Таким образом, для определения тангенциальных напряжений в спиральных камерах с достаточным приближением можно воспользоваться формулой (5) существующей методики расчета спиральных камер как безмоментных торообразных оболочек. При этом следует учитывать возможность появления напряжений противоположного знака в околостаторной зоне. То, что танген­циальные напряжения, найденные теоретически, довольно суще­ственно отличаются от экспериментальных, является следствием принятых допущений в расчете.