ПОЛИЭТИЛЕН ВЫСОКОГО ДАВЛЕНИЯ

Состояния равновесия системы

Получить аналитическое решение в квадратурах системы дифферен­циальных уравнений (5.7), (5.8) не удается из-за их нелинейности. По­этому при исследовании использовались методы качественной теории дифференциальных уравнений.

Так как практический смысл имеют только положительные значения параметров (концентрация и температура в процессе всегда положитель­ны), то мы будем рассматривать первую четверть фазовой плоскости х, у, определяемой уравнениями (5.7), (5.8). Координаты состояний равновесия находятся из условия:

Йх йу

D7=dr" = 0-

Обозначив первые части уравнений (5.7), (5.8) через Р(х, у) и Q{X, у), условие (5.9) можно переписать в следующем виде:

P(Xs, ys)=-xs/e~ <~1+u>/ys+v(x0 - xs) = О; G(*» УаУ= 0 + U) ІУ* + v <1 + w)tV. - У a) = 0 •

Из уравнения (5.10) имеем:

Vjcq

Xs= v + e-V + »Vys ■

Подставив это выражение в (5.11) и проведя несложные преобразо­вания, получим:

Y-v_______ !____ (_______ Y2C - и/У* (5 12)

Выражение (5.12) является статической характеристикой, показыва­ющей связь между входной температурой смесило и равновесной темпе­ратурой ys. Эта статическая характеристика для различных значений входной концентрации инициаторах0 показана на рис. 5.2.

Рассматриваемая система может иметь одно или три состояния рав­новесия. Их ординаты определяются абсциссами точек пересечения кри­вой (5.12) с прямойj = const.

Из рис. 5.2 видно, что прих0 статическая характеристика являет­ся однозначной монотонной кривой и, следовательно, в системе при дан­ном jo возможно только одно состояние равновесия. Прихо =х^о кривая У о =/{js) имеет два экстремума и, следовательно, для определенных зна­чений у о (от УІ ДО УI11) в системе возможны три различных состояния равновесия. Для значений j0 <j/ возможно только одно состояние рав­новесия [одно пересечение прямой Jo = const с кривой (5.12)]. Для значе­ний Уо<УІг<Уо11 в системе возможны три состояния равновесия (пря­мая jo = const пересекает кривую в трех точках). Так, j0 =уЦ соответ­ствуют три возможных значения равновесной температуры: j/ j^ уНІ. Какое из них в действительности будет иметь место, зависит от начальных условий. 'При увеличении j0 до значений j0 >у^ в системе возможно только одно состояние равновесия. Прих=х^ одно состоя­ние равновесия может существовать только при больших значениях входной температуры (j0 ) •

Граничный случай, когда прямая j0 = const касается кривой (5.12), соответствует изменению числа состояний равновесия в системе. Значе­ния параметра, при которых происходит изменение числа состояний равновесия в системе, называют бифуркационными, а соответствующие им точки кривой (5.12) — точками бифуркации. Если мы будем медленно

И непрерывно изменять входную температуру jo, то в бифуркационных точках будут происходить скачкообразные переходы системы из одного состояния равновесия в другое и соответственно резкий разогрев (при переходе из состояния равновесия в точке В в состояние равновесия в точке D — см. рис. 5.2) или охлаждение реакционной смеси (переход из точки С в точку А).

Зависимость равновесной температуры^ от входной j0 ДОЯ случая, когда в системе возможно несколько состояний равновесия, имеет гис - терезисный характер. При увеличении j0 от 0 по у^п (0<yQ <ylIJ) со­стояния равновесия находятся сначала на участке кривой ОВ, при даль­нейшем росте jo состояния равновесия будут на участке кривой DE. Переход с участка кривой 08 на участок кривой DE осуществляется в точке бифуркации В при УігУІ11- При обратном движении, т. е. при уменьшении jo, мы будем двигаться сначала по участку ЕС, затем в точ­ке бифуркации С при j0 =yl, т. е. при меньшей, чем в предыдущем слу­чае входной температуре (j0 <УІП), переходим на участок OA.