ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ТЕНЗОР И ДЕВИАТОР ДЕФОРМАЦИЙ, ИХ ИНВАРИАНТЫ
|
Чтобы все компоненты тензора деформаций вычислялись единообразно, для их определения вводят общую формулу: 1 (дщ dUj |
|
ги і 2 |
|
При одинаковых индексах выражение (2.30) повторяет формулы (2.25) для вычисления линейных деформаций. При разных индексах оно определяет сдвиговые деформации равными половине соответствующих углов сдвига уу. Поэтому тензор деформаций имеет вид |
|
є °ХХ |
єху |
pxz |
||
|
T = є |
єух |
єуу |
Pyz |
(2.31) |
|
pzx |
Pzy |
pzz |
|
или |
|
1 |
1 |
|
|
°xx |
2 У xy |
2 У xz |
|
1 |
1 |
|
|
2 У yx |
Myy |
2 У yz |
|
1 |
1 |
|
|
2 У zx |
2 У zy |
Mzz |
|
T = |
|
Тензор (2.31), точно так же, как тензор напряжений (2.13) антисимметричен, так как из формул (2.26) вытекает, что углы сдвига у і не зависят от перемены мест их индексов. С этим тензором можно провести те же операции, что проведены с тензором напряжений при получении формул (2.13)-(2.18). Путем простой замены в формулах (2.16) сти на еи и сту на (1/2) уу можно получить формулы для вычисления инвариантов тензора деформаций: |
|
ІЄ1 — єхх +єyy + szz ; Т _ . У xy У yz ^ У zx I^2 — _£ХХ ‘ ^yy _ ^yy ‘ ^zz _ ^zz ‘ ^ХХ ^ 4 ; |
|
^ХХ ‘Уyz £yy '1 zx £zz ‘Уху + 1xy ‘Уyz 'Уzx 4 |
|
Первый инвариант тензора деформаций дает изменение объема материала. Объемную или среднюю деформацию можно опре- |
|
(2.30) |
|
dxj |
|
дХі |
|
(2.32) |
|
(2.33) |
|
Is3 -£ХХ 'syy 'szz + |
делить аналогично среднему (гидростатическому) напряжению по формуле
|
(2.34) |
sm 3 3 ' (^xx ~^^yy ~^^zz ).
|
(2.35) |
Так как sm не связана с пластическими деформациями, для их исследования нужно исключить из тензора Те. Тогда получим де - виатор тензора деформаций De:
|
1 |
1 |
|
|
■xx Sm |
2 у xy |
2 у xz |
|
1 у 2 f yx |
Syy ~ Sm |
1 у 2 lyz |
|
1 |
1 |
|
|
2 у zx |
2lzy |
W 1 z z w |
|
D = |
Второй инвариант девиатора тензора деформаций, который характеризует интенсивность деформаций изменения формы, можно получить из формулы (2.21) путем замены напряжений на соответствующие деформации, как это делалось выше. В результате получим:
/ 2 і ( 2 і ( 2 tR^xy +Jyz 1 Yzx
(sxx - Syy )2 + (syy - Szz )2 + (szz - Sxx )2 + 6-----------------------------------
xx yy yy zz zz xx 4
(2.36)
Интенсивность деформаций (аналогично интенсивности напряжений) определяют путем «тарировки» второго инварианта по опыту на одноосное растяжение:
S; - A •J - Sxx, (2.37)
где коэффициент A находится в результате опыта на простое растяжение, когда: = Sxx; Syy = Szz = - v • Sxx; Yxy = lyz = Izx = 0. Подста
новка этих значений в предыдущую формулу дает:
Sxx = A xlJ66 ■ {(Sxx +V-Exx )2 + (-V-Exx + [2] ■ Sxx )2 + (-V^Sxx - Sxx )2 + 6 • [О2 + О2 + 02 ]},
откуда
A =
1 + y.
|
¥ )+(¥)+(т |
Подставив это значение А и выражение для второго инварианта (2.36) в формулу (2.37), получим:
В‘ " (її3) 6 '^(ЄХХ ~ Eyy )2 + (Eyy “ Ezz )2 + (Ezz “ Exx )2 + 6
|
е. = Л ep 3 |
и формула для вычисления коэффициента интенсивности деформаций приобретает вид
|
/2 • (1 + V) |
' ^ ('xx _ &yy ) + (^yy ~ Ezz ) + 3'(yxy + Угх ) .
(2.38)
Обычно Є; используется для вычисления интенсивности пластических деформаций, когда коэффициент Пуассона v = 0,5. В этом случае при больших деформациях є заменяют на е, добавляют индекс p, чтобы указать, что деформация пластическая. Углы сдвига у при росте сдвига до бесконечности достигают значения только л/2. Это противоречит физическому смыслу явления. Поэтому углы сдвига при больших деформациях заменяют на тангенсы этих углов, которые при у = л/2; стремятся к бесконечности. Это лучше описывает деформацию, получаемую материалом. Тогда формула для вычисления интенсивности пластической деформации приобретает вид
Следовательно,
d2Yxy d2Sxx, d%y.
dx - dy dy2 dx2 '
|
d2Sxx, d%y g2Уxy. |
|
1) |
|
dy2 dx2 dx - dy’ 2) - |
|
d2£yy, d2Szz d2Уyz. |
|
dz2 dy2 dy-dz’ d2Szz, d2Sxx = d2Уzx. dx2 dz2 dz - dx ’ 2 - d2Sxx =d f dyxy dyyz dyz |
Это одно из уравнений сплошности, аналогично можно получить пять остальных:
|
dy - dz dx ^ dz dx dy 2 - d%y = d f dy yz dy zx dy xy |
|
(2.41) |
3) ,
|
2 - d2Szz = d f dy zx dy xy dy yz |
dz - dx dy ^ dx dy dz
6)
dx - dy dz ^ dy dz dx
Пластические деформации происходят без изменения объема. Поэтому малые пластические деформации должны быть связаны
уравнениями: е = о
°xxp ~ °yyp ~ °zzp
Неточность этой формулы при значительных деформациях видна из исходных формул для вычисления линейных деформаций:
|
- 3 * o. |
L1 L10 + L2 L20 + L3 L30 _ L1 + L2 + L3
L10 L20 L30 L10 L20 L30
Из этого выражения видно, что равенство нулю соблюдается только тогда, когда три первых слагаемых левой части последнего равенства равны единицам, т. е. когда каждая из деформаций равна нулю.
Строгое выполнение условия постоянства объема имеет место, если пользоваться большими деформациями:
exxp + eyyp + ezzp = °. (2.43)
Если раскрыть это равенство по формулам (2.29), получим
ln ( lx] + ln (L) + ln ( L ) = ln ( LQx-Lyy-Loz ) = ln (VO ) = 0,
откуда следует точное выражение для постоянства объема V = V при любой величине деформаций.
Если уравнение (2.43) применить к случаю одноосного растяжения, когда еуур = ezzp, то получим:
exxp + 2 • eyyp exxp + 2 • ezzp 0,
откуда
eyyp = ezzp = -0,5 • exxp. (2.44)
Таким образом, при пластической деформации коэффициент Пуассона v равен 0,5, что следует из условия постоянства объема (2.43).
