ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ СТЕНКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СОСУДА ДАВЛЕНИЯ
Схема определения напряжений в тонкостенном (t/R ^ 1) цилиндрическом сосуде с внутренним давлениемр, средним радиусом R и толщиной стенки t представлена на рис. 6.4.
Из условия равновесия проекций всех сил, действующих в сечении А-А, на ось 2 (рис. 6.46):
^Z = р■ п-R2 - аг ■ 2п-R■ t = 0 можно вычислить меридианальные напряжения аг:
Р • R гч
°г = СТ2 = "277• (6.5)
Для вычисления тангенциальных напряжений стф из сосуда нужно вырезать круг толщиной b (вместе с содержимым), как показано на рис. 6.4а двумя вертикальными осевыми линиями. Потом этот круг (вместе с содержимым сосуда) нужно разрезать по диаметру и отбросить нижнюю часть. Вырезанная часть напоминает ломтик лимона (рис. 6.4в). Условие равновесия проекций всех сил на ось вертикальную ось у для вырезанной части сосуда имеет вид:
^ Y = р ■ 2R ■ b - 2 а9-1 ■ b = 0,
откуда получим формулу для вычисления тангенциальных напряжений:
ст9=сті = 2-^ = 2стг. (6.6)
Рис. 6.4 Схема определения напряжений в цилиндрическом сосуде давления |
Третье главное напряжение ar изменяется от - р на внутренней поверхности сосуда до 0 на внешней поверхности. Следовательно, ar по крайней мере в R/t раз меньше стф. При расчете тонкостенных сосудов ar принимают равным нулю:
ar = ст3 = - р...0 * 0. (6.7)
Из формулы (6.6) для максимального напряжения можно получить выражение для расчета давления р при заданном напря-
жении стт = ст1 |
Р =- |
R |
(6.8) |
t _ t0 • exp(er) “ = а1 •■ |
R0 • exp(e„)’ |
где R0 и t0 — начальные радиус и толщина сосуда.
Момент потери устойчивости пластических деформаций будет соответствовать максимуму давления (р = ркр) при возрастании деформации. Но деформаций в формуле (6.8) две. Чтобы использовать степенной закон нагружения (5.40), нужно их выразить через интенсивность деформаций е, а напряжения ст1 выразить через интенсивность напряжений стг. Используя формулы (6.5)- (6.7), можно все напряжения, входящие в выражения для вычисления интенсивности напряжений, выразить через ст1. В результате получим
"; = J2-[("і — "2)2 +("2 — "з)2 + ("з -"і)2] =
"1 —^ Т +(^—0 Ц+(0—"1)2
=тз |
2 '21 +1 |
= "1- |
= "1- |
-"1 |
1—2 )2+(2 )2+(—1>2 |
или
(6.9) |
Чтобы выразить деформации er и ez через еф = е1, воспользуемся уравнениями соосности компонентов девиатора напряжений и компонентов девиатора деформаций:
СТ1 ~ст2 _ СТз - СТ1
Є1 - Є2 Є2 - Єз Єз - Є1 . (6.10)
После подстановки в эти уравнения значений напряжений для цилиндрического сосуда они примут вид:
G1 - СТ1/2 _ СТ1/2 - 0 _ 0 - СТ1
ez - er |
er - ет
Сокращение на ст1/2 и приведение к общему знаменателю первого равенства дает: ez - er = еф - ez или еф + er - 2ez = 0. Но при пластической деформации должно сохраняться постоянство объема:
(6.11) |
еф + er + ez = 0.
Совместное решение уравнений (6.10) и (6.11) дает:
(6.12) |
ez = 0,
e = —e
с'ф сг*
Стенка цилиндрического сосуда давления работает в условиях плоской деформации (ez = 0). Теперь, используя формулу (2.40), можно cвязать тангенциальную деформацию (єф = e1) с интенсивностью деформаций ei уравнением
e =^3- 'V (e1 - e2)2 + (e2 - e3)2 + (e3 - e1)2 =
А 3 |
з eф, |
^ - 0)2 + [0 - (-єф )]2 + [(-єф ) - єф]2
A ■ en |
S' |
s |
R0 ■ exp (V3 ■ Єі ) |
(6.14) |
■ exp(-V3 ■ ei). |
откуда e,=~er eі. (6.13) Подставим выражения (6.9) и (6.13) в формулу (6.8), получим: 2 |
R0 ■ exp ^2 et 2 ■ A ■ t0 V3 ■ R0 |
t ■ expI -^3 ^ |
Р = |
В формуле (6.14) давлениеp выражено через одну независимую переменную ei, и можно искать его максимум:
2 • A • t0 V3 • R0 |
•[n • en-1 • exp(-V3 • ei ) + en •(-V3)• exp((3 • ei ) = 0, |
dp
dei
eic = n = 0,577 • n. 3 |
откуда
Тангенциальная деформация стенки сосуда в критическом со стоянии:
V3 „ _ V3 n _ n
e<?c 2 Єіс 2 /3 2. (6.15)
Критическое удлинение окружности стенки сосуда в два раза меньше, чем критическое удлинение при растяжении стержня или полосы.
Подставив это значение єіс в выражение (6.14), получим формулу для вычисления критического давления:
- Kb К ■ - R-, (6.16) R0 |
где
Коэффициент kaB показывает, во сколько раз предел прочности для цилиндрического сосуда больше предела прочности образца при линейном растяжении. Сплошная линия на рис. 6.5 построена по точной зависимости коэффициента kaB от n.
Точками нанесена прямая линия, вычисленная по приближенному равенству. Видно, что для стенки цилиндрического сосуда предел прочности во всем диапазоне изменения показателя упрочнения n конструкционных сталей (0...0,25) несколько больше предела прочности при линейном растяжении по ГОСТу. Но максимальное превышение при n = 0 всего 15%. На практике этим пренебрегают и при расчетах сосудов считают kaB = 1,0.
При разрушениях стенки сосудов шейка обычно незаметна. Характерный вид изломов показан на рис. 6.6.
Рис. 6.6 |
Характерный вид разрушения сосудов давления |
Рис. 6.5 Зависимость Ов сосуда от показателя n |
ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА |
Основные деформации после потери устойчивости локализуются в узкой полосе вдоль одной или двух плоскостей скольжения. Удлинения от сосредоточенной деформации практически нет. Поэтому суммарные деформации удлинения стенки сосуда в тангенциальном направлении оказываются практически равными равномерной деформации (n/2).