ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
МЕЛКИЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВЫТОЧКИ
Контур такой выточки при t/p = 25 представлен на рис. 3.13. Декартовы координаты (x, у) связаны с криволинейными формулами:
x = и -|1 + J, У = v (1 2 + 2 |. (3.30)
|
и2 + V2
|
и2 + V2
Рис. 3.13
Контур поверхностной мелкой выточки при t/p = 25; u0 = 1,133 (деталь находится выше жирной линии и = и0)
Глубина выточки t, радиус ее закругления p и острота выточки t/p находятся по формулам:
|
t = —; Р = - 9 U0 2 ■ U0 |
. (U -1)2. t = 2
Р (u2 -1)2.
Для этой задачи Г. Нейбер приводит только выражение для функции напряжений:
|
1 -- |
|
(3.31) |
|
(2• и2 -1)• (и2 + v2) |
|
F (и) = 2. (и - U0)2 |
|
ou(u>v):= + 1 |
Ниже с помощью MathCad напряжения вычислены по следующим выражениям:
|
0u(u, v):= + 1 |
h(u, v)2 'h(u, v)3 (dhu(u'v) ■ dFu(u, v) - dhv(u, v) ■ dFv(u, v);
,, *2 ■, , *3 (dhv(u, v)■ dFu(u, v)- dhu(u, v)■ dFu(u, v);
|
. . - d2Fvu(u, v) 1 -cuv(u, v):=———br—- + -. |
h(u, v)2 h(u, v)3
■ (dhv(u, v)■ dFu(u, v) + dhu(u, v)■ dFv(u, v);
h(u, v)2 h(u, v)3
<rz(u, v):= v ■ (<ru(u, v) + <rv(u, v));
<ri(u, v):=-L ■J (au(u, v)-av(u, v))2+(av(u, v)-az(u, v))2+(az(u, v)-au(u, v))2+6^(T:uv(u, v))2;
v2
C1(u, v): = gu(u, v) !gv(u, v) + J(v) + °v(u, v_)|2 + 4 ■Tuv(u, v)2;
|
n(u, v): |
<r1(u, v)
oi(u, v) ’
где дифференциалы функций F и h, обозначения которых начинаются с буквы d, вычислены по формулам:
|
h(u, v) ■ (u2 +v2)3 u ■ uO + v2 |
|
v ■ (u - uO)2 |
|
dFu(u, v):=p ■ (u - uO) ■ 1- d2Fu(u, v):=p ■ 1 - |
|
(2■ uO2 -1)■ (u2 +v2)2 u ■ uO + v2 (u - uO) |
|
(2■ uO2 -1)■ (u2 +v2)2’ (u ■ uO + v2) 1 _ii '_________ L_ • |
|
(u2+v2)2 (u2+v2)3 |
|
d2Fv(u, v):=p |
|
(u uO) t1 u2+v2J ; d2Fvu(u v) =p ■ 2 ■v ■(u - uO) ■(v2 - u2 + 2 u ■uO) (2 ■ uO2 -1) ■ (u2+v2)2; d2Fvu(u, v): p (2 ■ uO2 -1) ■ (u2+v2)3 |
|
^ / л о (3 ■ V2 - U2 +1) ... , „ (3 ■ U2 - V2 -1) dhu(u, v) := - 2 ■ и ■ —^; dhv(u, v) := 2 ■ v ■ —^ 4 ' U/. . , . Л,2 , .,2 3 ' ' |
|
h(u, v) ■ (u2 +v2)3 ; dFv(u, v):=p ■ uO |
|
(2■ uO2 -1)■ (u2+v2)2 2■ uO2 -1 4 ■ v2 |
В этих формулах нижние индексы написаны в строку, так как в MathCad они соответствуют номерам членов матриц или массивов.
Полученное по этим формулам распределение напряжений по минимальному сечению (v = у = 0), для полубесконечной пластины, растянутой средними напряжениями p в направлении оси у (рис. 3.13), показано на рис. 3.14.
Из этого рисунка видно, что вблизи концентратора эпюры напряжений очень близки к эпюрам, представленным на рис. 3.11 для эллиптического отверстия той же остроты.
К этой задаче Г. Нейбер дает следующую формулу для вычисления коэффициента концентрации ka = (av)v=0; u=uo/p:
|
ф |
4
|
-1 + 3 • |
|
(3.32) |
К (ф) =
|
10 |
|
(*/р)1/2 |
о/р
|
10,29 |
89 |
1 t/p = 25 и0 = 1,133 у = v = 0 |
||
|
/ |
о„ = |
7У= °1 |
||
|
к* | / |
as |
ц = О |
l/°i |
|
|
\у ПА? |
' = |
./ |
||
|
г |
||||
|
10 |
|
(х - и0- t)/p |
|
Рис. 3.14 Распределение напряжений в минимальном сечении у мелкой поверхностной выточки |
|
6ІЗЗІ62'4/- |
|||||
|
/ / |
|||||
|
/ |
|||||
|
/ / |
|||||
|
/ |
|||||
|
/ / |
|||||
|
/ |
|||||
|
/ / |
|||||
|
л |
|||||
|
// |
|||||
|
/ |
|||||
|
Рис. 3.15 Зависимость коэффициентов концентрации напряжений от остроты мелкой поверхностной выточки (сплошная линия) и эллиптического отверстия (пунктир) |
где
фр •
На рис. 3.15 результаты вычисления по этой формуле представлены сплошной линией.
Зависимость коэффициента концентрации от остроты эллиптического отверстия скопирована с рис. 3.10. Видно, что независимо от формы надреза вдали от вершины при приближенном анализе для оценки коэффициентов концентрации у внешних мелких выточек возможно пользоваться более простой формулой для эллиптического отверстия. Только при этом за глубину внешней выточки нужно принимать величину t, а не 2t, как у внутреннего отверстия.
|
2,0 |
|
Рис. 3.16 Распределение жесткости напряженного состояния в минимальном сечении у мелкой поверхностной выточки (сплошная линия) и у эллиптического отверстия (пунктир) при растяжении |
|
к |
11 = 2,565799
|
00 о со о |
25 |
t/p = 25 |
||
|
4 |
||||
|
ч |
1J |
2508 |
|
2,5 |
|
1,5 |
|
20 40 |
|
60 хг = (х |
|
80 и„- |
|
100 *)/Р |
На рис. 3.16 такое же сопоставление выполнено для распределения жесткости напряженного состояния в минимальном сечении пластины. Видно, что эти зависимости различаются достаточно существенно, хотя мне непонятно, почему.
