ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
КРИТЕРИЙ J-ИНТЕГРАЛА
Критерий независящего от пути интегрирования J-интеграла удобно применять к численным решениям задач о напряженном состоянии материала у трещин или других острых дефектах, полученных методом конечных элементов или методом сеток. Этот критерий основан на понятии механического потенциала П.
Механическим потенциалом называется разность между работой внутренних сил W, совершенных в объеме V тела:
W = J w • dV,
(V)
и работой постоянных внешних сил A, совершенной на поверхности S этого тела: .
A = I q ■ u ■ ds.
(S)
Таким образом, потенциал вычисляется по формуле
П= J w-dV - J q ■ u ■ ds, (6.119)
(V) (S)
где w — работа внутренних сил (напряжений), затраченная на деформацию единицы объема материала:
3
|
(6.120) |
|
w i=1 |
=Z Z. К і ■ d0i, і
і=1 0
В случае нагружения тела одной сосредоточенной силой, как
показано на рис. 6.49а, второй интеграл, входящий в определение
потенциала по формуле (6.119), равен работе, совершенной этой
силой: - ^
A = I q ■ й ■ ds = Pc ■ йс,
(S)
где йс — вектор перемещения той точки тела, в которой приложена постоянная сила Pc.
На рис. 6.496 эта работа равна площади прямоугольника (03-2-4-0). С другой стороны, линия (0-1-2) представляет собой кривую нагружения. Если при нагружении тела работа никуда не рассеивается, то площадь под кривой нагружения (затемненная на рисунке точками) в силу закона сохранения энергии, равна работе внутренних сил W, совершенных во всем объеме V материала:
йс
W = J P ■ du.
0
Потенциал П представляет собой разность этих работ. Заштрихованная горизонтальными линиями площадь на рис. 6.496 равна разности (A-W), следовательно она равна - П.
Из рис. 6.496 ясно, что величина - П является избытком работы постоянных внешних сил, который может быть использован на любой процесс, не связанный с деформацией материала. Он может быть использован на разрушение конструкции, сотрясение ее деталей и фундамента, на звуковые волны и т. п. Если этого избытка работы нет (П = 0), то никакого разрушения не будет.
|
Рис. 6.49 Определение механического потенциала (6) и его приращения при увеличении длины трещины на At (в) в случае нагрузки сосредоточенной силой (а) |
В механике разрушения эта задача решается для тела с трещиной (например, рис. 6.49а) на единицу толщины материала t (точнее, на единицу проекции длины фронта трещины на направление, перпендикулярное направлению ее движения).
J-интегралом называется производная механического потенциала П по длине трещины l, взятая с обратным знаком:
|
йП dl ' |
|
J = - |
|
Чтобы пояснить физический смысл формулы (6.121), на рис. 6.49в нанесены две кривые нагружения, одна — для образца с трещиной исходной длины l, другая — для образца с трещиной, получившей приращение на Al. Из рис. 6.49а видно, что если трещина длиной l получит приращение длины на Al, то высота минимального сечения образца на столько же уменьшится. Поэтому кривая нагружения для трещины большей длины пройдет ниже. Сравнивая рис. 6.496, в, видим, что приращение потенциала при увеличении длины трещины на Al составит |
|
А(-П) = - П(і + Al) + П(і) = {W (l) - W (l + M)}u._u |
|
графически эта величина представлена горизонтальной заштрихованной областью на рис. 6.49в. С учетом этого J-интеграл выразится формулой 1 (А(-П) ^ _ 1 jW(l) - W(l + Al){ _ _ (6123) |
|
J Al—>0; |
|
J _- |
|
Такое определение J-интеграла легко использовать для вычисления его критического значения применительно к изгибным образцам с трещиной длиной l и сечением h ■ t из идеально пластического |
|
Рис. 6.50 Схема сечения изгибного образца с трещиной и эпюра напряжений в минимальном сечении |
|
(6.122) |
|
dW _ 1 dl t |
|
t I |
|
Al |
|
Al |
|
Al—0 |
|
м. |
|
-ш-А1 |
|
|
4Мр(1 + М) |
|
8W |
|
Фс |
|
Рис. 6.51 Изменение работы при увеличении длины трещины в изгибном образце из жесткопластического материала |
|
материала (рис. 6.49а). Для такого образца напряжения в опасном сечении с трещиной ограничиваются пределом текучести. Момент пластического шарнира, соответствующий эпюре напряжений на рис. 6.50, определяется формулой (h - l)2 |
|
h-1.t. h-J) v Л Urn |
|
Mp = |стт |
|
• t. |
|
Для вычисления работы внутренних сил W(l) выражение для пластического момента нужно умножить на критический угол поворота фс, при котором трещина начинает двигаться. W(l) соответствует на рис. 6.51 площади прямоугольника со сторонами Mp(l) и фс: W(l) = Mp - Фс = Стт - Фс • (h4l)2 • t. В соответствии с формулой (6.123), J-интеграл можно выразить как: |
|
От - Фс • (h -1) |
|
dW 1 |
|
От ' Фс |
|
J = - |
|
2.(h-l) (-1)- |
|
dl t 4 ' 2 Сравнивая последнее выражение с предыдущим, видим: |
Стт -Фс • (h-1)2 • t
|
J = |
= W (l) •
|
(h -1) • t |
(h -1) • t
|
Обозначив площадь поперечного сечения образца за вычетом надреза (площадь нетто) через Ан: Ан = (h - l) • t для испытаний образцов с трещиной на изгиб, получим простую формулу для вычисления J-интеграла: |
|
2 • W Ан, |
|
очень похожую на формулу, по которой определяется ударная вязкость: |
|
KCU = А, Ан |
|
где Ac = W — работа, затраченная на деформацию и разрушение образца при ударном изгибе. Формула для J-интеграла отличается от (6.125) только коэффициентом 2. Но физический смысл формулы (6.124) совсем другой. Это не средняя работа, затраченная на единицу площади разруше- |
|
J = |
|
(6.124) |
|
(6.125) |
|
|
ния, а удельная работа Гриффитса Gc, препятствующая страгива - нию трещины с места.
Попытаемся использовать полученный результат применительно к диаграмме нагружения упрочняющегося материала, типа показанной на рис. 6.49в. Такая диаграмма представлена на рис. 6.52а.
Площадь под этой диаграммой равна работе внутренних сил; ее можно разбить на сколь угодно много наклонных параллелограммов и треугольник, как показано на рис. 6.52б. Далее, не изменяя площади этих параллелограммов, их можно выпрямить, превратить в прямоугольники, как показано на рис. 6.52в. Каждый из прямоугольников представляет собой диаграмму нагружения для жесткопластического тела. Следовательно, каждый прямоугольник можно обработать по формуле (6.124). Тогда
N
2 - ZAWi
|
1=1 |
|
AJl =- |
= 2 • W1
|
Ан |
" Ан :
где Wl — суммарная площадь прямоугольников на рис. 6.52в.
Остается найти J для треугольной эпюры 2. Работа внутренних сил W2 определяется площадью этого треугольника:
Mp 'А(Р2 _ стт • (h -1)2 • t Аф2
W2 =
2 4 2
|
AJ _ W AJ _~~dT |
Согласно формуле (6.123), добавка к J-интегралу от этой части:
стт • 2 • (h - l) Аф2 _ 2 • W2
Ан
Формула аналогична предыдущей. Следовательно, независимо от формы кривой нагружения J-интеграл для изгибных образцов с трещиной может вычисляться по формуле
|
|
(6.126)
где Wc — площадь под экспериментальной кривой нагружения образца до точки, в которой инициировано движение трещины. Кроме того, из записанной на испытательной машине диаграммы нужно исключить деформации, связанные с перемещениями деталей самой машины.
Методы экспериментального определения характеристик тре - щиностойкости стали KIc, Ъс и Jc на образцах различной формы с трещиной детально описаны в ГОСТ 25.506-85 «Методы механических испытаний металлов. Определение характеристик трещино - стойкости (вязкости разрушения) при статическом нагружении».
