ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Рис. 2.4

Схема действия напряжений на малый элемент материала

На рис. 2.4 показан малый элемент материала с размерами dx, dy, dz. Черными стрелками показаны направления действия напряжений на видимых его сто­ронах, контурными стрелками — на невидимых сторонах.

Уравнения равновесия этого элемента имеют вид:

X Х = [_CTxx + (°xx + dOxx )]dydz + [-CTyx + (CTyx + dayx )]dxdz +

+ [-Ozx + (Ozx + dOzx )]dxdy — 0;

X Mz — —[(Oyx +dOyx )dxdz]dy + [(Oxy +d<Jxy )dydz]dx = 0. Аналогично можно записать уравнения равновесия

X Y - 0; X Z = 0; £ Мх = 0 и £ My = 0.

После деления всех уравнений на dxdydz получаются 6 следую­щих уравнений равновесия, которым должны удовлетворять поля напряжений в любой точке неподвижной детали или конструкции:

8ax

8x

4) axy = ayxi

5) ayz = azy;

6) azx ~ axz.

Последние три уравнения показывают, что от перемены мест индексов напряжения не меняются. Поэтому тензор напряжений (2.13) называют антисимметричным. Его нижняя правая часть является зеркальным отражением верхней левой части относи­тельно диагонали с нормальными напряжениями.

8z

8azz

8z

8ax

8x

8а

(2.24)

yx

1)

■ = 0;

8y

8а

8z

8a

yy

yz

2)

= 0;

8x

8<Jzx

8y

8azy

3)

= 0;

8y