Основные публикации по солнечной энергии

Модели систем

Модели систем составлены из соответствующих моделей компо­нентов. Конечный результат такого объединения состоит в выводе ли­бо системы обыкновенных дифференциальных уравнений, либо систе­мы алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих в качестве независимой переменной время. Эти уравнения включают а себя метеоданные в виде временных функций, определя­ющих работу коллектора и характер нагрузки в зависимости от кон­кретного случая. Эти уравнения можно алгебраически комбинировать или отыскивать решение системы уравнений без формального комби­нирования. Каждая процедура имеет свои преимущества при модели­ровании солнечных процессов. Если все уравнения линейны (и с прак­тической точки зрения их не слишком много), то решения алгебраи­ческих уравнений можно подставить в дифференциальные уравнения и решать последние стандартными методами [5]. Если же алгебраи­ческие уравнения нелинейны или многие из них связаны между собой и трудно разрешимы, то целесообразно разделить их и решать систе­му комбинированных алгебраических и дифференциальных уравнений.

Рассмотрим в качестве примера простую систему, описываемую только дифференциальными уравнениями. Она представляет собой солнечный водонагреватель с аккумулирующим элементом без стра­тификации и нагрузкой, отбирающей воду с постоянным расходом и возвращающей ее от источника постоянной температуры обратно в бак. Уравнения коллектора и бака-аккумулятора можно объединить в одно уравнение

dTs

= Ws - fM7; - г0)]-

- - Гкомн) - {mCp)L (Ts - Tur). (10.2.1)

Как только будут конкретизированы параметры коллектора, а также размер аккумулятора, коэффициент потерь, величина нагрузки и ме­теорологические данные, можно будет рассчитать температуру бака - аккумулятора в функции времени. Тогда путем интегрирования можно определить полезную энергию коллектора, потери в аккумуляторе и энергию, передаваемую потребителю за рассматриваемый промежу­ток времени.

Существуют различные методы интегрирования уравнений типа (10.2.1). В рассматриваемом ниже примере используется простой ме­тод Эйлера, примененный ранее в примере 9.3.1. При использовании наиболее общих методов интегрирования необходимо следить за устой­чивостью и точностью процедуры расчета для выбранного шага вре­мени. Однако в большинстве цифровых вычислительных машин устой­чивость и точность численного решения систем дифференциальных уравнений обеспечивается автоматически.

Пример 10.2.1. Определение производительности (полезной энергии) коллектора в примере 7.10.1 проводилось при условии поддержания постоянной температуры 60°С на входе в коллектор. Пусть коллектор площадью 2 м2 связан с баком-аккумулятором, содержащим 100 кг воды при начальной температуре 60° С. Теп­ловые потери с поверхности бака, размещенного в помещении с температурой 25°С, составляют 3 кДж/ч • °С. Пусть расход воды со* ставляет 5 кг/ч, причем бак наполняется водопроводной водой с температурой 15°С. Требуется рассчитать производительность системы в период от 7.00 до 18.00, используя метеоданные и ха­рактеристики коллектора из примера 7.10.1.

Решете. Используя метод Эйлера, представим производную dTs/di а виде (TSi конечн - Ts нач)/Дт и выразим изменение тем­пературы аккумулятора через Известные величины

Т*. конечн ” Т., нач e, r ^Ас *R ^ ” VL^S нач — Та И ”

<mCp)s

— WA)s(TSt нач — ^комн) —

нач-^гН*

Для удобства мы запишем это выражение в виде Дт

TS, конечн — Ts, нач “ “ ^потери ~ ®нагрузка^ *

p's

В данном случае шаг разбиения времени в один час гаран­тирует устойчивость решения.

При подстановке значений параметров (в кДж) в предыдущее уравнение получаем решение для каждого, шага

TS, конечн “ TS, нач + 100 “ 4 19 f 2 х 0,824[s - -8хЗ,6(Т5іНач-Г0)]-3(Т5іНач-25)- -5х 4,19(Г5>нач-15)1.

Результаты решения по шагам сведены в табл. 10.2.1.

Конечная температура равна 55,9°С. Изменение анутренней энергии составляет 100 х 4, 19 х (55,9 - 60) = -1719 кДж, что почти равно 2Q (как это и должно быть при правильном расчете)

Суточный к. п.д. коллектора составляет 10250/(2 х 16960) =

= 0,30, что заметно ниже максимального часового к. п.д., равно­го 0,50.

В этом примере нагрузка была задана в виде постоянного расхода независимо от температуры воды. При изменении рас­хода а зависимости от времени изменение температуры во време­ни могло бы иметь совершенно другой характер.

Данный пример достаточно прост. Поэтому расчеты, проведенные ручным способом, позволяют смоделировать реальный процесс про­должительностью в несколько часов. Большинство же задач модели­рования процессов в солнечных установках не так просты. При этом, как правило, рассматриваются не столь малые* промежутки времени. Обычно для получения решений приходится прибегать к помощи циф­ровых ЭВМ.

Поскольку большинство задач моделирования работы солнечных установок содержит в основном одинаковые модели компонентов и от­личаются друг от друга лишь значениями конструктивных параметров то представляется целесообразным создать общий метод моделирования.

Клейн и др. из Висконсинского университета [7] разработали про­грамму расчета нестационарных систем солнечных установок TRNSYS сводящую к минимуму трудности программироаания. Для всех элемен­тов оборудования, которые могут потребоваться а реальном экспери­менте, составлены соответствующие подпрограммы. При составлении программы требуется лишь указать, как связать между собой

нач - температура бака-аккумулятора в начале каждого ча­са; она Ьпределяется путем добавления значений дТ в последнем столб­це к температуре бака на предыдущем шаге; Та — температура окру­жающего воздуха; S - поглощенная за часовой период солнечная ра­диация (из примера 7.10.1); Qu - полезная энергия коллектора; ц — к. п.д. за данный час; (2П0Тери “ потери аккумулятора; QL - нагруз­ка; 2Q - Qu - Qn0TepM - Ql; ДТ - изменение температуры за часо­вой период.

различные компоненты (с помощью труб или проводов), а также основ­ные кон груктивные параметры каждого компонента. Программа да­ет необходимое совместное решение алгебраических и дифференци­альных уравнений.

Алгоритм интегрирования, выбранный для TRNSYS, представля­ет собой модифицированный метод Эйлера. Эго по существу алгоритм

с определением поправок первого порядка, использующий метод Эй­лера для нахождения шага и правило трапеции для его коррекции.

Преимущество применения такого алгоритма при решении систе­мы алгебраических и дифференциальных уравнений состоит в том, что итерационные расчеты на одном шаге разбиения производятся при постоянном значении времени (в отличие от алгоритмов Рунге— Кутта). В результате решения алгебраических уравнений сходятся при последовательной подстановке по мере увеличения числа итера­ций, необходимых для решения дифференциальных уравнений. Схема расчетов может быть описана следующим образом.

Значения зависимых переменных Т** в момент времени т опреде­ляются по значениям этих переменных и их производных (dT/d-r)0 в предыдущий момент времени

(10.2.2)

где Тр — предсказываемые значения всех зависимых переменных в момент времени т (заметим, что расчеты на этом этапе в точности соответствуют расчетам по методу, использованному для интегри­рования в примере 10.2.1); TQ — значение зависимых переменных в момент времени (т — Дт); Дт — шаг разбиения интервала времени, при котором должны быть получены решения уравнений модели сис­темы; (dT/di)Q — значение производаой зависимой переменной в мо­мент времени (т — Дт).

Затем по вычисленным значениям зависимых переменных ^опре­деляются скорректированные значения Тс путем вычисления их произ- водаых {dr/di) в функции т, Тр и решений алгебраических уравнений модели.

dT

= / (т, Тр, алгебраические решения). (10.2.3)

dv

Для получения скорректированных значений зависимых перемен­ных Тс применяется правило трапеции:

Если выполняется неравенство 2(7*- Тр)

> е, (10.2.5)

(7*+ Тр)

где е — допустимая погрешность, то Тр полагается равным Тс и урав­нения (10.2.3) и (10.2.4) используются повторно. Когда допустимая погрешность достигается, процесс решения для данного шага по вре­мени заканчивается и весь процесс повторяется для следующего шага.

Для иллюстрации применения общей программы TRNSYS при мо­делировании работы солнечной энергетической системы и полученных при моделировании результатов рассмотрим установку, схематичес­ки показанную на фиг. 10.2.1.

Пример 10.2.2. Дневное потребление 3000 кг горячей воды при минимальной температуре 60°С равномерно распределено во времени между 7.00 и 21.00 ч. Зга нагрузка в значительной ме­ре должна быть обеспечена за счет системы солнечных коллек­торов с общей эффективной площадью 65 м2. Коллектор с двумя прозрачными покрытиями имеет следующие характеристики: наклон « = 40° (к югу);

UL = 14,4 кДж /(м2 • ч • град) или 4 Вт/(м2 • град);

(та)е = 0,77;

F1 = 0,95.

Расход воды через коллектор тс - 3250 кг/ч.

Бак имеет следующие характеристики: объем 3,9 м3-;

отношение высоты к диаметру 3;

Сводка результатов для примера 10.2.2.

(Все данные являются интегральными значеннями энергии, выраженными в 10* кДж)

Продолжение табл. 10.2.2

коэффициент потерь VL - 1,44 кДж/(м • ч • град); температура окружающей среды 21°С; температура поступающей в бак воды 15°С.

При падении температуры воды на выходе из бака ниже 60°С включается вспомогательный нагреватель, который будет догревать воду, поступающую из аккумулирующего бака, до 60°С. Е! сли Tg превышает 60°С, то более горячая вода попадает в сис­тему потребления, которая характеризуется постоянным коли­чеством горячей воды.

Система должна работать в г. Боулдер, шт. Колорадо,

40° с. ш., в течение одной недели в январе. Изменения прихода солнечной радиации и температуры окружающей среды приведе­ны на фиг. 10.2.2 в соответствии с данными табл. 3.3.3. Полагая, что начальная температура в баке в начале недели равна

Фиг. 10.2.2. Температура воздуха и плотность потока радиации на горизонтальной поверхности (к примеру 10.2.2).

60°С, определим долю нагрузки, обеспечиваемую за счет сол­нечной энергии.

Решение этой задачи было получено с помощью TRNSYS. Ре­зультаты расчета сведены в табл. 10.2.2.

Представлены два решения: одно для бака-аккумулятора без стра­тификации другое — для трехсекционного бака-аккумулятора. Так как по условию нагрузка характеризуется постоянным количеством воды при температуре до 60°С, то суммарные нагрузки для рассмат­риваемых двух случаев различаются незначительно. Для обеих сис­тем минимальная суммарная нагрузка, равная 3,96 • 10б кДж, несколь­ко превышается. Доля нагрузки, обеспечиваемая за счет солнечной энергии, составляет

2,74

в первом случае: ----------- = 68%;

4,04

3,03

во втором случае: ---------- 74%.

4,10

Эти данные наряду с результатами, полученными для систем со значительно большими коллектором и аккумулятором при такой же нагрузке и тех же метеоданных, упоминаются в разд. 11.9.