Механика трубопроводов и шлангов
Приближенные методы определения частот колебаний шланга
Изложенный в § 32 метод точного численного определения частот колебаний шланга, заполненного ■стационарным потоком жидкости, связан с большим объемом вычислительных работ, поэтому не всегда может быть реализован. Рассмотрим приближенный метод решения уравнений малых колебаний шланга. Систему линейных уравнений (30.25) — (30.26) можно представить в векторной форме записи (при ао=Лд=0):
!,(«, АО)=-^-+С0АО=0; (33.1)
£»(Й. (33.2)
ДгР двдг де
|
2оіі»0 |
0 |
° 1 |
|
|
СМ = |
0 |
2га, щ/0 |
° |
|
0 |
0 |
2/гігиоІі |
Предварительно определяются формы колебаний шланга с покоящейся жидкостью (точный численный метод определения частот и форм колебаний абсолютно гибкого стержня изложен в § 25). Шланг с покоящейся жидкостью ничем не отличается от абсолютно гибкого стержня. Определив собственные функции «рУ* и ищем решение системы (33.1) — (33.2) в виде
|
ЇІ1’ |
Мч |
|||
|
Где ї(,)= |
Ї20 |
=№° |
||
|
4" |
Їв0 |
ШО |
/а(1), /ч(2) — неизвестные фуНКЦИИ вреМеНИ.
Возможные вариации неизвестных величин берем в виде
*(в)=2ЬА1?',: 8(йё)=28В, ф(0. (33,6)
Подставив (33.6) в исходные уравнения (33.1), (33.2) и воспользовавшись методом Б. Г. Галеркина, получим систему уравнений
I (12(й, &ф? к>)ае = 0 (А= 1, 2.............................................................. и); (33.7)
[(Ь (а, Д0<Г>)Л-1 (*=1,2....................................................... п). (33.8)
Б
В развернутой форме записи [из (33.7) и (33.8)] получаем
Ьп/[" +.-+ Г! п,Л') + ьп/[1) +... + ЬЫЛ" -
- с['4"/„"=0-, (33.9)
— СЙ’Л11 — •• - с™/» > = 0; в1!)/1,)+..+^>Л1)+“1?Л2)+..+о^/*>=0; (33,10)
Вй*/11Ч..+вЯ.,Л1,+«Я/?,+-+вЭ/?,=о
Я7(1)+в7<11 — С<1)/(2)=0; (33.11)
Да)/'»-)-Л<2>/12>=0. (33.12)
Система дифференциальных уравнений (33.9) содержит 2п неизвестных и {РК Система уравнений (33.10) является алгебраической и позволяет выразить, например, /<2> через /(1Э н тем
Самым исключить из системы (33.9). В результате получаем
Систему уравнений вида
Где
С=СЮ {А™)~1 Л{1). (33.14)
Полагая
С! е1||/УХ*4 В- С\ =0.
Колеблющийся ипанг при стационарном потоке несжимаемой жидкости является консервативной системой. При неподвижном закреплении концов шланга энергия втекающей жидкости в единицу времени н вытекающей остается величиной постоянной и равной /я2<&о2/2, поэтому корни уравнения (33.16) должны быть чисто мнимыми (по аналогии с прямолинейным шлангом), что следует иметь в виду при решении уравнения (33.16).
