Механика трубопроводов и шлангов

Колебания трубопроводов, осевая линия ко­торых в состоянии равновесия есть плоская кри­вая

Уравнения колебаний относительно плоскости Рассмотрим частный слу­чаи трубопроводов, осевая лшшя которых есть плоская кривая (как в естест - г. енном состоянии, так и при статическом нагружении). В этом случае век­торы, характеризующие начальное напряженно-деформнропанное состояние стержня

*•0 — ’'-ЗО^ЗО* А10 = И30е3о, Оо =• С? Юе10 -Ь С?20е20*

TOC o "1-5" h z <Юм л 0и.

^ + &у-'$20 + а0 ^ " + у-30^@2 =

Д^ + ДУъ (41.1)

П1~м+ 2/11 М0) + и,!0,т)) 77 “ ~ + 00 “^Г +

+ Д<?2 Дм; (И. З)

^-—^2-0; (41.4)

ОиI

^ 1 Ь *зом1 = (41.5)

Д*з = . (41.6)

Для круглого участка трубопровода (рис. 41.2) систему уравнений (41 1)—(416) (при П2=) можно свести к одному уравнению относитечьно 1:2. удобному для приближенные методов решения [69, 72],

- 2И| (дап + Шг)

I д^ио ч даг (32

~ Ц" -<?«)<

[©»4^)|

Уравнение (41.7) справедливо для трубки постоянного сечения. В уравне­ние (41.7) входят Ою и С?2о, зависящие от стационарных составляющих потока жидкости, которые определяются из уравнений равнопесия с учетом силы тя­жести трубки,

Мо'

—— — *эо<?20 = — VI “5?: (41.8)

"Ой’

' + *8оОЙ — »л>У1— (Ро + 'ЧИ’о)'^— ^10*30 — ¥18ШТ. (41.9)

Статическая распределенная нагрузка, вызванная потоком <720, содержит два слагаемых*

(Л) + «1“^) «ап « Рш*зо. (41.10)

Первое слагаемое зависит от скорости движения жидкости иу0 и давле­ния в жидкости ро (от давления ро зависит безразмерная сила Ро), второе слагаемое РюЩо зависит о г внешнего давления (давления среды, куда выте­кает жидкость). Если рассмотреть равновесие элемента криволинейной трубки, на внешнюю поверхность которой действует давление рю, то можно получить следующее значение для распределенной силы д-ю, вызванной внешним давле­нием, 920=, где /4 — площадь сечения трубки как сплошной.

Переходя к безразмерной форме, получим

Г. рц/У15 ( РюРI12

10X30 Л33 ф)Я “V А33 (0) ) /-30‘

Напомним, что безразмерное слагаемое связано с давлением в трубке условием

- Р0у-30 = —7-30, (41.12)

Лзз (0)

Где ро — давление в трубке; Р—площадь отверстия в трубке. При решении уравнений равновесия следует иметь в виду, что к торцу трубки (при е=1) приложена сосредоточенная сила, направленная по касательной и равная

$=-(/Ч-Ом (41.13)

В безразмерной форме

~~(рт — ри) (ро “ РоП. (41.14)

Т. е. осевое усилие в стержне фю(1> При Е=1

0Й’0)= -(.Рю-Ро). (41.15)

Если СИЛОЙ тяжести ЖИДКОСТИ И трубки МОЖНО пренебречь, ТО у 1—0, Ро=сопб1=Рю. Если силу тяжести жидкости и трубки учитывать, то Ро есть функция е, удовлетворяющая условию

В первом случае безразмерные силы Р0 и Рю постоянны, а во втором случае Ло постоянно, а Рг гавпеит от е. Для рассматриваемого случая (см. рис. 41.2) имеем

Pli рс o — y-smv, (41.17)

Где '2 — безразмерная сила тяжести жидкости (у2=m^gPfA»3 (0) ). Р00 — без­размерная ста, зависящая от давления на входе.

Независимые переменные е и ф связаны соотношением

(41-18)

Поэтому получаем следующую систему уравнений:

Ql0 —_ —Ylc<,s/'30’Ј> (И. 19)

Q20 ^+7-3f>Q2Ci) -'О - Р ~«i^o)v-30—sin v-20-e (Yi + Yi)- (41.20)

Исключая из равнения (41 20) Qjo*» получаем уравнение

Q& - h У-ШР = —У2У-30 cos хзп-е, (41.21)

Решение которого имеет вид

СЙ1 = Cl COS 'ЗОЕ 4- С2 81П V. ЗГ(£ — Y2 J Sin (£ — *0 COS *30*1rfejо (41.11) <ДО — sin %30e — с2 cos 7.30e 4 (P00 — Pi0 4- Щ^о) — (Yi 4- Y2) s*n '/-зо£ 4-

+ Y2 J y-i0 (e - 4) cos v.3oeirfEl. (41.23)

Произвольные постоянные сi н eg определяем из условий: при <p=q>o

(«', — (foo/Kso)

Qя = °, Qi’ - IPlo-PoW. (41.24)

Где

РоЫ =Pno-~sinџc. (41.25)

У-зо

Рассмогрим в качестве примера задачу определения собственных значений при малых колебаниях круговой трубки постоянного сечения в плоскости чер­тежа для частного случая. ’i=Y2=0, ф0=-^-. В данном случае надо в урав­нениях (41.1)—(413) полагать kji=Qh=зо — Ду*=ЛРз=0, т. е. рассмотреть систему уравнений

(ІЛЛЬ

(И.29)

І-і^ии2) = — — *аі№ =0;

І5 (“і.¥) = ~^Г + *зоиі = ї •

Поэтому значения <210 и ф->о, входящие в уравнения (41.26) й (41.27), равны

<?ю = о!?— (ра + «і™2) = — (р10 + Яі®05іп “'-ЗСЄ); (11.34)

@20 — '

Для приближенного решения методом, изложенным в § 39. полагаем

Тй’/і4 + їИ’/і2’; (41-36)

Д. Ча = УЇМ4 + їІ’/Р’ї = 4М4 + ЇІ’/Р; (41-37)

(41--8)

Г те —функции, удовлетворяющие всем краевым условиям задачи.

В качестве функций можно, как это неоднократно делалось в пре­

Дыдущих разделах, взять собственные формы колебаний трубопровода, полу­ченные численно (например, методом начальных параметров). Ниже изложен •метод определения функции ф*, в виде степенных рядов, удобных при реше­нии, когда требуется приближенное решение представить в аналитической форме. Аналитическую форму записи функций для которых известны

Только численные значения в ряде дискретных точек, можно получить ис­пользуя метод сплайн функций [2].

Получим предварительно все необходимые уравнения, подставив (41.36)— (41.38) в систему (41.26)—(41.31), исключив ДМ3. В соответствии с принци­пом возможных перемещений получаем уравнения

ГМ?+**№)*-». Г(іі?‘?+і2?‘І))'гЕ = 0; (41.39)

'о о

І І

I (ізїй’) * = о, І (і3?<5>) Л = 0; (41.40)

(41.41)

Из системы (41.39) получаем два дифференциальных уравнения, которые можно представить в виде

И/ 4 + В^/ з + С(1)/1 -1- С<2>/3 =0. (41.42)

Из системы (41.40)—(41.41) получаем два векторных алгебраических урав­нения.

£/і + £<1)7і = П, Д/4 + 0<1>7з= 0. (41.43)

Элементы матриц Я. В(|), О1-’, С{2», С, £*'>, О и £КЧ даны в приложении №10 _

Из системы (41.43) определяем и в зависимости от /4 и исключаем их из уравнения (41.42), в результате получаем два уравнения с двумя не­известными. и /4(2) (переходя к скалярной форме записи):

*н Д" + *вЛ2) - г *иЛч + »иД2) - г «пЛ1’ + с!2/42> - 0; (11 •«)

АяЛ" + *22/?' + »иД1’ + Ш?' + «21 Л1’ + %Л2) = °. <41 -45)

Где Ь[] и С[] — элементы матриц; В = —(О^1*) 10;

С = С(1) (£(1))-1 Е (£>(1))-1 О — С(2>(0(1))-10.

Ряд коэффициентов системы (41.44)—(41.45) содержит множителем па­раметры потока Шо, Ро и Рю, например { и Сц.

Характеристическое уравнение системы (41.44)—(41.45) дает возмож­ность получить два комплексных собственных значения задачи в зависимости от парамегров потока. Прежде чем привести окончательный результат, изло­жим метод определения функций фг(1<) в виде степенных рядов, который ис­пользовался при решении данной задачи.

Рассмотрим систему уравнений свободных колебаний кругового трубо­провода при и>а=Рп=Рю=ао=0. которая имеет вид

А Фю + Р2й10 — *30^ £*20 = 0; (41.46)

Д(?20 + Р2"20 + *30Д<?10 = 0; (41.47)

Д м'ъ0 + Д(?20 = « (41.48)

<Рс-ДМ30=0; (41.49)

Численным решением системы (41.46) — (41.51), например методом началь­ных параметров находим частоты р], (Зг, ... Для рассматриваемого частного случая (при фо=я;/2) первые две частоты: $1=3,648; Рг= 17,825.

Задаемся для функции ию степенным рядом с минимально необходимым числом слагаемых (зависящим от порядка системы):

«10 = Щ + 2 апг". (41.52)

Из уравнении системы (41.46)—(41.51) получаем выражения для всех не­известных в зависимости от и10. Так как при е=0 ^ю=^20=<р0=0, то это при­водит к о0=£г1=С2=0, т. е

“10* = 03£3 + о5£5 4- о6еб. (41.53)

Внутренние силовые факторы Дфю» Лфго и Д. М30 можно выразить через

М.—+

0=='^Д Л1 + *30 л )■

При е=1 должны выполняться условия

А<гюО) = Л<?2и(1) = 4^эо(1) =0, (41.57)

Поэтому выражения (41.54)—(41.56) при е=1 дают три уравнения с четырь­мя неизвестными: аз, Щ, о5 и Об. Полагая о6=1, а (3=^1, находим Сз, и Од и тем самым получаем приближенное значение всех неизвестных функций, со­ответствующих Рх: Д0Й> = ?11>» д^о)=г?12>» — ¥2р и т - Д*

Систему функций, соответствующие приближенно второй форме свобод­ных колебаний, найдем, взяв число слагаемых ряда для ы10~ на единицу больше:

<42) = аЗеіі + а4е4 + й5е5 + + О7Е7. (4 ] .58)

Полагая в (41.54) р=р2 и а7= 1 из условий (41.57), находим а3, а4 и а&

В зависимости от нензвестного параметра о6- Для определения коэффициента

А6 требуем, чтобы вектор и[^ был ортогонален вектору. т. е, чтобы вы­полнялось условие

(“іо)“іо> + “Й* “й1) л ■ ’ о. (И -59)

О

В результате получаем приближенное значение всех неизвестных, соот - Бетствуюіщіх второй частоте р2,

ЗДІ02)=ТІї’. т. л.

Определив функции 9^ , находим значения интегралов, входящих в ко­эффициенты іііз, Ьі и Сі} системы уравнений (41.42)—(41.43), а затем корни характеристического уравнения.

[1] _ J_ ,______ L_ pi — ^ст (л оел

D Т?1 5 СТ “ о*. * (4.25)

В систему уравнений (4.23) и (4.24) входит нестационар­ное касательное напряжение т0 н на стенке трубопровода, ко­

[4] - 1777

[5]10