Механика трубопроводов и шлангов

Частные случаи параметрических колебаний шлангов, заполненных идеальной жидкостью

Свободные параметрические колебания прямолинейных шлан­гов. Рассмотрим наиболее простой случай параметрических коле­баний шлангов, когда шланг имеет прямолинейную форму. Для большей физической наглядности рассмотрим уравнение пара­метрических колебаний в размерной форме. Уравнение парамет­рических колебаний прямолинейного шланга, заполненного иде­альной жидкостью (/п=0), является частньщ случаем уравне­ний (35.19) — (35.20). В размерной форме записи уравнение сво­бодных параметрических колебаний шланга имеет вид. д^и.. 9

(mi + т*) + 2 {w0+wx) — IQio - PqF — m2w0 — ptF—

— m2 (i2w(jw1-f - ®?)I -|-«o,} - = 0. (36.1)

В безразмерной форме уравнение (3.61) имеет вид

<?2М,- д2их 2

-|- 2пг (Щ + W,) 1<3ю — — «1+щ>01 X

№иг ди,.

X “Ь w0 — = 0, (36.21

De2 1 0 dr к '

Где Qio=Qii)--/3o — /zi®o - (36.3)

Ограничимся случаем, когда пульсирующие составляющие потока жидкости имеют вид (35.16) — (35.17).

Подставив в уравнение (36.2) выражения для Pi и Wi

(35.16) — (35.17), получим следующее уравнение: д2их ди

_i - + 2«>K+<% sin «зit) йГ+Ч.-й'—

— IQio— Рюо (1 — е) cos п-6% — пх sin nzx - j-

9 &Ur

-f-Wio sin2/^)] --- =0. (36.4)

В соответствии с изложенным в § 35 методом приближенного решения положим (ограничившись двухчленным приближением)

Ил-я=/х (т) sin ле - f-/2 (т) sin 2лє. (36.5)

Для функции /і и $2 получаем следующие уравнения:

/,+«іі/і+«12/2 bufi + *12/2=0; (36.6)

/2 + «2і/і + Й22/2 + ^і/і + ^2/2=0; (36.7)

Где

А12= —а2і=“" (™b+®w sin лз*)ї

Й 11 = ^22 == Ц)»

6,1=[Q10 — /J10D cos и3т — п! (2®,^! + ®?) - г Я, 00 cos n3tVi];

Ft,2= 4л2Я1(иcosя3ту2; Vi=j'E sinsпе</е=-І-; (36.8)

1B-j.

І sin 2яє-^е = —-

621 = n2P1(t(?COS fl3XУ2,

Й= 4л2 [Qit, — Я100 cos й3т — nx (2w0wx-fw?) + Я100 cos «3tv31 ; 1

Уч= в sin2 2лесіє=—.

Ограничившись главной областью параметрического резонан­са, полагаем (первое приближение)

F і =а* sin cos —х,

У1 і 2 1 2

(36.91

/2=(22 sill-y-T-J-^COS

Подставив (36.9) в систему уравнении (36.6—36.7) после пре­образований получим однородную систему алгебраических урав­нений:

Cnai--cl2b1--clji2-]-CiAb2=Q

C2la 1 УС22^-~ С23а2 ~Ь ^24^2

(36.10)

Сзіаг і ^"зэ®2 С, ир2:= 0;

С41а1 +^42^1 - ht43tt2'f-^41^2 = 0.

Коэффициенты с*3- даны в приложении 8.

Приравняв определитель системы (36.9) нулю, получим уравнение, связывающее а»ю и п3, где и я3 — координаты точек границы области устой­чивости. Частный случай урав­нения (36 4) рассмотрен в ра­боте [68].

Рассмотрим пример со следующи­ми числовыми значениями размерных величин, входящих в безразмерные параметры исходного уравнения ма­

Рис. 36.1

Лых колебаний (36.4): 4 м, £>==0,1 м; 6=3 10-3 м; пц=5 кг/м. т2=

=7,5 кг/м; С? ю(,)=1»5 10а Н. Шо-Ь м/с; ,Р==75 • 10~4 м2; р0== 1,2 10г' Н/м; 1010=1,5; 3 м/с.

Безразмерные параметры (при <3ю=<2ю(|)—Ро—л^о2) равны «1=0.6; 1^о=0,90; <3,0=0,66; «0=10-'; Я0=1,8; ш10=0,24; ш|О=0,48.

Если определитель системы (36.9) развернуть, то получим алгебраиче­ское уравнение восьмого порядка относительно п3. Для каждого фиксирован­ного аУ|о получаем (численным счетом) четыре действительных корня и два комплексно сопряженных Действительные корни соответствуют границам об­ластей неустойчивости [двум областям, так как взято двучленное приближе­ние (36.6), что соответствует представлению шланга как системы с двумя степенями свободы]. После вычислении получаем области неустойчивости (рис. 36.1), соответствующие главным параметрическим резонансам для пер­вой и второй форм колебаний. Если учесть диссипативные силы, имеющие мес­то в реальных системах, то области неустойчивости уменьшаются и опасные колебания становятся возможными только при более высоких значениях амп­литуд переменных составляющих потока

На рис. 361 показана область (с двойной штриховкой) при учете сил вязкого трения с безразмерным коэффициентом а0= 10_|.

Параметрические колебания шланга относительно вертикаль­ной плоскости. Уравнения малых параметрических свободных ко­лебаний шланга относительно вертикальной плоскости получим как частный случай системы (35.19) — (35.20):

+ [р,+щ +®?)1 -5Г=°: (36'11}

<Зю=С}И’ - Р0- щт-МР. (36.12)

(36.12)

Основное отличие уравнения (36.11) от уравнения парамет­рических колебаний прямолинейного шланга заключается в том, что в (36.11) статическое натяжение @ю(,) переменно по длине шланга. Для шлангов, нагруженных только силами тяжести, на­тяжение (см. § 9)

Тде Сі и Сз' — произвольные постоянные, определяемые из усло­вия закрепления шланга.

Воспользовавшись методом Б. Г. Галеркина, ищем решение уравнения (36.11) в виде

(36-14)

Где — собственные функции свободных колебаний шланга относительно вертикальной плоскости, метод определения кото­рых изложен в § 32. Собственные функции Фз<'> удовлетворяют условию ортогональности:

U'»<f! K)*=0. (36.15)

О

Подставив (36.14) в уравнение (36.11), получаем систему неод­нородных уравнений:

З (/= 1, 2,..., п (36.16)

О

Шли

Лц/х + Ьц/i - f... - J - biп/п + Сц/l + • - + clnfn— О, (36.17)

Hnnfn+ЬщА +... + Ы+Cmfi + - ■+ Cnnfn=0;

Где

Bij=2nl(w0--w1) (* - J - а0Вгі - j* <$il)de;

Cij={2w0W1--Wi) ^ срз(/)<Рзl)de-- ^ ^X

0 0 0

Х(4оЛ'^. (36Л8)

Ограничившись двучленным приближением, получаем сис­

Тему уравнений:

Huf 1 bnf I - f - ^12/2 "Г Cnf 1 + Й2/2 = ^Ї (36.19)

^22/2 ~~ ^2і/г “Ь ^22/2"Ь ^21/1 “Ь ^22/2=О, где ^ 1

£п = 2/ij (и/оН-^і) f џ3(1,%l>^e - fa0 j

621 = 2и, (Я)0 + i«,) j 'Vf Л22 = 1<?32)?з2,Л;

K + a-J I <й%«»Л + afJ | -42>-fS2te;

%=JlQu?3(,,-№1(№(1Vlrf, Ve; C12= J IQnf3 —

C22 = j lVu'ft,* > — (Ql(ffa ^'Ifs^de,

[I — nlnlwvi(l— s) COS«3t+«, (2®УЩ110 sin n3t-|~OTi0 5in2/l3t).

(36.20)

В качестве примера рассмотрим паоагет рическис колебания шланга, для которого в § 32 определялись частоты и формы при Р и wu соотпетствующпм (3516) и (35.17). Глав­ные области параметрического резонанса для К||=9,Л 0.1 (при а.'0=0,6) приведены на

Рис 36.2.

Параметрические колебания шлан­га в вертикальной плоскости. При ис-

Пз следовании параметрических колеба­ний шлангов в вертикальной плоскости
можно использовав к г. к уравнения малых колебаний в непо­движных осях (30.20) - (30.21), так и уравнения в связанных осях (30 30) — (30 32). В неподвижных осях имеем четыре урав­нения [частный случай системы (35.19) — (35.20)]:

И. д2 и с)их д~их дх

^+2»1(«»+«4) «г+^-гг+^-лТ—зг=-

(36.21)

Qio

Диг

Qiq 1 Qm Воспользуемся методом Б. Г. Галеркина, полагая

«ж, - ч44/!1}+А1 вл=й1}/11}+й2)Ж

Д&-,=^(,1)/i2) - f Й9)7f >; AQjc2=ч4Х)у1а)4- (36.23)

Где <?!J) и — собственные функции свободных колебаний шланга (с покоящейся жидкостью) в вертикальной плоскости. Подставив (36.23) в систему уравнений (36.21) — (36.22), после преобразования получим систему уравнений

/y7ci)-|-Јf7(1)+C(1Vr<1)”“C(2Ve<a)==K (36.24)

Л<1)/и)-{-Л<2>7<2>=0. (36.25)

Элементы матриц И, В, С(2 А<-1) и Л(2> и компоненты век­тора Ъ даны в приложении 9. Исключая из уравнения (36.24)

Вектор/(2) [используя уравнения (36.21)], окончательно получаем

/ijiu _|_ £?7(1) + С7(1) — ^ (36.26)

Матрицы В и С можно представить в виде

Sin ад (36.27)

C=C(°>-{-C(1)bsin nst -J-C<2> cos /z3?-f C<3> cos 2я3*. (36.28)

Для определения границ главной области параметрического резонанса полагаем

/<1)=Л sin—-t-f-^coS'y-t. (36.29)

Подставив /0) в уравнение (36.26), после преобразований по­лучи м_систему двух уравнений для определения А и В (векторы А и В имеют по две компоненты):

|с<°>—н —i - с<2>+ в<‘> J л + Yj со> — вт 77=0;

(36.30)

I"----- L с<2) -1_ В(0) А + |с<°> - Н С(2) _

—Д=(1.

Приравняв определитель системы (36.30) нулю, получаем главные обла­сти неустойчивости (рис. 36.3) (числовые данные те же, что в предыдущем - примере). “

Области неустойчивости, соответствующие решению с периодом Тг полу­чим, считая

Fm = Ae+A sin/i3T+ficosn3T. (36.31).

После преобразований имеем систему уравнений

С<‘>л, + [с<0> — Нп— уСЮ^Л— Впф 0;

С<*>Яп + В щА + [с<°>- Нп23 + у C<3)J В = 0; (36.32>

С<°«о + ~ С^АЛ(±-С™ -± пф<^В= 0.

Приравняв определитель системы (36.32) нулю, получим границы областей неустойчивости. Области неустойчивости, соответствующие решению с перио­дом Т, приведены на рис. 36.4 при а0=0.

Вынужденные параметрические колебания шланга в верти­кальной плоскости. Компоненты вектора Ъ для рассматриваемо­го случая можно преобразовать к виду (приложение 9) с учетом

(36.20)

Bi = bl) sin път-f - b{P cos /г3т+ rf3) sin2 /гчт, (36.33)

Где

MI}= — 2n1'w0w10 J (-хгїсч»!13 + }) de;

М2,= —я, Пз®ю I(І-еЦхІоїГ+лЬїіїі4)*/.; (36.34)

0 ^

Ms>= — ПгЧЯіо (ХШ?11) + Х20'Р2,)) rfe; б

*2*’= — 2п1®0®'10| (х;о¥12>+^,)) й2)= — «і«з®ю f (1 - =) (а:Їо=?І2>+ЛГ20Ї22’) Л;

Ь^6)=—п^іо f (jCio'fS^+Araffz21)^. б

Полагая

/(1>=Л, + Л sin л3т+^ cos я3т, (36.35)

После преобразований получаем систему неоднородных уравне­ний для определения Л о, А и I?:

С(1)Д,+[С(») - И III —~ C<3>J А - В<°)/г, £= - fc(1); С<2>А0+втп3А f[c(0>~Wn|+-i-C(’)]5=-6(2>. (36.36)

С<°> д, | -І - с<"и (с<2<—й<і)) 27- *о - . - L *(3>.

На рис. 36.5 приведены графики компонент векторов А я В при установившихся параметрических колебаниях в зависимости от безразмерной частоиы ns.