Машины, работающие по циклу Стерлинга

ЦИКЛ ШМИДТА

Классический анализ работы двигателей Стирлинга был предло­жен Шмидтом в 1861 г. В теории предусмотрено гармоническое дви­жение поршней и отдельных узлов машины, но оставлены как основ­ные допущения изотермичность процессов сжатия и расширения и идеальность регенерации. Таким образом, и эта теория идеализи­рованная, но, несомненно, более реалистичная, чем идеальный цикл Стирлинга. Прн разумно осторожном подходе к интерпретации полученных результатов теория Шмидта может быть полезна при расчете двигателей.

Попытки рассмотреть более реальную задачу, модифицировав предположение об изотермичности процессов сжатия и расширения и идеальности регенерации, связаны со значительными трудностями и приводят к решениям в незамкнутой форме, требующим примене­ния цифровых или аналоговых ЭВМ. Подробное рассмотрение дан­ного вопроса выходит за рамки этой книги. Опыты показывают, что отдельные попытки разработок машин в большинстве случаев свя­заны с использованием надежной, относительно простой идеализи­рованной теории с последующей инженерной проработкой изделия в металле. Моделирование и оптимизация конструкций двигателей оправданы только для достаточно развитых исследовательских про­грамм и разработок или в исследованиях, носящих академический характер.

Основные допущения, принятые в цикле Шмидта:

1) регенеративные процессы идеальные;

2) мгновенные значения давлений в системе одинаковые;

3) рабочее тело подчиняется уравнению состояния для идеаль­ного газа pV = RT

4) отсутствуют утечки рабочего тела; масса рабочего тела остается постоянной;

5) изменения объемов газа в рабочих полостях происходят синусоидально;

6) температурный градиент в теплообменниках отсутствует;

7) температуры стенок цилиндра и поршня постоянны;

8) в полостях цилиндра происходит идеальное перемешивание рабочего тела;

9) температура рабочего тела во вспомогательных полостях си­стемы постоянна;

10) частота вращения машины постоянна;

11) условия состояния —установившиеся.

Обозначения, использующиеся в последующем анализех:

А = (т[8] + 2xk cos а + Ј2)Ve;

В = (т + K + 2S);

К — постоянная;

М — общая масса рабочего тела;

N — частота вращения вала машины;

Р — мгновенное давление цикла;

Рмакс — максимальное давление цикла;

Рср — среднее давление цикла;

Рмин — минимальное давление цикла;

Р — полезная мощность двигателя;

Р

Рм =------------ безразмерный параметр мощности, отнесенный

RTQ

К единице массы рабочего тела;

^макс =--------------- безразмерный параметр мощности, отнесен-

РглгксУ Т

Ный к максимальному давлению цикла и к общему вытесняемому объему;

Q — теплота, сообщаемая рабочему телу в полости расширения, подводимая теплота;

QM = —------- безразмерный параметр холодопроизводитель-

RTc

Ности, отнесенный к единице массы рабочего тела;

Фмакс =-------------- безразмерная величина подводимой те-

(ркаксУт)

Плоты, отнесенная к максимальному давлению цикла и к общему вытесняемому объему,

R — газовая постоянная рабочего тела;

S —---------- приведенный мертвый объем;

Т+1

Тс — температура рабочего тела в полости сжатия (обычно при­нимается равной 300 К);

TD — температура рабочего тела в мертвом объеме; ТЕ — температура рабочего тела в полости расширения; Vc — вытесняемый объем полости сжатия; VE — вытесняемый объем полости расширения; VD — общий внутренний объем теплообменников, регенератора, соединительных каналов и отверстий (мертвый объем);

VT = (Vc + VE) = (1 + k) VE — суммарный вытесняемый объем;

Vw = VE (1 + cos Ф) + - L Vc 11 + cos (Ф — a)] + VD — общий

Объем рабочей полости;

Vw Макс — максимальный объем общей рабочей полости; X = VDIVE — относительный мертвый объем; a — угол, на который изменение объема полости расширения опережает изменение объема полости сжатия (в радианах или гра­дусах);

+ + cos a)1/2. (т + £ + 2 5)

0 = arctg ksina ;

T+ K cos A

K = VCIVE — отношение вытесняемых объемов; т = ТС/ТЕ — отношение температур; Ф — угол поворота коленчатого вала.

4-3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Объем полости расширения

^ = (4-1)

Объем полости сжатия

V' = YVcll + cos= тWe 11 + С08(ф~а)1- (4"2>

Мертвый объем, т. е. общий постоянный объем рабочей полости без объемов полостей сжатия и расширения,

VD = XVB. (4-3)

Масса рабочего тела в полости расширения

М - РеУе

RTe

Масса рабочего тела в полости сжатия

Мг- РсУс

RTC

Масса рабочего тела в мертвом объеме

МА- PdVd

RTd

Поскольку общая масса рабочего тела остается в цикле постоян­ной, то

+ + = (4-4)

RTe RTC RTd 2RTC *

Если мгновенные значения давления в системе остаются одина­ковыми и равными р и если Те и Тс постоянны и равны соответствен­но ТЕ и Тс> то, подставляя соответствующие выражения для объе­мов и исключая R, получаем:

4- = Is - (1 f cos Ф) + K [1 + cos (Ф-а)] + Hfe. (4-5)

Н IЕ VETD

Если изменение температуры рабочего тела в мертвом объеме происходит в осевом направлении по линейному закону, то его сред­няя температура равна:

T.-Tc + ±rr.-TJ-(l + %)(*-).

А поскольку ТС/ТЕ = т, то из уравнения (4-5) следует:

= -)-cosФ) —[— yfe£ 1 —[— cos(Ф—й)] 25, (4-6)

Р

Где приведенный мертвый объем 5=2 ~ру ■ Упростим уравнение (4-6), полагая, что

У = х cos Ф + z sin Ф. (4-7)

Тогда # = ]/"г2cos(Ф— Р), где tgЭ = ; z-rsinfl и х =

А= Г COS Р.

Поэтому

У г2cos(Ф—P) = Г2(cosФcosр + sinФsin0) =

= г cos Ф cos Р + г sin Ф sin р = х cos Ф + г sin Ф.

Уравнение (4-7) приводится к виду уравнения (4-6), и поэтому по аналогии

— = [(т ■+ K cos а)2 + (k sin а)2]1/2 cos (Ф—0) + t + Ј + 2S =

Г

= (т2 + 2т£ cos а + б2)[9]'2 cos (Ф—9) + т + k + 2S, (4-8)

Где

Tg0= ks]na

Т & COS ОС

Пусть: Л - (т2 + 2т& cos а + fe2)1'2; В - т + fe + 2S и 6 = = А/В. Тогда

-^-Лсоз(Ф-е) -IB

И

/С

Ј[l + 6Cos(<D — 6)]

Мгновенные значения давления:

А) минимальное при Ф = 0, т. е. Ф — 0 = 0;

Б) максимальное при Ф = (0 + я), т. е. Ф — 0 = я. Поэтому

TOC o "1-3" h z /С /С

Рмнн= В(1+б) И Р«акс= В(1_б) •

Таким образом,

Р = ры акс----- —------------------------------ (4-9)

1 + б cos (Ф — 9) v ;

которая может быть приведена к виду

1 2

Рср^Рмакс(-^) • (4-13)