Машиностроение ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ
Построение расчетной схемы механизма
Рассмотрим виброизоляционную систему на основе механизма с тремя степенями свободы и параллельной кинематикой трипода, который состоит из основания B1B2B3, подвижной платформы A1A2A3, трех штанг переменной длины L1 - L3, каждая из которых состоит из двух стержней и активной поступательной кинематической пары (рис. 1).
На рисунке приняты следующие обозначения:
Oxyz - глобальная система координат; B1, B2, B3 - цилиндрические шарниры; A1, A2, A3 - сферические шарниры; L1, L2, L3 - поступательные кинематические пары.
Определим радиус-векторы точек платформы B1B2B3 как векторную сумму:
RA1 = Г001 ^ rO1A1 ,
ГА2 = Г001 ^ Г01А2 , (2)
ГА3 = Г001 ^ Г01А3 .
Исходя из геометрических соотношений, составим уравнения связи для платформы А1А2А3:
(x - x2)2 + (У1 - У2)2 + (Z1 - Z2)2 = AA32,
(x2 - x^)2 + (У2 - У3)2 + (Z2 - Z3)2 = A2A32, (3)
(x - x^2 + (У3 - У1)2 + (z - z^2 = AA2.
В данной системе уравнений xi, yi, zi - координаты точек А1, А2, А3 (соответственно i=1,2,3) в глобальной системе координат Oxyz.
Преобразование координатной системы O1x1y1z1 в координаты системы Oxyz выполняется по уравнениям:
X0i = a11x1i + a12y1i + a13z1i + xc,
У0І = a21x1i + a22Yu + a23z1i + УС, (4)
Z0i = a31x1i + a32y1i + a33z1i + zc,
|
X |
Где коэффициенты при координатах - направляющие косинусы системы O1x1y1z1 относительно системы Oxyz.
Используя матрицы перехода из локальной системы координат O1x1y1z1 в глобальную систему координат Oxyz, получаем координаты векторов rOAk в виде функций от неизвестных углов Jk.
|
X01 |
R - Lj(t) • cos уj |
|
|
У01 |
0 |
|
|
Z01 |
L1(t) •sin У1 |
|
0 |
|
2 |
|
2 |
*oa2
L2(t) • Sin Ї2 -(R - L3(t)cos y3) • cos600
V = У03 = -(R - L3 (t) cos У3) •cos 300
L3(t) • sin y3
|
X02 |
|
|
У02 |
= |
|
Z02 |
|
|
X03 |
|
|
У03 |
= |
|
Z03 |
|
ROA1 |
|
(R - L2(t)cos y2) • cos300 |
|
— I |
|
(5) |
|
Рис. 1. Расчетная схема параллельной платформы. |
В матричной форме уравнения (4) имеют вид:
|
R0i |
(6)
T10 • r1i;
Где
|
X0i |
X1i |
A11 |
A12 |
A13 |
Xc |
||
|
У0І |
У1І |
T = ' 40 |
A21 |
A23 |
Yc |
||
|
, ?н = |
|||||||
|
Zi |
Z1i |
A31 |
A33 |
Zc |
|||
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
R>i |
Для определения положения платформы А1А2А3 используем углы Эйлера в (угол нутации), ф (угол вращения), у(угол прецессии) и координаты центра масс платформы xc, yc, zc.
|
Vi |
|
V2 |
|
(8) |
|
C |
|
C |
|
R = Л |
|
1і 13 |
Таким образом, получим положение шарниров Л; в неподвижной системе координат:
|
A11 |
A12 |
A13 |
Xc |
R1 |
A11 • R1 + xc |
||||
|
A21 |
A22 |
A23 |
Yc |
0 |
A21 • R1 + yc |
||||
|
A31 |
A32 |
A33 |
Zc |
0 |
A31 • R1 + Zc |
||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
||||
|
A11 |
A12 |
A13 |
Xc |
R1 |
• cos 600 |
||||
|
A21 |
A22 |
A23 |
Yc |
R1 |
Cos300 |
||||
|
A31 |
A32 |
A33 |
Zc |
0 |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
R1 |
Cos600 |
+ a22 |
• R |
|
R1 |
Cos600 |
+ a32 |
• R |
|
1 |
|||
|
A11 |
A12 |
A13 |
Xc |
|
A21 |
A22 |
A23 |
Yc |
|
A31 |
A32 |
A33 |
Zc |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
-a11 • R1 • cos600 + a12 • R1 • cos300 + xc |
|
-R1 • cos 600 - R1 • cos300 0 1 |
-a11 • R1 • cos60 - a12 • R1 • cos30 + xc
0 - a12 • R1 • cos300 - a21 • R1 • cos600 - a22 • R1 • cos300 + yc - a31 • R1 • cos600 - a32 • R1 • cos300 + zc 1
|
(7) |
Отсюда, получим 9 скалярных уравнений вида:
R-L1 (t)• cosУ1 =an • R1 + Xc
0 = a21 • R1 + yc
L1 (t) • sin У1 =a31 • R1 + Zc
- 2(R - L2(t)cos у 2) =
1 >/3
= - 2an • R1 + 2" a12 • R1 + xc
S
— (R - L2 (t) cos у2) =
1 л/3
|
1 |
|
L2(t) • sin у2 = — a31 • R1 +--- a32 • R1 + z |
|
2 |
= - 2a21 • R1 + a22 • R1 + yc
V3
C
2
- 2(R - L3 (t) cos У3) =
1 V3
= - 2an • R1 2~ a12 • R1 + xc
V3
- ^(R - L3 (t)cos У3) =
1 s
= - 2a21 • R1 a22 • R1 + yc
1 V3
L3(t) • sin У3 =- ^2a31 • R1 -^"a32 ^ R1 + Zc (9)
Решая систему относительно у;, можно получить связь между длинами штанг и углами Эйлера и координатами центра масс системы.
