Вычисляется максимальное…
6.18). Таблица 6.18 Оптимальное распределение ресурсов по регионам Ресурсы Регионы 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 Соответствующая этому распределению максимальная вероятность достижения цели равна сумме соответствующих элементов матрицы А. Р = 0,132 + 0,260 + 0,174 + 0,015 = 0,581. Рассмотренный пример относится к случаю, когда т = п. Если т < п, необходимо ввести п — т фиктивных поисковых единиц с нулевыми возможностями (о);у = 0 для і > т), сведя тем самым задачу к рассмотренному случаю. Пример 6.6 Имеется две группы разнородных ресурсов (т = 2), которые можно вложить в три инвестиционных проекта (// = 3). В первой группе шесть единиц ресурсов (/V| = 6), во второй — десять (N2 = 10). Степени важности проектов (Р.) заданы в табл. 6.19. Таблица 6.19 Степени важности проектов Проекты 1 2 3 Степени важности (PJ) 0,3 0,2 0,5 Эффективности вложений ресурсов различного рода (юу) заданы табл. 6.20. Таблица 6.20 Эффективность вложений ресурсов различного рода в регионы Номер группы ресурсов Номер проекта 1 2 3 1 0,40 0,10 0,50 2 0,20 0,40 0,20 Распределение ресурсов по проектам характеризуется матрицей А = |х(7||, где Xjj — количество ресурсов /-го типа, назначаемых на /- й проект. j=і Необходимо распределить ресурсы по проектам таким образом, чтобы суммарная эффективность была максимальной: і П" > =тах - (6-46) ; = 1 (6.47) Должны выполняться такие ограничения: =N< '> ' = I 2, ..., т\ І=і Ъ і = 1,2, ..., т\ j = 1, 2, ..., Решение: — в области изменения максимизируемой функции определяется исходное допустимое решение, удовлетворяющее ограничительным условиям задачи; — с помощью специального критерия проверяется, достаточно ли близко полученное решение к оптимальному; — если полученное отклонение больше требуемого, то путем построения так называемого возможного направления и определения в этом направлении конечного шага получают новое допустимое решение, которое увеличивает значение максимизируемой функции; — процесс расчетов носит характер последовательных при-ближений и продолжается до тех пор, пока на некотором шаге итерации не будет получено решение, близкое к оптимальному с требуемой точностью приближения. Последовательность расчетов 1. Определяется исходное допустимое решение А10' = (6.48) где А(()' — матрица, характеризующая исходное распределение ресурсов по проектам. В качестве исходного (начального) распределения может быть взято любое (в том числе и произвольное) распределение (матрица А(°)), не противоречащее ограничительным условиям задачи. Чем это начальное распределение окажется ближе к оптимальному, тем меньше необходимое число итераций. (6.49) Мы можем здесь воспользоваться приближенным решением этой же задачи, полученным с помощью метода динамического программирования (см. ниже в данном параграфе). 1 2 3 3 0 3 1 3 5 2 2 Номера проектов (столбцы) 1(0) Номера групп ресурсов (строки) Далее осуществляется итеративный процесс; в результате вы-полнения к итераций получается к-е приближение к оптимальному распределению Аш = ||4tt||. (6.50) 2. Определяется компонента матрицы возможного направления (6.51) О(А-) _ ~(А-) _ (А-) Величины хнаходятся с помощью матрицы у)^1: >f = (6.52) где ay = — In (1 — (оу). (6.53) В каждой строке матрицы у'^1 отыскивается максимальный элемент. Положение максимальных элементов и определяет искомые значения Щк), равные /V/ (/' = 1, 2, ..., т). Остальные х\к1 принимаются равными нулю. 3. Оценивается близость полученного решения к оптимальному. Для этого рассчитывается величина отклонения решения на данном шаге от оптимального решения J=l J=l\i=l J Величина сравнивается с величиной є — требуемым от - клонением полученного на данном шаге математического ожидания (суммарной эффективности) от математического ожидания, соответствующего оптимальному распределению. Если < є, то решение практически оптимально, если д(А) > є _ необходимо перейти к п. 4. 4. Находится длина шага, который необходимо сделать вдоль возможного направления, для того чтобы приблизиться к оптимальному решению. Величина находится из уравнения п ( т Л ^ A'/'exp=0. (6.55) J=l v /=і J 5. Находится новое допустимое решение А{к) = ||л",.А 111|, где < +1> =x^+XkSf\ (6.56) Далее вычисления повторяются начиная с п. 2. Результаты расчетов сведены в табл. 6.21. Таблица 6.21 Результаты расчетов примера 6.6 План распределении, , s g <1 К м О н к к Л н д н К Ai § О Рч о г- S Он и % о Я 11 12 13 Y< к) 21 22 23 О ^ м я К и К Й О X (-Н о о в д І1 t-T а в 11 1 в 2 о г^ - в4 m 0 3 0 3 3 5 2 0,042 0,043 0,9110 1 2,87 0 3,13 2,87 4,79 2,34 0,019 0,053 0,9123 2 2,72 0 3,28 2,72 5,07 2,21 0,015 0,089 0,9129 3 2,48 0 3,52 3,37 4,61 2,02 0,014 0,032 0,9135 4 2,59 0 3,41 3,26 4,79 1,95 0,009 0,020 0,9136 Решение на четвертом шаге, округленное до целых единиц (табл. 6.22). Таблица 6.22 Оптимальное распределение ресурсов Ресурсы Проекты 1-я группа 2-я группа 1 3 О 3 3 5 2 2 3 Количество шагов ит ерации определено требуемой точностью расчета математического ожидания. Как видно из табл. 6.21, при є = 0,01 можно ограничиться четырьмя итерациями, при є = 0,02 достаточно одной итерации. Расчеты существенно сокращаются и упрощаются при наличии исходного плана, близкого к оптимальному. Поэтому рекомендуется в качестве такого плана брать приближенный результат решения подобной задачи, выполняемой методами динамического программирования. Пример 6.7 Два партнера по бизнесу решают вложить капиталы в общее предприятие. На основе предшествующего опыта можно судить о вероятности успеха обоих партнеров (Р\ = 0,5, Pi = 0,3), а также о величине (доле) их возможных финансовых потерь (Q = 0,8, С2 = 0,4). Известны также пределы капиталовложений партнеров: — минимальное капиталовложение 1-го партнера а і = 1, 2-го а2 = 7; — максимальное капиталовложение 1-го партнера fi| = 2, 2-го р2 = Ю- Задана также требуемая вероятность решения задачи Щ = 0,9. (6.57) (6.58)
