Имеется пять видов ресурсов (т…
Известны характеристики объектов и ресурсов: материальный эффект при распределении на /-й объект любого ресурса (А,) и коэффициенты а/, характеризующие возможности каждого из ресурсов применительно к конкретным объектам. Эти характеристики заданы табл. 6.24. Таблица 6.24 Характеристики объектов и ресурсов Характеристики Номера объектов 1 2 3 4 А,- 16 14 12 2 а І 0,1 0,1 0,1 0,1 Необходимо определить количество ресурсов (х), использование которых на каждом из объектов обеспечит максимальный эффект. Решение В данном примере, так же как и в предыдущем, нет естественного разделения операции на этапы. Такое разделение, в интересах решения задачи, вводится искусс твенно. За шаги принимается последовательное распределение ресурсов по объектам. Таких шагов будет четыре. На первом круге находится условное оптимальное управление — количество ресурсов, выделяемых на каждый объект начиная с последнего. На первом шаге обозначим х\ количество ресурсов, направляемых на последний объект (счет шагов ведется с конца). При этом эффективность на последнем шаге (6.75) о} = /Ц) = А4р = A4(l - e~"lXl)) = 2 х (1 (6.74) Р =1-е~а'х. Значение jq нам неизвестно, так как это то количество единиц ресурсов, которое осталось от условного оптимального управления на предпоследнем (втором с конца) шаге. Переберем все возможные значения х\ и для каждого из них произведем расчет fi(x\) по формуле (6.74). Как видно из условия задачи, х\ может принимать значения О, 1, 2, 3, 4, 5. Для этих значений и произведем расчет (табл. 6.25). Таблица 6.25 Возможные значения х\ и эффективности f\(x\) Л'1 /і(лі) 0 0 1 0,190 2 0,363 3 0,518 4 0,659 5 0,787 На втором шаге (с конца) выделяется х2 ресурсов на предпоследний объект, а соответствующая эффективность на этом шаге ю2 должна учитывать помимо эффекта от второго шага также и эффект в результате условного оптимального управления на первом (с конца) шаге о>2 =А„_1[1 - е-'- (6.76) Максимальный эффект, получаемый за два шага, находится по формуле, аналогичной формуле (6.75): /2(х2) = тах|А,(1 + А4(і - е"4Г1)|, (6.77) О < X! < х2. Поскольку х2 — число ресурсов, предназначенных для как предпоследнего, так и последнего объекта, то х2 > х\. Исходя из этого делают предположения обо всех возможных значениях х2 (х2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5) и для каждого из них рассчитывается эффективность (табл. 6.26). Одновременно находится и значение х\ (условное оптимальное управление), при котором /2(х2) достигает максимума. Поскольку оно зависит от х2, обозначим его xj(x2) и также приведем в табл. 6.26. Таблица 6.26 Возможные значения хг, максимальные эффективности И соответствующие ИМ значения Хі(*2) Л-2 /2 (л) XI (Л'2) 0 0 0 1 1,150 0 2 2,175 0 3 3,108 0 4 3,954 0 5 4,722 0 Далее аналогичным путем для всех возможных значений хз вычисляются /з(хз) и х2(хз) — табл. 6.27. Таблица 6.27 Возможные значения хз, максимальные эффективности /з(хз) И соответствующие ИМ значения *2(*з) X, /з (Л'з) х2 (х}) 0 0 0 1 1,330 0 2 2,541 0 3 3,508 2 4 4,680 2 5 5,804 2 Аналогичным путем рассчитывается и условное оптимальное управление на четвертом (с конца) шаге. Но поскольку на этом шаге мы подошли к исходному (начальному) значению количества единиц ресурсов, предназначенных для всех объектов (т = 5), то величина хз определяется только для Х4 = 5. Как показывает расчет, Хз(*4 = 5) = 2. Начинается второй круг оптимизации в обратном порядке (от четвертого шага к первому). Поскольку вначале у нас для всех объектов имеется 5 единиц ресурсов, а после выделения ресурсов на один из объектов в соответствии с условным оптимальным управлением на все остальные должны остаться хз(х4) = 2 единицы ресурсов, то оптимальное управление на четвертом (с конца) шаге U"4 = х4 = 5- 2= 3 единицы ресурсов. Оптимальное управление на третьем (с конца) шаге должно быть таким, чтобы при распределении оставшихся 5 — 2 = 3 единицы ресурсов выдерживался принцип оптимальности. Как мы уже знаем, при этом = х3 (х4) = 2. Как показывает анализ таблиц 6.27, 6.26 и 6.25 условного оп-тимального управления, при х3 = 2, х2(х3) = О, при х2 = 0, xi(x2) = 0. Следовательно, х2* = х, = 0. Итак, оптимальным распределением будет: U"4 = 3, U\ = 2, U"2 = 0, U[ = 0 единиц ресурсов. Общий ущерб при этом W = 16 X (1 - е-од х 3) + 14(1 - е-од X 2) + 12 X 0 + 2 X 0 = 6,68. Пример 6.10 Имеется семь единиц ресурсов (т = хо = 7), распределяемых между двумя предприятиями-партнерами в многоэтапной операции. Первому предприятию выделяется у, а второму (х — у) единиц ресурсов. Операция выполняется в три этапа (п = 3). На каждом из этапов эффективность использования ресурсов на первом предприятии составляет g(y) = 0,4>'2, а на втором — h (х — у2), где g и h — коэффициенты эффективности деятельности каждого из предприятий. Вследствие расходования ресурсов на каждом этапе операции количество ресурсов на первом предп
риятии уменьшается до 0,6 у, а на втором — до 0,9 (х — у). К началу очередного этапа ресурсы перераспределяются. Необходимо найти оптимальное распределение ресурсов на каждом этапе операции и общую эффективность. Решение В данной задаче существует естественное разделение операции на шаги — этапы действий. Таких шагов три. На каждом этапе предприятия имеют эффективности, про-порциональные выделенным ресурсам: первое предприятие — эффективность g (хо), второе — И (хо — >'()). После первого этапа операции (шага решения задачи) суммарная эффективность обоих предприятий <Й1 = /і (хо, Уо) = g (Уо) + h (XQ - y0). (6.78) В процессе операции имеющиеся ресурсы расходуются, вследствие чего по окончании каждого этапа количество ресурсов первого предприятия уменьшается до величины ау0 (0 < а < 1), второго — до величины b (х0 — уд), причем ()
