ГЛАВА 6…
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Успешность решения подавляющего большинства экономических задач зависит от наилучшего, наивыгоднейшего способа использования ресурсов. В процессе экономической деятельности приходится распределять такие важные ресурсы, как деньги, товары, сырье, оборудование, рабочая сила и др. И от того, как будут распределяться эти, как правило, ограниченные ресурсы, зависит конечный результат деятельности, бизнеса.
Суть методов оптимизации заключается в том, что исходя из наличия определенных ресурсов выбирается такой способ их ис-пользования (распределения), при котором обеспечивается максимум (или минимум) интересующего нас показателя.
При этом учитываются определенные ограничения, налагаемые на использование ресурсов условиями экономической ситуации.
В качестве методов оптимизации в экономике находят применение все основные разделы математического программирования (планирования): линейное, нелинейное и динамическое.
Линейное программирование (планирование)
Линейное программирование (планирование) — математический метод отыскания максимума или минимума линейной функции при наличии ограничений в виде линейных неравенств или уравнений. (Линейное здесь означает, что на графике функции изображаются в виде прямых линий, соответствующих первым степеням величин.)
Максимизируемая (минимизируемая) функция представляет собой принятый критерий эффективности решения задачи, соответствующий поставленной цели. Она носит название целевой функции.
Ограничения характеризуют имеющиеся возможности решения задачи.
Существо решения задач линейного программирования заключается в нахождении условий, обращающих целевую функцию в минимум или максимум.
Решение, удовлетворяющее условиям задачи и соответствующее намеченной цели, называется оптимальным планом.
Линейное программирование (планирование) служит для выбора наилучшего плана распределения ограниченных однородных ресурсов в целях решения поставленной задачи.
В общем виде постановка задачи линейного программирования заключается в следующем.
Условия задачи представляются с помощью системы линейных уравнений или неравенств, выражающих ограничения, налагаемые на использование имеющихся ресурсов:
Условия задачи (ограничения) могут быть заданы также в виде неравенств. В этих случаях можно привести систему линейных ограничений к виду (6.1), вводя в каждое линейное ограничение дополнительные неотрицательные неизвестные
Целевая установка оптимизации заключается в том, чтобы свести ожидаемые при решении данной задачи издержки предприятий к минимуму.
Общая математическая формулировка задачи соответствует условиям (6.1) и (6.2).
Первая строка системы уравнений (6.1)
в данном примере означает следующее:
ап — количество единиц ресурсов вида 1 на первом предприятии;
аи — количество единиц ресурсов вида 1 на втором предприятии и т. п.;
Л, — общий ресурс ресурсов вида 1 (для всех предприятий);
хь х2 и т. д. — искомое количество предприятий типов 1, 2 И т. д.
Вторая строка упомянутой системы уравнений содержит ана-логичные величины для ресурсов вида 2 и т. д. Функция цели со-ответствует формуле (6.2). Требуется обратить в минимум величину
У = СЛ + с2х2 + ... + CjXj + ... + cjc„,
где Cj — показатель, характеризующий издержки предприятий.
Пусть т — общее число различных видов ресурсов, которыми располагает собственник, а п — число типов предприятий, между которыми эти ресурсы должны быть распределены. При этом известно, какое количество однородных ресурсов различного вида (/ = 1, 2 ... п) может быть реализовано на каждом из предприятий данного типа (j = 1, 2 ... и), а также общее количество ресурсов данного вида (bj).
Известно также относительное значение издержек на каждом из предприятий (Cj).
Задача заключается в том, чтобы наилучшим (оптимальным) образом распределить имеющиеся ресурсы по предприятиям, т. е. найти неизвестные величины Xj — требуемые для этого количества предприятий данного типа.
Пример 6.1
Собственник располагает четырьмя видами ресурсов (т = 4). Это, например, денежные средства, производственные помещения, оборудование, сырье. Ресурсы необходимо распределить между шестью предприятиями (// = 6). Предприятия различаются по экономическим условиям деятельности: местам расположения, системам налогообложения, стоимости энергии, оплатам труда и т. д., в связи с чем имеют разные издержки производства. Относительные уровни издержек заданы табл. 6.1.
Таблица 6.1
Относительные уровни издержек на предприятиях
Предприятии 1 2 3 4 5 6
Издержки 0,4 0,5 0,2 0,8 0,6 0,3
Распределение ресурсов по предприятиям сопряжено с необ-ходимостью учета ряда ограничений, которые могут быть описаны системой четырех уравнений с шестью неизвестными, аналогичной системе (6.1):
1- й вид ресурсов 4Xj + х2 = 16;
2- й вид ресурсов 2Х2 + х5 =10;
3- й вид ресурсов х} + 2Х4 +6х5 = 76;
4- й вид ресурсов 4х1 + 3х2 + х6 = 24; >0 0 = 1, 2 4).
Смысл первого уравнения в нашем примере в том, что ресурс вида 1, общий ресурс которого составляет 16 единиц, может размещаться в количестве 4 единиц на предприятии первого типа и 1 единицы — на предприятии четвертого типа. Аналогично раскрывается смысл второго и последующих уравнений. Последнее уравнение говорит о том, что число предприятий не может быть отрицательным.
Необходимо определить, какое количество предприятий каждого типа следует иметь, чтобы общие издержки были минимальными.
(6.3)
В соответствии с табл. 6.1 целевая функция, подлежащая оп-тимизации, примет вид
(6.4)
-6-
у = 0,4jq + 0,5Х2 + 0,2х3 + 0,8х4 + 0,6х5 + 0,3xf
Решение
Решение задачи сводится к выполнению ограничений, заданных уравнениями (6.3), с учетом условия минимизации выражения (6.4).
В нашем примере, когда п — т = 2, каждое из ограничительных линейных уравнений (6.3), а также линейная функция (6.4) могут быть представлены геометрически в двухмерном пространстве (на плоскости).
Чтобы представить ограничения и целевую функцию на графике, необходимо выразить все известные через независимые величины. Например, Х| и х2, соответствующие координатным осям, относительно которых будет производиться построение (рис. 6.1).
и
Из уравнений (6.3) следует:
х3 = 8xj + 12х2 -16; х4 = 16 -4х1;
— 10 j
XF. — 24 4 ^Гі 3 •
Целевая функция примет вид
у = -2,4*! + 0,8х2 + 22,8.
Из сопоставления уравнения (6.5) и последнего из ограничений (6.1) X,- > 0 следует:
>0; х2 > 0;
(6.7)
х} = 8Х[ + 12х2 —16 > 0; х4 = 16 -4х1 > 0; х5 = 10 - 2х2 > 0; X, = 24 -4х, -3jc, > 0.
