Фотоприемные устройства и ПЗС. Обнаружение сла­бых оптических сигналов

ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛА К ШУМУ НА ВЫХОДЕ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА (АНАЛИЗ В ЧАСТОТНОЙ ФОРМЕ)

Общее выражение для отношения сигнал-шум на выходе пл тимального фильтра. Формула для отношения сигнал-шум на выходе фильтра-усилителя с произвольной частотной хаоактепи-

Стикой была приведена в предыдущем параграфе (3 34)_______________

(3.36) . Там же была найдена и частотная характеристика оптимального фильтра (3.46). Подставляя последнюю из названных формул в первую, получаем искомое выражение:

<Х>

, 5/? „ о р 27"с kecdf

ДГ°Ф сЛ с А 0

£2Є4/

О

СА О

После сокращения приходим к выражению

УЩЦ

О

Полученные выражения заслуживают короткого комментария-

1. Шумовая полоса оптимального фильтра совпадает с соб* ственной шумовой полосой усилителя с коэффициентом усиле­ния & — ес/у 0 (такое усиление имеет второй каскад опти­мального фильтра, рис. 3.7). Напомним, что шумовая полоса собственно усилителя, определяемая при белом входном шуме, равна площади под кривой к2:

ОО СО СО

2. Относительная амплитуда определяется той же полосой, точнее, ее отношением к эффективной полосе спектра сигнала

$с~1/2Тс:

Со

«сА=-^ = 2гД^.^/. (3.51)

О

3. Метод фурье-анализа в линейных системах позволяет рассчитывать каждую гармонику и сигнала, и шума независи­мо друг от друга, а затем при расчете амплитуды сигнала и среднеквадратичного значения шума суммировать соответству­ющие гармоники. Оказывается, для расчета отношения ЛГС/Ш применим аналогичный метод. Сначала можно найти отноше­ние сигнал-шум Пс/ш на входе фильтра для каждой из гармо­ник в отдельности. Максимум, что может оптимальный фильтр — «не навредить», бережно сохранить все эти парциаль­ные отношения на выходе. Тогда значение Ыс/т находится гео­метрическим суммированием всех указанных парциальных отношений сигнал-шум — точно так, как это делается и для мощности сигнала, и для мощности шума. Дейст­вительно, на частоте I в единичной полосе амплитуда сигнала равна ЗБсА2Тсес(/), а среднеквадратичное значение шума ]/2^/ш©(/) , так что их отношение

Е;Л1. . (3.52)

I Ч’а, Ув</)

Геометрическая сумма этих парциальных отношений совпадает с полученной выше формулой:

<а5з)

Приведенные выражения для принадлежат к числу фунда­

Ментальных соотношений теории обнаружения. По определению полученное значение является максимально достижимым для отношения сигнал-шум при заданных спектрах и &(!)■

Пытаться получить отношение Л^/ш больше, чем в оптимальном фильтре, — все равно, что построить вечный двигатель. Значе­ние Мс/Ш в реальных ФПУ может только приближаться к зна­чению N сш < Продолжая проводить аналогию с двигателем, введем столь же важную характеристику, как и КПД, — коэф­фициент потерь (или просто потери) ФПУ (реального филь­тра), который показывает, насколько отношение сигнал-шум в этом* устройстве меньше, чем в оптимальном:

П= ЛГс/ш/N с%1 • (3.54)

Коэффициент потерь является важнейшим показателем качест­ва ФПУ как обнаружителя слабых оптических сигналов.

Расчет значения N1% для конкретных спектров сигнала и шума является одной из основных задач теории обнаружения. Поскольку формула для величины уже найдена, то даль­

Нейший расчет сводится к обычным математическим вычисле­ниям. Однако получаемые при этом формулы—в общем случае сложных спектров ес(/)> ©(/)—достаточно громоздки, при их выводе теряется физика оптимальной фильтрации. Чтобы избежать этого и проследить, как и почему отношение зависит от параметров сигнала и шума, воспользуемся сначала упрощенной методикой:

Будем непосредственно рассчитывать и сигнал 5Есис, и

Шум У 2геометрически как площадь под кривыми ес&, 0£2, а потом уже находить их отношение;

Будем следовать рекомендациям § 2.1 — проводить расчеты для эффективного прямоугольного спектра сигнала постоянной плотности 5£са23гс в полосе 1/2Тс;

Будем рассматривать «чистые» случаи, когда преобладает одна из компонент шума: белая, высокочастотная либо низко­частотная.

Конечно, надо помнить, что и сигнал 5£,с. амСа, и шум У2<7/ш/ш — величины относительные. Чтобы получить абсолют­ные напряжения на выходе ФПУ, надо умножить указанные значения на коэффициент передачи /Со (который в (3.48) сокра­щен). Поэтому, когда будем, например, говорить, что с ро­стом полосы фильтра сигнал растет, будем иметь в виду фильтры с одинаковыми значениями Ко - Поскольку величина в общем случае размерна (в нашем случае размерности сопротивления), то, опуская ее (точнее, полагая /Со = 1), из­меняем также размерность относительных значений сигнала и шума на выходе фильтра. И все же в дальнейшем сохраним Для них условно обозначения напряжений Ос, V ш, понимая под ними безразмерные величины.

Расчет отношения N с? ш '• качественный анализ. Белый Щм. Спектры сигнала и шума приведены на рис. 3.8. Здесь же приведена частотная характеристика оптимального фильтра — в данном случае она воспроизводит прямоугольный спектр сиг­нала. При этом графический расчет сигнала и шума особенно Прост — соответствующие им площади на рисунке заштрихова - Как видно из рисунка, такой фильтр пропускает все гар-

Прямоугольной частотной характеристикой £(/), но будем те­перь варьировать его полосу ^ в диапазоне частот О—/с. По­скольку полоса усилителя становится уже полосы сигнала, то сигнал «зарезается» относительная амплитудная чувстви­тельность меньше единицы и определяется отношением полос усилителя и сигнала:

С/са—5£,са«са=:5Яса.(/у/^с) = .(5£са2Тс)/у, (3.58)

Высокочастотный шум в этой полосе

^^ з7^* (3.59)

Площади, определяющие значения ис, С/ш, на рис. 3.9 также заштрихованы. Для отношения сигнал-шум получаем

У? ***

Отсюда видно, что теоретически при бесконечно узкой полосе (/у-»-0) можно получить бесконечно большое отношение сигнал - шум. Это и понятно: на низких частотах плотность ВЧ-шума очень быстро стремится к нулю. Реальность вносит свои кор­рективы: наряду с ВЧ-составляющей необходимо учитывать и белый шум (штриховая кривая на рис. 3.9,6). На частотах /у<С/в белый шум (по определению) преобладает, поэтому вме­сто (3.58) надо записать уже известное нам выражение (3.56);

£/ш = 1/2?/ш/у, (3.61)

И тогда отношение сигнала (3.58) к шуму (3.61) будет равно

/,</.. лгс/ш=^|=1/7;. (3.62)

Как видно из этой формулы, величина Мс/Ш растет с ростом полосы. Но это справедливо до значений /у^/в; на частотах /у>/в преобладает ВЧ-шум, а формулы (3.58) — (3.60) нам уже доказали, что с ростом полосы ВЧ-шум растет быстрее сигна­ла. Таким образом, оптимальна полоса /у=/в. Строго говоря, используемый нами оптимальный фильтр с прямоугольной ча­стотой характеристикой справедлив для ВЧ-шума, бесконечно быстро возрастающего выше частоты /в. Для ВЧ-шума вида Р//в2 согласно (3.46) частотная характеристика несколько раз­мывается в окрестности (штриховая кривая на рис. 3,9, в). Это размытие учтем в следующем разделе, а пока останемся в

171

Рамках простой методики расчета: считая частотную характе­ристику прямоугольной, подставим значение полосы ^й в

(3.62):

_ (3'63> „оф 5ВсАГ2У( 3£сДУ2Гс ГТГ

=~ШГ у2Тс/° - У2ЙГ У к • (3'64)

Итак, и в первом случае (белый шум), и во втором (ВЧ - шум) был выбран фильтр с одной и той же по форме—пря­моугольной — частотной характеристикой, И в первом, и во вто­ром случаях определяющей является белая компонента шума. Различие состоит лишь в настройке фильтра: в первом случае он настраивается по сигналу, его полоса fy=:^c = 1/2Гс> а во втором —по спектру шума, его полоса (и, стало быть,

Его не надо перестраивать при изменении длительности Тс), Поэтому в обоих случаях для отношения Ыс/Ш справедливо об­щее выражение (3.62). При подстановке в него конкретного значения полосы настройки fy переходим к (3.57) в случае бе­лого шума и к (3.63)—в случае высокочастотного. Однако эти формулы существенно различаются — вот к чему приводит раз­личие лишь в настройке фильтра. Во-первых, сужение полосы от значения /с до значения ПрИводит к снижению отношения №с/щоф соответственно в У! с/!в раз. Во-вторых, узкая полоса (/у</с) привела к изменению самого характера зависимости Л^с/шоф от длительности Тс: она стала линейной, а не корневой. С точки зрения частотного анализа это объясняется линейным возрастанием спектральной плотности сигнала с ростом его длительности, Е0 (/) — ЕсА2Тс, поэтому при постоянной полосе /в линейно возрастает и выходная амплитуда (3.58). С точ­ки зрения временного анализа при узкополосном фильтре (/у^/с) сигнал можно рассматривать как дельта-импульс, по­этому амплитуда на выходе всегда пропорциональна мощности (площади) входного импульса ЕсАТс (§ 3.5).

Низкочастотный шум типа Ц. Этот случай иллюстрируется рис. ЗЛО. Здесь частотная характеристика фильтра в принципе не может быть прямоугольной: напряжение шума на выходе такого фильтра теоретически будет бесконечным из-за беско­нечной мощности шума l/f на низких частотах при $—>-0. По­этому придется отказаться от «прямоугольного мышления» и перейти к «треугольному мышлению»: именно треугольной ока­зывается частотная характеристика оптимального фильтра со­гласно (3.45):

/</с

Ки) = ка'к{/), Ко' = Ка/с1/„ к (/) = //Д. (3.65)

Здесь нормировка коэффи - е,

Циента передачи ли) про - „ 2Т ведена к его максимально­му значению — значению 5Е^Ч на частоте / = ?с Возраста­ние плотности шума при снижении частоты (до бес - -2 конечно малых значении) привело к необходимости понижать на этих частотах / н усиление (до бесконечно?“/с малых значений). Методика расчета сигнала и шума не сильно усложнилась: их.

Опять можно рассчитать

Рис. 3.10. К расчету сигнала и дисперсии шума в случае НЧ - шума:

А —спектр сигнала; б— спектр шума; в — частотная характеристика фильтра

Как площадь под кривыми &(/)ес(/) и ^2(/)в(/), только теперь эти площадки треугольные, а не прямоугольные, как было

Имеем

£/с А - 5£'сл27'с $ / = ЗЕ^Г, $-£<*/ =

= 8ЕсА2Т±

1 с с

£/ш = 2#/,Д К-Ьг1/ ■■■= 2?/ш ^

(3.67)

= Я^ш/н-

Ни амплитуда, ни шум на выходе рассматриваемого фильтра не зависят от длительности входного сигнала. Из рис. 3.10, а наглядно видно, почему так получается для амплитуды выход­ного сигнала: площадь к([)ес([), которая определяет эту ам­плитуду выходного сигнала, всегда — при любой длительности Тс — уменьшается в два раза из-за треугольного характера ^(0- Можно сказать иначе: поскольку в рабочей полосе частот Усиление равномерно меняется в пределах 0...1, то среднее Усиление равно 0,5, поэтому амплитуда и уменьшилась вдвое. •Независимость выходного напряжения шума от вариации дли-

Тельности ВХОДНОГО импульса иллюстрируется рис. 3.10,6. При коротком импульсе ТУ полоса фильтра конечно, расши­

Ряется, однако пропорционально падает спектральная плот­ность шума на верхней частоте, © (/с) =/и//с', так что площадь под кривой, определяющая выходной шум, остается постоян­ной. Для большей наглядности на рис. ЗЛО рассмотрены дВа импульса с разными длительностями: площади Л(/)ес(/) и

£2(/)0(/) для них остаются неизменными. Поскольку сигнал и шум не зависят от длительности Тс, то и их отношение инва­риантно по отношению к этому параметру:

Д^оф _ ^с. А __ 1 гс 7ГС7 ^сА_ (9) ^

С/Ш иш " 2 У?/Ш/н ’ У2^/ш/„ ■ * ’ *

Отношение точный расчет, учет влияния формы

Сигнала. Пока нами рассматривался простейший (прямоугольный) спектр сигнала, который был выбран ради наглядности и про­стоты анализа. Но, строго говоря, прямоугольный спектр является спектром сигнала вполне определенной формы —коло­колообразной с периодически затухающими фронтами вида

Бшх}х, х=^]Тс (рис. 2.1,#, см. §2.1). Правда, в том же

§2.1 было показано, что спектр любого колоколообразного сигнала аппроксимируется прямоугольным спектром, так что можно ожидать, что все полученные выражения для отношения А^ш имеют достаточно общий характер. Но все-таки, как изме­нится отношение А’слд, если провести его строгий расчет

С учетом возможной вариаци'и спектра ес(/)? Как сильно будет влиять форма сигнала (вариация спектра £с(/)) на значение Для ответа на эти вопросы проведем точные вычисления величины А^сдц последовательно для тех же трех случаев, когда вреобладает белая, ВЧ - либо НЧ-компонента шума.

Белый шум. Преобразуем общую формулу для отношения сигнал-шум (3.49) к следующему виду:

/уЦ5 _ О'л 1 / Г ес"(/) . * ^£СА п 6°)

*с1щ-~тт Тс у б! ь ( ’

^Г~____________ . / (“ еС£(/И/

2г=5 Ш‘V - Ут~ V =—• (з-70)

0 Г Гвс(/)йГ/

О

В последнем выражении учтен характер белого шума,

В(/) — 1 и введена эффективная полоса сигнала /с— 1 /27*с;

Согласно определению (2.15) она заменена интегралом — пло­щадью под кривой ес ([). Как видим, отношение отличается от полученного выше (3.57) только численным коэффициентом V-

Этот коэффициент равен корню квадратному из отношения двух полос: шумовой полосы оптимального фильтра к эффек­тивной полосе сигнала /с. Или, учитывая определение полос /ш $с, коэффициент равен корню из отношения площадей под

Кривыми ес2(Нт ес(/)‘

Однако значения этих площадей различаются весьма незна­чительно. Действительно, при рассмотренном выше прямоуголь­ном спектре ес2(П = (/) = I И рассматриваемые площади рав­

Ны ДРУГ ДРУГУ' так что Т“!« В общем случае площадь под кривой ес2(/)> конечно, меньше, поскольку е(/)<С1 (во всяком случае, это справедливо при ес(/)>0). Однако для рассматри­ваемого класса импульсов спектральная плотность (/) умень­шается достаточно быстро в окрестности частоты! С=1/2ТС. Поэтому площадь под кривыми ес2(?),ес(!) определяется в значительной мере площадью в области плато, где опять-таки ес2(!) &ес(1)«I; ширина этого плато порядка 1/2 Гс. Так, да­лее качественное рассмотрение выражений (3.69), (3.70) позво­ляет сделать еще один важный вывод: для рассматриваемого класса колоколообразных импульсов и коэффициент у, и, сле­довательно, отношение Агс/шоф достаточно слабо зависят от от­носительной формы сигнала (при постоянной эффективной дли­тельности), Подтвердим этот вывод расчетами для импульсов прямоугольной и косинусквадратной формы.

Прямоугольный импульс:

СО Г со

2ГС^(/)<*/ = У 2Л е1(Тс/) =

2 (* эт2 х, * '

-г—

Я 3 хл

О

У 2^/ш

Косинусквадратный импульс:

Оо /~оо

О-г Л/ С Вш22д/Г^(/2Гс)

2ГС Ус </)<*/ у } (2л/Гсу. ({_4рТс*у

О о

__1 / 1 ? ып2хйх____________ А Г 3

V я ] х2(1 — х*(п2)2 V 4 '

ЛГ™ = У2ч = ГТ 1/4=

1 У2?/ш У ' 4 У2Я1Ш

$всКУт

1,22—-;1^'с-. (3.72)

У2д1ш

Здесь использованы таблицы интегралов [79]. Получили даже неожиданный, слишком хороший результат: формула (3.71) для импульса прямоугольной формы в точности совпала с прежней формулой (3.57), рассчитанной для эффективного прямоуголь - спектра. Это выражение дает максимальное значение при

Обнаружении импульсного сигнала.

При другой форме сигнала —при «размазывании» энергии импульса по времени, когда часть энергии из максимума пере­ходит в «хвосты», как это имеет место в колоколообразном сигнале, отношение А:с/щ может только уменьшаться. Правда, для косинусквадратного импульса «размазывание» энергии не­значительно» как незначительно и унижение Л^ш (всего на 13,5%, ср. (3.71) и (3.72)). Впрочем, такое снижение Л^ш можно было предсказать, пользуясь только формулой (3.57), полученной при качественном анализе в предыдущем разделе. Так, в соответствии с § 1.3 колоколообразный импульс

(рис. 3.11, кривая 1) заменяем эквивалентным ему прямоуголь­ным импульсом той же амплитуды Е'сА=Еса и эффективной длительностью ТС' = ТС (рис. 3.11, кривая 2). Но ведь эквива­лентную замену можно выполнить по-другому: сохранить дли­тельность по основанию ТС” = 2ТС, тогда эффективная амплиту­да (из условия равенства энергий) будет составлять ЕсА = = Есл12 (рис. 3.11, кривая 3). Для этих двух импульсов по­лучим

(3.73)

Реальный колоколообразный импульс лежит посередине этих крайних прямоугольных аппроксимацией, так что следует ожи­дать среднего значения.

Л* К/ш + __ I + УТ 5ЕсА У>С_, ^ 0£^СА_УТ7

------ 2--------- 2 у 2^- (3'75)

И опять получили очень хорошее (до третьего знака) совпаде­ние с точной формулой (3.72).

Высокочастотный шум. Пусть ВЧ-шум преобладает во всей области спектра сигнала, /В<^1/2ТС. За счет сильного роста шума 0^ Р подынтегральная функция в формуле для отноше­ния (3.49) резко падает в окрестности частот в. Эти часто­ты относительно спектра сигнала весьма низкие, здесь плот­ность спектра сигнала постоянна, ес(/)=1. Это условие облег­чает вычисление интеграла:

СО оо со

СесЧО */ „ Г С *(///»)

Г С 'О

.) 0(/) О0(/) ■/в.) 1+(///в)2

ООО

=/„агс%£| ” = (3.76)

Для отношения сигнал-шум имеем і.

ЛГоф 5ёсА2Гс -./ РегіП

■ V }іпл =

= і/йІ^і//в = 2,5-№-^Л - (3.77)

У¥ш У 2яіш

■Как видим, форма сигнала в этом случае не влияет на значе­ние №с%: ведь оптимальный фильтр пропускает только низкие частоты, где относительная спектральная плотность для сигна­лов любой формы одна и та же, ес=1. Те же частоты, где по­ведение спектра зависит от формы сигнала (в окрестности ї~ї= 1/2Гс и выше), вклада в интеграл (3.76) не дают (из-за большого значения знаменателя 0(/) ~/с2//в2^> 1).

Точное выражение (3.77) дает несколько большее значение чем приближенная формула (3.63). Объясняется это тем, ЧТО при приближенном расчете форма частотной характеристи­ки фильтра выбиралась прямоугольной (непрерывная кривая на рис. 3.9,в). Оптимальный фильтр сглаживается и имеет быстро спадающий «хвост» на частотах (штриховая кри­

Вая на рис. 3.9, в). Вклад гармоник этих частот и привел к не­которому возрастанию Л'с/щ в точной формуле (3.63),

Низкочастотный шум. Подставляя в (3.49) спектр щума в=7н//, получаем для импульса прямоугольной формы

На больших частотах (/>1/2Гс) подынтегральная функция падает очень медленно, 1//, поэтому интеграл от нее ( со1п^ на бесконечности расходится, N -*оо. Второй раз сталкиваемся со случаем, когда шумы вроде бы не ограничива­ют обнаружение. Однако это умозрительный случай — получен­ная формула справедлива при трех условиях (трех «бесконеч­ностях»), которые на практике реализоваться не могут:

Усиление оптимального фильтра должно простираться до бесконечности

Эт я/Тс

Л/т с (/н//)

А в реальных случаях полоса всегда ограничена:

С ростом частоты шум в нашей модели становится бесконеч­но малым, в^/н/^О, реально минимальная величина шума бу­дет ограничена хотя бы белой составляющей (подобная ситуа­ция встречалась для ВЧ-компоненты шума на частотах ^0);

Рассматриваемый прямоугольный импульс — это импульс с бесконечной скоростью нарастания фронтов; длительность ре­альных переходных процессов всегда конечна, поэтому спектр сигнала спадает с ростом быстрее, чем 1//, и интеграл в (3.78) сходится.

Чтобы избежать неприятности, связанной с расходимостью, достаточно учесть только последний фактор — конечную дли­тельность фронтов. Так, для сигнала колоколообразной формы

Точные вычисления отношения с учетом конкретной

Формы сигнала (прямоугольной, колоколообразной) полностью подтвердили прежние, приближенные формулы, лишь незначи­

Тельно (в пределах-0... 20%) уточнены значения численных коэффициентов (особенности случая НЧ~шума и прямоугольно­го импульса только что были оговорены). Все полученные фор­мулы для удобства сопоставления и использования сведены в табл. 3.2. Эти формулы имеют столь большое значение в теории

Таблица 3.2. Отношение сигнал-шум на выходе оптимального фильтра

Значение коэффициента а

Низкочастот­ Ный Белый Высокочастот­ Ный

0,707 1,41

0,6 1,22 2,5

1,41

2,5

Рис. 3.12. Преобладание различных составляю­щих шума в полосе частот сигнала

Обнаружения, что их анализу посвятим весь следующий пара­граф. А пока для общности нам осталось сделать еще один последний шаг — рассмотреть произвольный спектр шума, кот - рый может встретиться в ФПУ.

Отношение сигнал-шум при произвольном спектре шума. В общем случае в спектре шума ФПУ могут присутствовать все три компоненты 1 jft 0 = const, 0^/2 2.4). Чтобы об­

Ласть белого шума не перекрывалась полностью НЧ - и ВЧ-шу. мами, должно выполняться условие f„<fB (рис. 3.12,а). Точные формулы для отношения Ncfui в случае такого спектра весьма громоздки и здесь не приводятся. Попытаемся найти удобные для практики аппроксимации. Воспользуемся тем, что при ва­риации полосы частот сигнала в зависимости от его длитель­ности может стать преобладающей лишь одна из трех шумовых компонент: при узкополосном сигнале (сигнал большой дли­тельности), когда fc = l/ST’cC/u, это НЧ-компонента, при сред­ней полосе сигнала — белая и при широкополосном

Сигнале /с»/в — ВЧ-компонента (рис. 3,12,а, б). Поэтому отно­шение при указанных длительностях импульса Тс опи­

Сывается полученными выше выражениями для таких частных случаев. Обратимся сначала к приближенным формулам (3.57),

(3.63) , (3.68) и перепишем их в унифицированной форме:

TOC o "1-5" h z f f У°ф SgcA У~2Ге________ I ("З

С/ш У2?/ш у277 " У 2^ V2fn(2Tc)' (' }

F < f С f №* SEсА ^2Тс 1 ■ П

С/ш ущ - уГ (3.82)

SEcATc г— SE к V 277 1

/в < /с, - 2 ]//в - - с* , . (3.83)

У УС ' V2 qlm У 1/С/в27’с) V '

Попытаемся сконструировать искомую аппроксимацию для отношения Nl%x при произвольной длительности Тс путем обобщения этих формул. Они отличаются последним сомножи­телем— сложим все три члена пэд корнем этих сомножителей:

F // f дгоф ___ УГ2У‘с I_____________________________ . д.

/н</В. с/ш - Ущ - /2/н(27'с)+1 + 1/(/в27’с) '

Это выражение можно представить еще в одном, удобном для запоминания виде, если провести замену 1/2Гс-^/с:

QP

/„«/„ N1%,=—*= -.А г - - (3.85)

VWv>lU + 2fn + (.U/f,)fc]

Такая форма записи настолько наглядна, что вряд ли требует комментария: отношение сигнал-шум и есть отношение ампли­туды сигнала SEca к шуму, рассчитанному в некоторой эквива­лентной полосе. При белом шуме эта полоса равна полосе сиг­нала fc Вклад избыточных шумов формально учитывается воз - пястанием эквивалентной полосы: для НЧ-компоненты на вели­чину 2[н и для ВЧ-компоненты на величину |с2/[„.

Как "было показано выше, при точном расчете для

Колоколообразного сигнала несколько уточняются значения численных коэффициентов, поэтому и в обобщенной форму­ле (3.85) численные коэффициенты следует уточнить. Поль­зуясь прежней методикой, получаем

/«>/■• : !

= 0'865^7^^" ^ 2-1/и(27-с) ; (3'86>

/.</«</.. л'&=' (з-87)

*#.-«-^-1/7.-

—; (а88)

Согласно этим выражениям уточненная аппроксимация должна принять следующий вид:

^ 0,8655£сА УТ!

/-</»• —х л

У 1 (3.89)

У2Л/«(2Гс)+1+0.48//,-2Гс

При вариации длительности сигнала Тс одно из трех сла­гаемых под знаком корня может становиться преобладающим, и тогда общее выражение (3.89) совпадает с соответствующим асимптотическим выражением (3.86), (3.87) либо (3.88). Ос­тается нерешенным только один вопрос: будет ли справедли­

Вым найденное выражение и в переходных областях, когда /с~/н или /сЯ^/в? Ответить на этот вопрос можно сравнением аппроксимации (3.86) с точным значением А'с/’ш, рассчитан­ным по (3.49). Такое сопоставление и приведено на рис. 3.13. И здесь нам сопутствует успех: простая аппроксимация (3.89) оказалась достаточно точной не только там, где нам это зара­нее было известно (в области асимптот), но и в переходных областях, окрестностях характеристических значений Iс = /н и /с = /в. Погрешности здесь составляют всего 7... 9%. Мы вправе говорить «всего», потому что точности измерения пара­метров сигнала и шума ФПУ обычно не лучше, так что такая точность расчета, как правило, достаточна. Если все-таки нужен более точный расчет, то на переходных участках следует пользоваться кривыми рис. 3.13.

В заключение рассмотрим случай «перекрытия» НЧ - и ВЧ-компонент шума. Хотя вероятность такой ситуации в ре­альных ФПУ мала, однако ради общности анализа рассмотрим и эту ситуацию (рис. 3.12, в). Область белого шума исчезает, появляется новая характеристическая частота на которой мощности компонент низкочастотного (0 = /н//) и высокочастот­ного (0 = ^ //в2) шумов сравниваются:

/ = /нв, /н//нв=/нв2//в2, /нв3 = /н/в2. (3.90)

При длинном импульсе преобладает НЧ-компонента и все проведенные выкладки (3.86) остаются справедливыми. Одна­ко при коротком импульсе, когда /нв<С/е:= 1/2ТС} расчет сиг­нала и шума надо уточнить. Как мы знаем, полосу оптималь­ного фильтра следует ограничить характеристической часто­той с которой начинает резко расти ВЧ-шум, — в данном слу­чае’частотой /нв. в выбранной полосе фильтра О — /нв домини­рует НЧ-составляющая, частотная характеристика фильтра треугольная, напряжение выходного шума в таком случае не зависит от полосы и задается формулой (3.67), а сигнал рас­считывается по аналогии с (3.66) следующим образом:

УсА=(5£сА27,с)(Ы2). (3.91)

Тогда для отношения сигнал-шум

ЖтО* ^сА 5£сА7’с/нв 0 ££сАГс -I /~ /нв Г (п поч

Сопоставляя эту формулу с полученной выше для ВЧ-состав- ляющей (3.83), видим, что эти формулы совпадут при следую­щей замене:

/,- /и/2/н - (3.93)

Обобщенное выражение (3.89) при такой замене трансформи­руется следующим образом:

/Ч»/- ЛГ«* 0,8655£(А/2Т;

48 2/н

Уг2д1ш~^/ 2,1/н (2ТС) + (2ТС) 0.65ЕсА

- т------------------------------ ------------------------------------------- (3.94)

У2<?/ш/а V 1+0,46/(Гт2Гсу

Методом подгонки удается уточнить коэффициент в этой аппроксимации:

Г - Г Л70ф _ 0>6^£сА_____________________ !___________________ /я

Ун >/в. С/Ш У2^ГН Уі+0,307І(/„в2ТсГ

Эта аппроксимация, как и предыдущие, с достаточно высокой точностью (не хуже 12%) совпадает с численным расчетом Ірис. 3.13).

Подведем итог. Фактически итог этому параграфу уже подведен в "табл. 3.2. К этим формулам следует добавить и (3.89), (3.95). Во всех прак­тически важных случаях отношение сигнал-шум на выходе оптимального фильтра Л^щ удается рассчитать с помощью этих достаточно простых формул, если известны параметры сигнала Тс, чувствительность ФП 5

И характеристики шума /ш, /ы, /в. Мелкие детали формы сигнала слабо влияют на это отношение. Характер шума изменяет зависимость от

Длительности сигнала: при ВЧ-шуме она линейна (Л^?ш ог Тс)> при белой становится корневой (Л^ш <N3 У^Г^ а ПРИ избыточном шуме зависимость ^сдц от длительности сигнала вообще исчезает.