ИНИЦИАЦИЯ МЫШЕЧНОГО СОКРАЩЕНИЯ
Предшествующее изложение ограничивалось стационарным сокращением мышцы. Не меньший, если не больший интерес представляют нестационарные кинетические процессы в мышечном волокне.
Первая стадия сокращения — его инициация ионами Са4"1-, выходящими из саркоплазматического ретикулума под влиянием электрического импульса. Импульс передается либо по аксонам нервных клеток, либо путем прямого электрического стимулирования мембраны мышечного волокна. При стимуляции мышечного волокна коротким электрическим импульсом возникает напряжение, развитие которого во времени выражается кривой с максимумом и перегибом [130]. При стимуляции серией коротких импульсов напряжение выражается совокупностью пико- образных кривых, причем каждый последующий максимум лежит выше предыдущего, пока не достигается стационарный режим. При больших частотах пики сливаются, образуя экспоненциальную кривую гладкого тетануса [131]. В этих условиях потенциал на мембране волокна меняется в течение опыта. В работе [132] были проведены измерения изометрического напряжения при фиксированном потенциале. Развитие напряжения во времени описывалось суммой двух экспонент. Из температурной зависимости скорости процесса получаются барьеры <?! « 19—20 иб!« 15—16 ккал/моль. Вместе с тем высота барьера для диффузии Са++ из ретикулума, определяемая по скорости насыщения ретикулума нонами Са++ [133], составляет 18—20 ккал/моль.
В работе [39] рассмотрена соответствующая двухбарьерная модель — первый барьер Gj соответствует диффузии Са++, второй G2 — замыканию мостнка, расщеплению АТФ и конформацион - ному переходу. Этот барьер соответствует рассмотренному в предыдущем разделе. Профиль свободной энергии изображен на рис. 5.24. Минимум / на рис. 5.24 соответствует состоянию системы, в котором большая часть Са++ сосредоточена в мембране ретикулума, 11 — состоянию, в котором Са++ находится в саркоплазме или на мостике до его замыкания, III — на сработавшем мостике.
На основании опытов по локальной деполяризации мышечного волокна предполагается, что напряжение ф, приложенное к его мембране, передается на мембраны саркоплазматического ретикулума. Ранее уже были проанализированы различные модели участия ионов Са++ в механизме изменения ионной проницаемости мембран нервных волокон под действием электрического поля (см. § 4.4).
100)
(5.101)
Пусть х\, х2, х3— числа ионов Са"^ в состояниях /, II, III-, Ы — их суммарное количество. Предполагается, что х3 <С xi - f - х2 и, следовательно, N Xi х2. Кинетические уравнения имеют вид
К\ = k~xN — (k\ + k-\)x\, х3 = k2N — k2x\ — k-2x3
Константы скорости указаны на рис. 5.24. Решение уравнений (5.100) записывается следующим образом:
(0 = . + (х\ (0) — xi J ехр vif
Рис. 5.24. Профиль свободной энергии.
*з (0 = *з+ « ехр Yi* + Р ехр \2(
Где Yi=—{k\ Y2=fe-2, и x3oo — стационарные значення
X\ и x3. Константы аир находятся из начальных условий. Имеем
N
1 + Ki
(5.103)
Х\^ = К\К2х3с — Л' Kl
(5.102)
Где К\,2 — к-и-2Ік\,2- в принятой модели Кі = ехр (- ф ZT/RT)-,
Здесь г— валетность частицы, Т —число Фарадея. Таким образом, k\, зависят от ф.
Можно считать, что при изометрическом сокращении напряжение, стимулированное импульсом, пропорционально числу
замкнутых мостиков, линейно зависящему от х3. Таким образом,
P(t) = g[x3(t)-x3], (5.104)
Где g — константа, х3— значение х3 при потенциале покоя. Из (5.102) и (5.104) легко найти стационарное напряжение Рж. Вводя безразмерные переменные я в= P^KJgN, (p = q>&~/RT, получаем
П 1+ехр(— 2ф) 1 + ехр (— 2ф0) ' (5.105)
Где фо — потенциал покоя в единицах RTjtF. Находим
"5ф = 2 [1 + ехр (-1ц>)}2" (5.106)
В точке перегиба кривой я(ф) имеем ехр(—2ф) = 1, т. е.
Dn d(р
(5.107)
Z
Перегиб 4
Опыт дает значение этой величины, близкое к 1 [132]. Следовательно, 2 ~ 4, что может означать перемещение двухвалентных ионов Са++ парами. При длительной фиксации потенциала параметры системы меняются один раз — в начале деполяризации. Начальные условия имеют вид
(0) = хи х3(0) = х3. (5.108) Константы а и р во втором уравнении (5.101) равны
А^-^Г^с-^з); Р = ^г(*з«-*з). (5.109) Из (5.102), (5.104) и (5.109) следует
Р (0 = р - (1+ ехр V,/ - ^^ ехр vrf) • (5.110)
Такой характер зависимости P(t) при фиксированном потенциале согласуется с опытом.
При кратковременной деполяризации внешние параметры меняются дважды: в момент наложения потенциала t — 0 и в момент его СНЯТИЯ t = Т. Допустим ДЛЯ простоты, ЧТО I Yl,21 х 1. На отрезке времени 0—% переменные ведут себя согласно системе уравнений (5.100) при начальных условиях (5.108). Ограничиваясь линейными членами по Yi,2t, находим
Хх (г) « X! + (*i — х! ф) Yit, І
Хз(т)~х3, > (5.111)
*зСО«(*зФ — х3) YlY2^, >
Где лгіф и лгзф — равновесные значения Х\ и х3 при потенциале <р. Из (5.104) следует
Р(т)да0, Р(х)^у1у2хР00. (5.112)
Это — начальные условия для развития напряжения при t > т. Равновесное напряжение в этих условиях равно нулю. Имеем при t> х
Р V) = 7 [- «Р VI (/ - т) + ехр y2(t - т)]; (5.113)
Yi есть значение уі = —+ при потенциале покоя ф = фо. Кривая, описываемая (5.113), имеет максимум при
И точку перегиба при t = 2tm. Это подтверждается опытом [130]. Максимальное напряжение при одиночном изометрическом сокращении равно
= • (5.114)
В работе [33] получено также более общее выражение для Ртах(т), выведенное без ограничения |ym|t < ^ ®Н0 имеет вид
/ Vo \ - Vi/(Vi-Vi)
Ршах = (1-ехру1т)Рсо(^-) X
Xfl +—Л +_v=_
^L ' Ya (1 — ехр \,т) Ч ' —\2 F T1
-^7ЄХРЇ2т)] . (5.115)
Экспериментальное значение РШах(т) линейно растет с т при малых т и достигает насыщения при т да 270 мс [132]. Формула (5.115) прекрасно согласуется с опытом.
Та же модель объясняет развитие тетануса при стимулировании мышцы серией коротких импульсов. Для напряжения, вызванного i'-м импульсом, можно написать аналогично (5.113)
+ Рі(х)~Хі{х) <5-ii6>
Начало отсчета времени в каждом периоде свое. Положение на общей шкале времени определяется номером периода і. Начальное напряжение Рі(х) и скорость его изменения Pj(-c) меняются от периода к периоду. Связь между ними можно установить с помощью системы уравнений (5.100)
Р, (Т) = й-2 [§ {М~2'(Х) - - P^(т)] • (5-117)
Величина *і, ї (т) находится путем последовательного решения первого уравнения системы (5.100) с двумя скачками параметров в каждом периоде. Для і-го импульса в области т ^ t ^ Т (Т — длительность периода) получаем
І (0 = + [(*іф — х{) — (х1ф — xi, і (0)) ехр yit] ехр yi (t — t). (5.118}
Начальные условия, имеющие смысл условий непрерывности, запишутся как
*ы(0) = *ы-1(7"); і(0) = *і - (5.119)
Решение цепочки уравнений (5.118) и (5.119) дает
І (т) = *1ф +
+ (і, - *1ф) ехр Y, T[l + (1 - ехр(- y, t)) 1 ^-І^Ґ]' (5-12°) где
K = bT + (Vi~Vi)r - (5-121)
В частном случае, когда частоты v=l/(T — т) малы, из (5.120) получается *і, ї(т) = *і, і(т), т. е. в течение периода Т система успевает прийти к исходному состоянию. Когда после начала наблюдения прошло достаточное время, т. е. ехр[(( — 1)х] «С 1, из (5.120) следует
' <т> = - *'*> ехр v (Т~-7)-Zl YIT) • (5.122)
В предельном случае очень больших частот Т->т имеем Хі, і(т)—» ~*xlv. Подставив (5.122) в (5.117) при условии Iyi^ItCI получаем
= 4 ехр(5.123) Максимальная величина функции Pt(t) равна
Рі max ) =
= \Рі(т) — — Pl(r) 1Г* ^W-^Wl-"^. (5.124)
L 'K ' Y2 JLY. Pi (Г) - ViPt (T) J V '
Условие стационарности режима состоит в равенстве напряжений в начале и в конце каждого периода. Пользуясь этим условием, получаем из (5.116)
(Y2 - Yl) Pi (т) = (Т) - Pi (*)] ехр Yl (Т-г)-
- [ЬРі « - Pi (T)J ехр Y2 (Т - т). (5.125)
Решая уравнения (5.123) и (5.125) относительно Р{(т) и РДт) и подставляя решения в формулу (5.124), получаем зависимость Pi max от частоты в стационарном режиме:
Ft mtxW exp(Y,/v)-1+y. Ly2 1-exp(Y,/v) J '
В двух предельных случаях очень больших и очень малых частот (напомним, что yi, Yi> У2 < 0)
Lim Pt max = P„, lim Pt max - - yitPco (Y./Y2)W(V!"W.
V-»oo v-»0
Первый случай соответствует фиксированному потенциалу, второй совпадает с формулой (5.114) для одиночного импульса.
Экспериментальный график зависимости Pim ax(v) выражается кривой с перегибом [131]. Дифференцируя уравнение (5.126), можно показать, что dP{ maJdv > 0 и стремится к нулю при v —»0 и v —► оо. Теоретическая кривая также имеет перегиб.
Р, „ 1 / v„4-Vi/(Vi-'?i) rі max 1 \2 \
Pi max Yi^
Сравним максимальную величину напряжения при одиночном сокращении (5.114) с Pjmax при больших частотах в стационарном режиме
/ V„ \ YIU T2 ТІ/ №) • <5Л27>
Опыт дает для этого отношения величину, равную нескольким единицам [131]. Если бы на том же объекте были проведены опыты, из которых находят параметры уь Yi> Y^- можно было бы с помощью выражения (5.127) дать теоретическую оценку этой величины. Yi и Y2 можно найти из кривой для единичного ответа. Для оценки Yi нужно иметь серию кривых одиночного ответа для разных т.
По параметрам напряжения при одиночном сокращении можно теоретически предсказать также форму кривой для случая тетануса. При больших частотах можно в выражении (5.116) разложить экспоненты в ряд и заменить кривые в каждом периоде отрезками прямых, а затем получившуюся ломаную линию заменить гладкой кривой. Ее уравнение имеет вид
P(0-P«(l-expYrf). (5Л28)
Параметр у2, найденный из одиночного ответа, равен 27 с-1 [131]. Согласно (5.128), он определяет и форму кривой для гладкого тетануса. И действительно, опытное значение уг. полученное из экспериментального графика для гладкого тетануса [131], равно 25—28 с-1.
Таким образом, теория, предложенная в работе [39], объясняет количественно большую совокупность опытных фактов. Модель, лежащая в основе этой работы, согласованна с моделью, принятой при рассмотрении стационарного сокращения мышцы и описанной в § 5.7.