Физическая оптика

Спектральные разложения в оптике

Метод спектральных разложений. Периодические функции. Ряд Фурье. Дис­кретный спектр. Спектральные амплитуды и фазы. Непериодические функ­ции. Интеграл Фурье. Сплошной спектр. Отрицательные частоты. Ком­плексная запись. Косинус-преобразование Фурье. Примеры. Связь между дли­тельностью импульса и шириной спектра. Спектр гармонического колебания. Дельта-функция и ее свойства. Дельтаобразный импульс. Полная и неполная спектральная информация. Спектральная плотность. Равенство Парсеваля.

Н •. Т!

Наряду с временным описанием модулированных колебаний и волн в оптике широко применяется альтернативный — спектральный метод. Познакомимся с этим методом, который базируется на математической теории рядов и инте­гралов Фурье.

Метод спектральных разложений. Основная идея спектрального описа­ния состоит в том, чтобы представить некоторую функцию времени (например, электрическое поле световой волны) в виде суммы гармонических колебаний разных частот

ОО

Е(г) = costJn* + bn sin Vnt). (Д4.1)

n=0

Набор частот шп и амплитуд ап, Ьп образуют спектр процесса E(t). Если изве­стен спектр, то можно восстановить временнбй ход процесса по формуле (Д4.1). Поэтому оба способа описания процессов (временнбй и спектральный) вполне эквивалентны. Однако по способу записи информации они существенно отли­чаются. В частности, возможен случай, когда сложной функции времени соот­ветствует простой спектр (рис. Д4.1, а) или наоборот (рис. Д4.1, б).

Разложение в спектр не только удобная математическая операция. Во мно­гих случаях оно осуществляется как реальное физическое явление. Классиче­ский пример такого рода — знаменитый опыт Ньютона, в котором стеклянная призма разлагает белый солнечный свет на семь основных цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый (рис. 1.6). Прибо­ры, действие которых основано на спектральном разложении света (призмы, решетки и т. п.) давно и широко применяются в экспериментальной оптике.

Периодические функции. Ряд Фурье. Дискретный спектр. Пусть некоторая функция времени /(£) является периодической, т. е. удовлетворяет условию

m = f(t + nT), (Д4.2)

где t — произвольный момент времени, п — любое целое число, Т — период функции f(t). Типичный вид периодической функции показан на рис. Д4.2.

Предположим, что функция /(<) кусочно-непрерывна и ограничена. Тогда, согласно теореме Дирихле, она может быть представлена в виде ряда

пппп

ш

I 1 1 г 1 1

а.) б)

Рис. Д4.1. Временное и спектральное описание процессов

(Д4.3)

/№ = у + ^2(a„cosu)nt +0nsmu)nt),

n=l

где

Т/2

2

Т

wn = nAw, Aw = 2к/Т, ао

-Т/2 Т/2

(Д4.4)

/ f(t)dt,

-Т/2

Т/2 Т/2

а" = Т / Дп = |; J f{t)sinwntdt.

-Т/2

-Т/2

Ряд (Д4.3) называется рядом Фурье, а коэффициенты а„ и /3„ — коэффици­ентами Фурье функции /(і). Индекс “п” в формуле (Д4.3) нумерует частоты wn составляющих функцию f(t) гармонических колебаний (“гармоник”). Как видно из формул (Д4.4), эти частоты разделены одинаковыми интервалами Aw = 2п/Т и образуют эквидистантную последовательность.

Нетрудно убедиться в правильности формул (Д4.4) для коэффициентов Фу­рье. Для этого достаточно умножить равенство (Д4.3) на coswmt или sin wmt, где m = 1,2,..., и проинтегрировать полученные соотношения по периоду функции /(t) от —Т/2 до Т/2. В математике доказывается единственность раз­ложения (Д4.3). Тем самым математическая задача разложения периодических функций на гармонические колебания полностью решена.

f(t)

і і і і і

/Го

>)

V Л I

“1

«>21 ^ ап ю Дш =2л/Т

Рис. Д4.2. Периодическая функция времени (а) и ее спектр (б)

Спектральные амплитуды и фазы. Пользуясь известными тригономе­трическими формулами, можно переписать ряд (Д4.3) несколько иначе:

ОО

/(*) = ^ /п COS(unt - (fin), (Д4.5)

n=l

где коэффициенты /„ и (р„ называются соответственно спектральными ам­плитудами и фазами функции f(t). Они связаны с коэффициентами Фурье соотношениями

ап = /п cos ifin, f3n = fn sin (fin,

(Д4.6)

fn = Д*п + @b 4>n = arctg(/3„/an).

Распределение спектральных амплитуд /п по соответствующим им частотам

о.',г гармоник называется спектром функции /(f). Спектр можно изобразить графически, откладывая по оси абсцисс частоты, а по оси ординат — спек­тральные амплитуды, как показано на рис. Д4.2, б.

Из нашего рассмотрения следует, что любой периодический процесс имеет дискретный спектр, т. е. спектр, состоящий из отдельных линий. Это важ­ное свойство периодических процессов. Вместе с тем, обратное утверждение справедливо не всегда. Только в том случае, если частотные интервалы ме­жду линиями кратны некоторому интервалу Аи> ф 0, соответствующий процесс является периодическим и имеет конечный период Т = 2ж/Аш.

Однако в оптике мы не имеем дела со строго периодическими процессами (хотя бы потому, что такие процессы бесконечны во времени). Поэтому важно обобщить спектральные представления и на непериодические процессы. Приме­ром такого процесса является излучение атома, которое затухает во времени и, следовательно, непериодично.

Непериодические функции. Интеграл Фурье. Сплошной спектр.

Рассмотрим некоторую непериодическую функцию времени /(f) и попытаемся найти ее спектр (рис. Д4.3). С математической точки зрения непериодическую

Л®)

/(*)

t

Рис. Д4.3. Непериодическая функция времени (а) и ее спектр (б)

ОО

функцию можно рассматривать как периодическую с периодом, стремящим­ся к бесконечности. Поэтому для спектрального разложения непериодической функции f(t) нужно перейти к пределу Т —► оо в формулах (Д4.3), (Д4.4). Та­кой переход возможен, если функция /(£) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости

(Д4.7)

Используя выражение (Д4.4) для Ды, перепишем формулу (Д4.3) в виде

Теперь перейдем к пределу Т —► оо. При этом в силу формул (Д4.8) и (Д4.4) получаем

а0 = 0,

-Т/2

Т/2

(Д4.9)

-Т/2

Т/2

Поскольку шп = п&ш, где Дш = 27г/Т, то в пределе при Т —> оо частотный интервал Дш стремится к нулю. При этом частота гармонических колебаний из дискретной переменной и>„ превращается в непрерывную переменную и>. По­этому, опуская индекс “п” в (Д4.9), введем новые обозначения

о(ш) = lim / f(t) coswtdt,

-Т/2

(Д4.10)

Т/2

Ь(и) = ^lim J f (t) sin wtdt.

-T/2

Наконец, переходя к пределу Т -» оо, Aw -» 0 в (Д4.8), заменяя предел суммы на интеграл и учитывая (Д4.9), (Д4.10), получаем

ОО

f{t) =

J [a(w) cos wi + b(uj) sin wi]dw, (Д4.11)

о

где

OO OO

a(w) = J f (t) cos u)tdt, 6(w) = J f(t) sin wtdt. (Д4.12)

—OO —OO

Интеграл (Д4.11) называется интегралом Фурье.

Формулы (Д4.11), (Д4.12) решают задачу о спектральном разложении непе­риодической функции времени. Выведем теперь несколько более компактных представлений для интеграла Фурье.

Спектральная амплитуда и спектральная фаза. Перепишем (Д4.11) в виде

ОО

f(t) = ~ J /(w) cos[wt - tp(w)]dw. (Д4.13)

о

Здесь f(oj) и <р(и>) называются соответственно спектральной амплитудой и спек­тральной фазой функции /(t)[18]. Пользуясь тригонометрической формулой

cos(q - 0) = cos a cos /З + sin a sin /З, (Д4.14)

преобразуем подынтегральное выражение в (Д4.13) и приравняем его подын­тегральному выражению в (Д4.11). Получим

/(w) cos[wt — </>(w)] =

= /(w) cos uit cos </> - I - /(w) sin u)t sin <p =

. = a(w) cos ut + b(w) sin ait. (Д4.15)

Приравнивая коэффициенты при функциях sin cut и coswt, находим связь ме­жду спектральными амплитудой и фазой с одной стороны и квадратурными компонентами а(ш) и Ь(ш) с другой:

Ь{ш)

а(и>) = f (ш) cos f(w) = у/а2(и>) + Ь2(ш),

а(ш)

Ь(ш) = f(w) sin <р(ш) = arctg

Обратим внимание на то, что непериодический процесс (в отличие от пери­одического) имеет сплошной спектр. Это следует из того, что спектральные характеристики процесса — а(и>) и b(to) или f(u>) и определяемые форму­лами (Д4.12) и (Д4.16) — являются непрерывными функциями частоты. Гра­фик спектральной амплитуды /(и>) имеет вид непрерывной кривой (рис. Д4.3). Таким образом, непериодическая функция — это суперпозиция гармоник, ча­стоты которых изменяются непрерывно.

Итак, по виду спектра можно судить о характере самого процесса. Напри­мер, из того, что спектр солнечного света сплошной (цвета плавно переходят один в другой, между ними нет промежутков), можно сделать вывод, что из­лучение Солнца — непериодический процесс.

Отрицательные частоты. Из формул (Д4.12), определяющих квадратур­ные компоненты а(и>) и Ь(ш), видно, что а(и>) — четная функция частоты, а Ь{ш) — нечетная: С

о(-ш) = о(щ), Ъ(—и>) = - Ь(ш). (Д4.17)

Поэтому (Д4.11) можно переписать в симметризованном по и виде:

ОО

/м-£/мо cos ut + b(uj) sin tot]cLj, (Д4.18)

— OO

где функции a{ui) и b(ui) определены фомулами (Д4.12).

В (Д4.18) мы впервые ввели отрицательные частоты, что позволило полу­чить более симметричную запись преобразований Фурье (см. (Д4.18) и (Д4.12), где все интегралы берутся теперь в бесконечных пределах). Подчеркнем, что отрицательные частоты введены формально математически. Содержание этого понятия полностью исчерпывается формулами

cos (—cot) = costot, sin(—wt) = — sinwi. (Д4.19)

Никакого иного смысла термин “отрицательные частоты” не несет. Разумеется, на самом деле (физически) отрицательных частот не существует, так же как нет отрицательных периодов гармонических колебаний. Отрицательные часто­ты введены математически для удобства. Фактически они фигурируют только на промежуточных этапах расчетов, а в окончательные формулы для измеря­емых физических величин никогда не входят.

Комплексная запись. Пользуясь формулой (Д4.15), перепишем (Д4.18) в виде

оо

(Д4.20)

f(t) = У /(w) cosM - ¥>(w)]dw.

— ОО

Теперь введем комплексную спектральную амплитуду

ЛМ = а(ш) - іЬ(ш). (Д4.21)

Пользуясь формулой Эйлера

= cos cut + і sinwt, (Д4.22)

выразим произведение fK(uj)e>ujt. Получим

/к(ш)егші = [а(ы) - ib(ui)](cosu>t + і sinujt) =

= a(u>) cos wt + b(u>) sinotf + i[a(u>) sinwi — b(u>) coswi]. (Д4.23) Обратим внимание на го, что действительная часть этого комплексного выра­

жения является четной функцией частоты ш, в то время как мнимая часть нечетной. Поэтому, интегрируя правую и левую части выражения (Д4.23) по частоте и в бесконечных пределах, получаем

W ОО

J du) = j [а(о>) cos tut + b(ui) sin ujtjduj. (Д4.24)

— OO —OO

В силу соотношений (Д4.18), (Д4.24)

OO

№ = ^ J (Д4.25)

Теперь найдем функцию ЛИ- По определению (Д4.21) и в соответствии с (Д4.12), (Д4.22) имеем

ОО ОО

ЛИ = / /(£) cos utdtt — г j f(t) sin ujtdt =

—OO —OO

OO

= J f (t)[cos uit - і sin uit}dt = J f(t)e lulidt. (Д4.26)

Суммируя результаты, запишем комплексные представления преобразований Фурье

■ j

f(t) = J ЛИ<И<И /x(w) = J те Ш<Л. (Д4.27)

Для упрощения записи опустим индекс “к” у комплексной спектральной ам­плитуды, тогда интегралы Фурье приобретают вид

ОО 00

№ = ^ J /и = I me-^dt. t (Д4.28)

Косинус-преобразование Фурье. Пусть /(£) — четная функция времени, т. е.

/(-О = (Д4.29)

Тогда, в силу формул (Д4.28),

ОО

/(w) = J /(t)[coswt - isinu;t]d£ =

“ОО

ОО оо

= J f(t) cos bjtdt — 2 J f(t) coswtdt. (Д4.30)

—оо 0

Отсюда следует, что спектральная амплитуда f(w) — действительная и четная функция частоты, т. е.

/и = /(-«). (Д4.31)

Используя (Д4.28) и (Д4.31), получим следующее выражение для функции f(t):

оо

/W ~ J /(w)[coswt 4- і sin wt]dw =

—ОО

ОО 00

= ^ J /(u>) cos uddw = f (ш) cos utdu). (Д4.32)

—оо 0

Итак, если /(і) — четная функция времени, то ее спектральная амплитуда является действительной и четной функцией частоты, а преобразование Фурье может быть записано в виде интеграла от действительной функции по поло­жительным частотам:

оо оо

№ = j /И cosLotdu), f(u>) = 2 J f(t) cos wtdt. (Д4.33)

о 0

Интегралы (Д4.33) называются формулами косинус-преобразования Фурье. Примеры. Рассмотрим в качестве примера прямоугольный импульс

««-{?’ !!!>!:

Подставляя (Д4.34) в (Д4.33), получим

f(u>) = 2/0т sinc(wr), (Д4.35)

где введена функция “sine”, определяемая формулой

• / smi. ___.

smc(x) =---------------------------------------------------------- . (Д4.36)

х

Прямоугольный импульс и его спектр показаны на рис. Д4.4.

Для импульса гауссовой формы ^

f(t) = /о exp (-і2/7-2) (Д4.37)

в соответствии с (Д4.28) имеем i — J.

f(uj) = у/ж/0техр(-ш2т2/4:). (Д4.38)

Для импульса экспоненциального вида

/(f) = /о exp(-|f|/r) (Д4.39)

фурье-спектр равен

Л"> = ТW да-4°)

Графики функций (Д4.37)-(Д4.40) изображены на рис. Д4.5 и Д4.6.

Связь между длительностью импульса и шириной спектра. Обра­

тим внимание на то, что во всех рассмотренных примерах ширина спектра Аш обратно пропорциональна длительности импульса At, т. е.

Alo ~ I/At. (Д4.41)

Указанная закономерность имеет общий характер и выражает одно из основ­ных свойств преобразования Фурье. Нетрудно обосновать это соотношение, ис­ходя из формулы (Д4.33) для спектральной амплитуды. На рис. Д4.7 изобра­жены график функции /(f) (сплошная кривая) и график функции coswf (пунк­тир). Согласно формуле (Д4.33),

ОО

f(w = 0) = 2 J f(t)dt, о

т. е. спектральная амплитуда на нулевой частоте есть постоянная величина, определяемая площадью импульса. Если частота ш увеличивается, то, как вид­но из (Д4.33), спектральная амплитуда f(u>) уменьшается. Убывание /(<д) про­исходит медленно до тех пор пока период функции coswf, равный 2n/uj, значи­тельно превышает длительность импульса At, т. е. в области частот, определя­емой неравенством

Т = 2ж/ш > Af.

Если же

Т <С Af,

то, как видно из рис. Д4.7, спектральная амплитуда стремится к нулю. Итак,

JW

-г 0 г

Рис. Д4.4. Прямоугольный импульс и его спектр

Рис. Д4.5. Гауссов импульс и его спектр

Рис. Д4.6. Экспоненциальный импульс и его спектр

{

/(u>) « /(ш = 0), если и) С 27г/Д£,

/(ш) « 0, если w > 2ir/At.

Область наиболее быстрого спада функции /(о>) приходится, очевидно, на ча­стоту

(Д4.42)

Дш = 27г/Д£,

которую можно принять за меру ширины распределения /(ы). Добавим, что формула (Д4.42) из приближенной превращается в точную, если использовать интегральные определения длительности импульса и ширины спектра:

Рис. Д4.7. Анализ соотношения между длительностью импульса и шириной спектра

ОО ОО

Д*= J f{t)dt/f(t = 0), Аш = J /(w)dw//(w = 0). (Д4.43)

— ОО —00

В этом случае соотношение (Д4.42) есть прямое следствие формул (Д4.28), причем оно справедливо независимо от конкретного вида функции f(t).

Спектр гармонического колебания. Модель гармонических колебаний и волн широко применяется в оптике, поэтому представляет интерес вычисление спектра монохроматического колебания

f(t) = fo cos w0i. (Д4.44)

Используя выражение (Д4.28) для /(w), а так же формулу Эйлера

cos w01 = і [exp (iui0t) + exp (-iwoi)], (Д4.45)

нетрудно получить для спектральной плотности гармонического колебания (Д4.44) следующее представление

/(w) = 7t/0[<5(w - w0) + <5(w + wo)], (Д4.46)

где введено обозначение (

оо

^ / ешЛ. СД4.47)

—ОО

Формула (Д4.47) является одним из возможных определений обобщенной функ­ции, называемой дельта-функцией Дирака. Появление обобщенной функции связано, очевидно, с тем, что функция (Д4.44) не удовлетворяет условию (Д4.7). Ввиду важности дельта-функции обсудим коротко ее основные свой­ства.

Дельта-функция и ее свойства. Из (Д4.47) следует, что интегральное представление для дельта-функции можно записать также в виде

ОО

6(ш) = ~ J cosutdt. s (Д4.48)

о

Из формулы (Д4.48) следует, что дельта-функция имеет вид бесконечно узкого и бесконечно высокого “выброса” в нуле (рис. Д4.8). При этом интеграл от дельта-функции есть конечная величина:

ОО

J 6(ш)<Ь = 1. (Д4.49)

— ОО _ ....

Из (Д4.28) следует соотношение

ОО

f{t)=h JJ fWeMt~в)d^de, (Д4.50)

— ОО

называемое формулой Фурье. Учитывая (Д4.47), можно переписать (Д4.50) в виде

оо. .

I №6{t-e)d6 = f{t). (Д4.51)

— 00

Последняя формула выражает основное свойство дельта-функции, которое можно назвать “свойством стробирования”. В частном случае, когда /(£) = 1, из (Д4.51) следует (Д4.49). Отметим еще несколько свойств дельта-функции, вытекающих из ее определения, и часто используемых в расчетах:

Ч-t) = S(t), (Д4.52)

оо

(Д4.53)

(Д4.54)

J S(at)dt = 1/|ог|,

—00

00

J 5(t)dt - 1/2.

о

Дельтаобразный импульс. Еще одной полезной моделью в оптике явля­ется процесс с постоянным спектром:

/(«)

б)

fo

О со

Рис. Д4.9. Гармоническое колебание (а) и дельтаобразный импульс (б): временное и спектральное представления

/(ш) = /о = const. (Д4.55)

Подстановка (Д4.55) в (Д4.28) приводит к следующему выражению для f(t):

т = Ш). (Д4.56)

Такой процесс мы будем называть дельтаобразным импульсом или процес­сом с белым спектром. Временные и спектральные картины гармонического колебания и дельтаобразного импульса показаны на рис. Д4.9. Отметим, что хотя оба эти предельные случая, строго говоря, нереализуемы физически, они весьма полезны как теоретические модели и наглядные образцы процессов с предельно узким и предельно широким спектрами.

Резюмируя, подчеркнем еще раз важный результат теории спектральных разложений: чем короче импульс, тем шире его частотный спектр. Примени­тельно к оптике это означает, что чем плотнее сконцентрирована энергия све­тового поля во времени, тем шире она распределена по спектру. В частности, предельно короткие импульсы света, длительность которых соизмерима с пе­риодом световых колебаний, обладают частотным спектром, ширина которого соизмерима с несущей частотой световой волны.

Полная и неполная спектральная информация. Спектральная плот­ность. В общем случае спектральная амплитуда /(w), определяемая формулой (Д4.28), является комплексной функцией частоты:

(Д4.57)

Модуль комплексной спектральной амплитуды представляет собой действи­тельную амплитуду гармоники с частотой со в спектре f(t), а аргумент <р(и>) — действительную фазу этого колебания. Таким образом, комплексность спек­тральной амплитуды связана с тем, что разные гармоники, образующие в со­вокупности процесс f(t), имеют, вообще говоря, различные фазы. Часто такая полная спектральная информация об оптическом процессе бывает не нужна. Более того, в оптике ее трудно экспериментально получить. Поэтому на прак­тике обычно используют более грубую спектральную характеристику процес­сов — спектральную плотность. По определению спектральной плотностью называется величина, равная квадрату модуля комплексной спектральной ам­плитуды:

SH = |/И|2. (Д4.58)

В этом выражении информация о фазах гармонических колебаний, составляю­щих процесс f(t), утрачена. Тем не менее, для оптики спектральная плотность является важной характеристикой процессов, поскольку именно она обычно измеряется в экспериментах. Согласно формуле (5.23), энергия гармоническо­го осциллятора определяется амплитудой и частотой колебаний. Это позволяет выявить физический смысл спектральной плотности светового поля. Он состо­ит в том, что спектральная плотность характеризует распределение энергии света по спектру. Именно эта характеристика света наблюдается и может быть экспериментально измерена в опытах типа опыта Ньютона (рис. 1.6).

Равенство Парсеваля. Докажем одну важную формулу, относящуюся к спектральной плотности, и позволяющую глубже понять ее физический смысл. В теории спектральных разложений эта формула носит название “равенство Парсеваля”. Она имеет вид

оо оо

I /a(t)A = JL J S(uo)cLo. (Д4.59)

— ОО —ОО

Для доказательства воспользуемся интегралами Фурье (Д4.28). Получим

ОО ОО ОО

I f2(t)dt = j dtf(t)± J f(uj)eiutdw =

TOC o "1-5" h z — OO —OO —OO

OO OO OO

= -L I cbof(u) j dtf(t)e± j dw/M/» =

—OO —OO —OO

OO OO

= h I l/M|2^=^ j s{u,)du.

— OO —OO

Напомним, что звездочка обозначает комплексное сопряжение.

Итак, равенство Парсеваля доказано. Применительно к оптике это соотно­шение имеет простой физический смысл. Если под процессом f(t) понимать напряженность электрического поля световой волны в некоторой фиксирован­ной точке пространства, то величина

00 ОО ОО ОО

j f(t)dt = J E*(t)dt = Ц; J 7ЮЛ = ^ J P(t)dt =

—oo —oo —oo —OO ' ■

оказывается пропорциональной энергии светового импульса, прошедшей через площадку единичной площади в окрестности данной точки. С другой стороны, согласно равенству Парсеваля, та же самая величина (энергия) равна инте­гралу по всем частотам от спектральной плотности поля S(u). Это означает, что спектральная плотность описывает распределение энергии светового им­пульса по частотам. В этом состоит физический смысл данной характеристики излучения.

Физическая оптика

Из истории физической оптики

Цитаты из оригинальных работ Франкена, Бломбергена, Ахманова, Хохлова. Питер Франкен. Генерация второй оптической гармоники. Развитие импульсных рубиновых оптических мазеров1,2 сделало возможным получение монохроматических (6943 А) световых пучков, которые при фокусировке …

Нелинейная пространственная динамика световых полей

Самоорганизация светового поля в нелинейных системах с обратной связью. Оптическая синергетика. Оптическое моделирование нейронных сетей. В течение длительного времени в нелинейной оптике исследовались про­блемы временной динамики светового поля. При этом …

Оптика фемтосекундных лазерных импульсов

Предельно короткие импульсы света и сверхсильные световые поля. Генера­ция фемтосекундных световых импульсов. Новое поколение твердотельных фемтосекундных лазеров. Фемтосекундные технологии. Фемтосекундные ла­зерные импульсы в спектроскопии. Управление амплитудой и фазой молеку­лярных колебаний …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.