Физическая оптика

Нелинейная оптика

Основные эффекты нелинейной оптики. Механизмы оптической нелинейно­сти. Нарушение принципа суперпозиции для сильных световых волн в среде. Материальное уравнение нелинейной среды. Нелинейная поляризация. Нели­нейная восприимчивость. Классическая модель нелинейной среды — ансамбль нелинейных осцилляторов. Оптическое детектирование.

Лекция посвящена физике взаимодействия мощного лазерного излучения с веществом. Рассматриваются основные эффекты нелинейной оптики, излага­ются основы теории, обсуждаются применения нелинейно-оптических явлений.

Основные эффекты нелинейной оптики. Механизмы оптической нелинейности. Нелинейная оптика изучает процессы взаимодействия света и вещества, характер протекания которых зависит от интенсивности света. Это такие явления, как генерация оптических гармоник, “выпрямление” света, вы­нужденное рассеяние света, самофокусировка световых пучков и самомодуля - ция импульсов, двухфотонное или многофотонное поглощение света, оптиче­ский пробой среды и т. п. Рассмотрим некоторые из этих явлений.

Генерация второй оптической гармоники. Это явление состо­ит в удвоении частоты света при распространении мощного лазерного пучка в кристалле. Механизм процесса связан с нелинейностью элементарного атомно­го осциллятора.

Удвоение частоты света в кристалле было первым нелинейно-оптическим эффектом, обнаруженным вскоре после создания лазера. Схема опыта Франке - на, в котором наблюдался этот эффект, показана на рис. 22.1. Излучение руби­нового лазера, имеющее длину волны Ai = 6943 А, фокусировалось в кристалл кварца. Излучение, выходящее из кристалла, разворачивалось в спектр с помо­щью дисперсионной призмы и фокусировалось на фотопластинку. Опыт пока­зал, что помимо света на частоте лазера из кристалла выходит свет на удвоен­ной частоте (“вторая гармоника”), имеющий длину волны = Ai/2 = 3471,5 А. Несмотря на то, что излучение второй гармоники в опыте Франкена было чрез­вычайно слабым, этот опыт сыграл принципиальную роль, положив начало развитию нелинейной оптики.

Последующие опыты показали, что при использовании других кристаллов эффективность генерации второй гармоники может быть резко повышена. К на­стоящему времени разработаны методы, позволяющие преобразовывать в гар­монику значительную долю лазерного излучения; в некоторых случаях удается получить КПД генерации близкий к 100%.

На лекции демонстрируется генерация второй гармоники излучения неоди­мового лазера в кристалле ниобата лития или KDP. Схема опыта подобна по­казанной на рис. 22.1. Лазерное излучение имеет длину волны 1,06 мкм, вторая гармоника — 0,53 мкм. На белом экране в затемненной аудитории наблюдают­ся яркие вспышки зеленого цвета (вторая гармоника). Эффективность генера­ции гармоники в этом опыте превышает 10%. Опыт показывает, что мощность гармоники максимальна при некотором определенном положении кристалла. Поворот кристалла относительно этого положения резко уменьшает эффектив­ность генерации. Следует отметить также, что гармоника генерируется лишь

при достаточно высокой интенсивности лазерного излучения, достигаемой за счет фокусировки лазерного пучка в кристалл.

Генерация второй оптической гармоники была впервые продемонстрирована в 1961 г. В настоящее время этот эффект широко применяется для преобразо­вания частоты лазерного излучения.

Вынужденное комбинационное р ас сеяние света. Этот эффект состоит в том, что в поле мощного лазерного пучка среда генерирует интенсив­ное излучение, сдвинутое по частоте относительно лазера на величину, равную частоте молекулярных колебаний. Механизм процесса тот же, что при спон­танном рассеянии — модуляции света молекулярными колебаниями. Однако в отличие от спонтанного рассеяния, которое является очень слабым и направле­но во все стороны, вынужденное рассеяние напоминает лазерную генерацию. Мощность и направленность вынужденного рассеяния соизмеримы с анало­гичными параметрами лазерного пучка. Причина этого состоит в том, что вы­нужденное рассеяние происходит не на хаотических тепловых молекулярных колебаниях, а на колебаниях, возбужденных и сфазированных светом в боль­шом объеме среды. Переход спонтанного рассеяния в вынужденное происходит при превышении интенсивностью возбуждающего света некоторой определен­ной величины, называемой порогом ВКР.

Впервые вынужденное комбинационное рассеяние наблюдали Вудбери и Нг (1962) при изучении режима модуляции добротности рубинового лазера с по­мощью керровской ячейки с нитробензолом. Они обнаружили появление в из­лучении лазера инфракрасной компоненты, частота которой была на 1345 см-1 меньше частоты основного излучения лазера. Поскольку частотный сдвиг со­впадал с одной из собственных частот колебаний молекулы нитробензола, было высказано предположение, что появление инфракрасной компоненты связано с комбинационным рассеянием света в нитробензоле, а большая интенсивность излучения обусловлена вынужденным характером процесса, при котором моле­кулярные колебания сильно раскачиваются светом. Это предположение было подтверждено в последующих опытах с различными жидкостями, а также с газами и твердыми телами.

На лекции демонстрируется вынужденное комбинационное рассеяние света в жидком азоте. Схема опыта показана на рис. 22.2. Излучение второй гармо­ники неодимового лазера с длиной волны 0,53 мкм фокусируется в кювету с жидким азотом. Излучение, выходящее из кюветы, через призму направляется на экран. Во время лазерного импульса на экране появляются пятна зеленого и оранжевого цвета. Зеленое пятно соответствует второй гармонике лазера, а оранжевое пятно — излучению вынужденного комбинационного рассеяния с

длиной волны 0,61 мкм. Частотный сдвиг между этими волнами равен частоте молекулярных колебаний в жидком азоте и составляет 2326 см-1. Опыт по­казывает, что вынужденное комбинационное рассеяние наблюдается лишь при достаточно высокой интенсивности света, достигаемой с помощью фокусировки пучка в кювету. В отличие от процесса спонтанного комбинационного рассея­ния, характеризуемого очень малой интенсивностью, вынужденное рассеяние имеет высокую интенсивность, соизмеримую с интенсивностью лазерного луча. Это обстоятельство позволяет создавать эффективные преобразователи лазер­ного излучения на основе процесса ВКР. В настоящее время такие преобразо­ватели используются как для преобразования частоты излучения, так и для улучшения пространственной когерентности света, а также для компрессии (со­кращения длительности и увеличения мощности) лазерных импульсов. Кроме того, на основе процесса ВКР можно осуществлять когерентное суммирование излучений нескольких лазерных модулей.

Возбуждение когерентных молекулярных колебаний с помощью пары све­товых волн (метод бигармонической накачки) используется в спектроскопии когерентного антистоксова рассеяния света (КАРС).

Самофокусировка света. Эффект состоит в том, что в поле мощного лазерного пучка среда приобретает фокусирующие (линзовые) свойства. В ре­зультате световой пучок “схлопывается”, превращаясь в тонкую светящуюся нить, или распадается на несколько таких нитей.

Механизм самофокусировки связан с изменением показателя преломления среды под действием мощной световой волны. Причины этого могут быть раз­ными. Например, электрострикция в световом поле приводит к появлению да­вления, изменяющего плотность среды в области, занятой световым пучком, а следовательно, и показатель преломления среды. В жидкости сильное свето­вое поле приводит к ориентации анизотропно поляризующихся молекул за счет взаимодействия света с наведенным дипольным моментом, при этом среда ста­новится анизотропной, а средний показатель преломления для ориентирующего поля возрастает. Этот эффект принято называть высокочастотным эффектом Керра; изменение показателя преломления здесь, как и в хорошо известном статическом эффекте Керра, происходит за счет “выстраивания” молекул по полю. Зависящая от интенсивности световой волны добавка к показателю пре­ломления может быть связала также с нелинейностью электронной поляриза­ции. Наконец, изменение плотности, а следовательно и показателя преломле­ния, может быть связано с нагревом среды, вызванным диссипацией энергии мощной световой волны.

Самофокусировка света была теоретически предсказана Аскарьяном в 1962 г., а экспериментально впервые наблюдалась Пилипецким и Рустамовым в 1965 г. В их опытах были фотографически зарегистрированы узкие светя­щиеся нити в органических жидкостях, облучаемых сфокусированным пучком рубинового лазера.

На рис. 22.3 показана фотография одномодового лазерного пучка на вы­ходном окне кюветы с толуолом при различных длинах кюветы. Рис. 22.3, а соответствует короткой кювете, в которой пучок не успел сфокусироваться (диаметр пучка 700 мкм). На рис. 22.3,6 длина кюветы близка к длине са­мофокусировки, диаметр пучка составляет примерно одну десятую от перво­начального значения (50 мкм). На рис. 22.3, в длина кюветы достаточна для наступления самофокусировки, пучок имеет вид нити с предельным значением диаметра 10 мкм. На рис. 22.4 показана фотография испытавшего самофоку­сировку многомодового лазерного пучка на выходном окне кюветы с сероугле­родом.

На лекции демонстрируется тепловое самовоздействие излучения аргоново­го лазера в слабопоглощающей жидкости. Схема опыта показана на рис. 22.5. Лазерный луч проходит через кювету, заполненную спиртом, и направляется на экран. Для увеличения эффекта в спирт добавляют поглощающий лазер­ный свет краситель, например фуксин. В режиме малой мощности лазера на экране наблюдается пятно, размер которого определяется обычной дифракци­онной расходимостью лазерного пучка. При переключении лазера на полную мощность расходимость пучка и размер пятна на экране резко возрастают, что обусловлено действием тепловой (в данном случае дефокусирующей) линзы, наведенной в жидкости лазерным пучком. Самодефокусировка света вызва­на тем, что поглощающая свет жидкость сильнее нагревается вблизи оси ла­зерного пучка, где интенсивность света максимальна. Нагревание приводит к

'К

4 -

д

тепловому расширению жидкости, уменьшению ее плотности и показателя пре­ломления и, в конечном счете, формирует тепловую дефокусирующую линзу, увеличивающую угловую расходимость лазерного пучка. Механизм эффекта поясняет рис. 22.6.

Те же самые механизмы обусловливают и другой эффект нелинейного само - воздействия света — самомодуляцию светового импульса. При самомодуляции импульса, которая может происходить, например, в оптическом волокне, резко расширяется частотный спектр импульса, что дает возможность путем после­дующей компрессии получать предельно короткие световые импульсы. Данный эффект используется в системах генерации фемтосекундных лазерных импуль­сов.

Нелинейный материал, помещенный в оптический резонатор, демонстриру­ет свойства бистабильного элемента и может быть использован как элемент оптического компьютера (см. рис. 8.7). Нелинейный элемент в системе с дву­мерной обратной связью позволяет генерировать структуры светового поля ти­па спиральных волн, вращающихся волн, а также наблюдать “оптическую тур­булентность” . Адаптивные нелинейно-оптические системы используют в насто­ящее время для моделирования динамики нейронных сетей (рис. 22.7, 22.8, см. также дополнение 17). Краткая сводка основных эффектов нелинейной опти-

ки и их применений дана в табл. 22.1. Отметим, что нелинейная оптика, про­шедшая уже почти 40-летний путь развития, продолжает прогрессировать, а область ее приложений непрерывно растет.

Нарушение принципа суперпозиции для сильных световых волн в среде. При всем многообразии нелинейно-оптических явлений можно выде­лить некоторые общие черты, присущие каждому из них. Во-первых, это силь­ная зависимость от интенсивности света. Как правило, нелинейно-оптический эффект становится заметным лишь при достаточно большой интенсивности све­та. Не случайно поэтому, что нелинейная оптика появилась лишь после созда­ния лазера. Нелинейная оптика — это оптика сильных световых полей, оптика мощных лазерных пучков. Во-вторых, для нелинейных эффектов характер­но нарушение принципа суперпозиции. Принцип суперпозиции состоит в том,

Преобразование поля

ЧЕХ

Нелокальность связей

Рис. 22.7. Нелинейный резонатор с двумерной обратной связью

что различные световые волны, отличающиеся частотой, направлением рас­пространения, поляризацией, распространяются и взаимодействуют со средой независимо друг от друга. В нелинейной оптике это не так. Как мы видели, в нелинейно-оптических процессах возникают новые спектральные компонен­ты поля, различные световые волны сильно взаимодействуют между собой, происходит энергообмен между ними вплоть до полного преобразования одной волны в другую. Типичный пример такого рода — генерация второй оптиче­ской гармоники. Итак, в нелинейно-оптических процессах мы сталкиваемся с нарушением принципа суперпозиции. Можно сделать и обратное утверждение: нарушение принципа суперпозиции так или иначе связано с нелинейным эф­фектом.

Материальное уравнение нелинейной среды. Теория нелинейно-оп­тических явлений строится на основе материальных уравнений и уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла для диэлектрической нейтральной немаг­нитной среды имеют вид

где

D = Е + 4ігР.

Из уравнений Максвелла вытекает волновое уравнение

1 д2Ё 4тг 82Р

rot rot Е +

с2 dt2

которое в случае изотропной среды принимает вид

1 d2i 4тг d2P

В уравнениях (22.1), (22.2) Ё — напряженность электрического поля свето­вой волны, Р — поляризация среды. Уравнения (22.1) и (22.2) справедливы в равной мере как для линейных, так и для нелинейных сред. Согласно этим уравнениям, поляризация среды есть источник светового поля.

Поляризация среды, в свою очередь, возникает под действием падающей световой волны. Наведение поляризации световым полем описывается матери­альным уравнением

Р = Р(Ё),

которое отражает структуру и свойства среды. Простейшее материальное урав­нение нелинейной среды имеет вид

Р = хЕ + х(2)Я2 + Х(3)Я3 + • • ■ • (22.3)

Согласно этому уравнению поляризация среды есть нелинейная функция на­пряженности светового поля. С математической точки зрения именно это обсто­ятельство (нелинейность материального уравнения) является причиной нару­шения принципа суперпозиции для световых волн в нелинейной среде. Из урав­нений (22.1)-(22.3) непосредственно вытекает возможность генерации оптиче­ских гармоник и других нелинейно-оптических эффектов. Заметим, что отно­

сительная величина нелинейных слагаемых в (22.3) возрастает с увеличением напряженности светового поля, т. е. с увеличением интенсивности световой вол­ны. Это объясняет тот факт, что нелинейные эффекты наблюдаются прежде всего в сильных световых ПОЛЯХ.

Коэффициенты х, 5 х(3)> ■ • ■ зависят от свойств среды и называются оптическими восприимчивостями. В частности, а— линейная оптическая вос­приимчивость, х^ — нелинейная восприимчивость второго порядка, х^ — нелинейная восприимчивость третьего порядка и т. д.

Нелинейная поляризация. Часть поляризации среды, нелинейно завися­щая от напряженности светового поля, называется нелинейной поляризацией. Выделяя в поляризации среды линейную и нелинейную компоненты, можно записать:

Р = Рл + Р„л. (22.4)

Подставив (22.4) в (22.1), (22.2), получим волновые уравнения в форме

х А ft 1 д2Ё 4тг д2Р„ 4тг 92РМ

° + с2 dt2 + с2 dt2 ~ с2 dt2 ( )

для нелинейной анизотропной среды и

с2 dt2 с2 dt2 ~ с2 dt2 ( )

для нелинейной изотропной среды. Из (22.3)-(22.6) видно, что нелинейная по­ляризация среды является источником новых спектральных компонент поля (оптических гармоник, комбинационных частот и т. п.).

Материальное уравнение вида (22.3) описывает изотропную нелинейную среду с безынерционным локальным откликом на световое поле. Аналогичное уравнение для анизотропной нелинейной диспергирующей среды имеет вид

ОО

Pa(t) = J ха0(т)Е0Ц - т) dr +

о

ОО ОО

+ 11 Т2)Е^1 ~ Т1)Ет(* ~ ъ) dn dr2

О о оо оо оо

+111 X<a^s(-Tl, Г2,Т3) X

х E0{t - n)Ey(t - T2)Es{t - т3) dn dr2 dr3 -1------------------------------------- .--------------------- (22.7)

Здесь индексы a, 0, 7, • • • пробегают значения, нумерующие декартовы оси ко­ординат. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Функ­ции
имеют смысл тензорных функций Грина, характеризующих линейный и нели­нейный отклик среды на импульсное воздействие.

Для сред с нелокальным откликом функции Грина зависят не только от времени, но и от координат:

ХаР = Хар(т;г), Ха0у = Ха0у(П, Т2;ГиГ2)

и т. д. В этом случае в материальное уравнение (22.7) следует добавить ин­тегрирование по пространственным переменным. Учет нелокальное™ важен в тех случаях, когда элементарные осцилляторы среды, расположенные в раз­личных точках пространства, связаны и взаимодействуют между собой. Среды, обладающие таким свойством, называют средами с пространственной диспе­рсией. К их числу относятся некоторые типы кристаллов, а также плазма.

Нелинейная восприимчивость. Материальное уравнение (22.7) предста­вляет собой обобщение уравнения (21.19) на случай нелинейной среды. Обобщая формулу (21.206)

ОО

хар(ш) = J ха/з(т)е~ШТ<1т, (22.8)

о

определяющую линейную оптическую восприимчивость хар(ю), введем нели­нейные восприимчивости среды

оо оо

^Ц, ш2) =

о о

оо оо оо

Xahsfa’bb’V*) = f J f xS7i(rbT2,T3) X

ООО

x exp [—i(wiTi + lj2t2 + W3T3)] dTidT2dT3 (22.9)

и т. д. Аналогичные величины для сред с пространственной дисперсией зависят не только от частот, но и от волновых векторов к, к, к2 и т. д. Заметим, что восприимчивости среды, определенные формулами (22.8), (22.9), имеют ту же размерность, что и восприимчивости в формуле (22.3).

Зависящий от интенсивности света показатель преломле­ния. Обычно в изотропных нелинейных средах низшей нелинейностью, отлич­ной от нуля, является кубичная нелинейность. В приближении безынерцион­ного отклика материальное уравнение такой среды имеет вид

Р = хЕ + х(3)Е3. (22.10)

В этом же приближении показатель преломления среды п определяется фор­мулами D = Е + 4жР ■ єЕ = п2Е, откуда

гг = у'і + 4ir Р/Е. (22.11)

по = у1 + 4ях.

Выразим квадрат напряженности электрического поля через интенсивность I световой волны. Пользуясь формулой I = сЕ2/8тт, получим

п — По + п2І,

где

(22.15)

здесь по — линейный показатель преломления среды, с — скорость света.

Формула (22.14) показывает, что в средах с кубичной нелинейностью по­казатель преломления зависит от интенсивности света. Этот эффект приво­дит к самовоздействию световых волн, в частности, к таким эффектам как самофокусировка светового пучка, фазовая самомодуляция импульса, биста­бильность резонатора, заполненного нелинейной средой и т. п. Величина п2, имеющая размерность обратной интенсивности света, является удобной харак­теристикой кубичной нелинейности среды. Например, для кристалла кварца п2 = 3 х 10"16 см2/Вт.

Конкретный механизм, приводящий к нелинейности типа (22.14), может быть связан, например, с поворотом анизотропных молекул жидкости в поле мощной поляризованной световой волны. Поскольку такой же механизм лежит в основе двойного лучепреломления света, наведенного постоянным электриче­ским полем (“эффект Керра”), зависимость показателя преломления от интен­сивности света называют высокочастотным эффектом Керра, а нелинейность (22.14) — нелинейностью керровского типа.

Оценки. Оценим линейную и нелинейные оптические восприимчивости среды, например кристалла. Линейная оптическая восприимчивость х связана с показателем преломления среды п формулой п2 = 1+47гх. Типичное значение показателя преломления для кристалла составляет п = 1,5. Исходя их этой цифры, получаем оценку

х = 0,1.

Для оценки квадратичной восприимчивости х^ воспользуемся материальным уравнением (22.3). Согласно этому уравнению, размерность х(2' определяется формулой НА

Х(2) = х/Е.

Воспользуемся формулой (22.17) для количественной оценки. Поскольку вос­приимчивость есть характеристика вещества, в качестве напряженности элек­трического поля Е в (22.17) следует подставить некоторую величину, характер­ную для среды. Характерным масштабом поля в среде является напряженность внутриатомного электрического поля, которую можно оценить по формуле

где е — заряд электрона, а — размер атома. Полагая е = 4,8 х 10 10 СГСЭ, а = 0,5 х 10“8 см (боровский радиус), получим

£ат = 2 х 107СГСЭ. (22.19)

Если теперь подставить (22.19) в (22.17), то получим

Х(2) =5х 1(Г9СГСЭ. (22.20)

Полученная оценка правильно указывает порядок величины квадратичной не­линейной восприимчивости кристалла. Например, для кристалла KDP, широ­ко применяемого в нелинейной оптике, = 3 х 10-9 СГСЭ. Как видно из (22.17), размерность х^2* обратна размерности напряженности электрического ноля. Следовательно,

[х«] = г“1/2 • см1/2 • с = эрг_1/2 • см3/2. (22.21)

Аналогичным образом можно оценить кубичную нелинейную восприимчи­вость х^- Используя материальное уравнение (22.3) и полагая Е = £ат, полу­чим

Х(3) = х/£2т. (22.22)

Численная оценка по формулам (22.22), (22.16), (22.19) дает

Х(3) = 2,5 х 1(Г16 СГСЭ = 2,5 х 1(Г16 см3/эрг. (22.23)

Реальная величина х*3 например для кристалла кварца, равна 10"14 см3/эрг. Имеются, однако, материалы, обладающие значительно более высокой кубиче­ской восприимчивостью. Данные о некоторых из них представлены в табл. 22.2.

Представляет интерес сравнить между собой величины линейной и нели­нейной поляризации среды - Например, ограничиваясь нелинейностью второго порядка, можно записать

Р = РЛ + pW =хЕ + х[2)Е2

и

= Х(2)Е2 _ х(2)Е Р„ хЕ х Если теперь использовать для оценки формулу

Х(2) = */£ат, (22.24)

то получим

р£)/Рл = Е/Е&т. (22.25)

Таким образом, отношение квадратичной поляризации среды к линейной равно отношению напряженности электрического поля световой волны к напряжен­ности внутриатомного поля. Аналогичным образом получаем

Р£>/Рл = (Е/Е&Т)2 (22.26)

и т. д. Оценим величину Е/Елг. Интенсивность света I связана с напряженно­стью поля Е световой волны формулой I = сЕ2/ 87г. Отсюда Е = ^SttI/c. Пола­гая I = 109 Вт/см2 = 1016 СГСЭ, с = 3 х Ю10 см/с, получим Е = 3 х 103 СГСЭ. Отсюда, используя (22.19), получаем

£/£ат = ИГ4. (22.27)

Таким образом, для данной интенсивности света (109 Вт/см2) относительная величина нелинейной поляризации оказывается весьма мала. Тем не менее, нелинейный эффект может быть сильным благодаря тому, что он может нака­пливаться в процессе распространения световой волны.

Классическая модель нелинейной среды — ансамбль нелинейных осцилляторов. Механизмы оптической нелинейности весьма разнообразны (см. табл 22.1). Однако наиболее универсальным из них можно, по-видимому, считать механизм, связанный с нелинейностью элементарного осциллятора сре­ды — атома или молекулы. Вычислим нелинейную поляризацию и нелинейную восприимчивость среды, рассматривая ее как ансамбль нелинейных осцилля­торов.

Нелинейный осциллятор. Используя второй закон Ньютона, уравне­ние движения осциллятора запишем в виде

тх = Евозвр + е£. (22.28)

Здесь т — масса электрона, е — заряд электрона, х — смешение центра элек­тронного облака относительно атомного ядра (рис. 22.9), Е — напряженность электрического поля световой волны, £ВОЗвр — возвращающая сила, обусло­вленная притяжением электрона к ядру и связанная с потенциальной энергией U (гг) электрона в поле ядра соотношением

Рис. 22.9. Классическая модель атома

■^возвр — (22.29)

В окрестности положения равновесия электрона (х = 0) потенциальную энер­гию U(х) можно представить в виде разложения по степеням х:

U(x) = ах2 + /Зхъ + ■■■ . (22.30)

z <3

График зависимости потенциальной энергии от электронной координаты схе­матически показан на рис. 22.10. Первое слагаемое в (22.30) соответствует па­раболическому приближению (пунктир на рис. 22.10). Остальные слагаемые описывают отличие формы реальной потенциальной ямы от параболической. Учет этих слагаемых важен, если амплитуда колебаний электрона достаточно велика. Последнее может иметь место в поле световой волны большой интен­сивности. Подставив (22.30) в (22.29), получим

^возвр = - ах - 0х2 - I . (22.31)

Таким образом, возвращающая сила оказывается нелинейной функцией смеще­ния. Подставляя (22.31) в (22.28) и ограничиваясь учетом первой нелинейной поправки, получим уравнение

х + u)gx + 7Х2 = — Е, (22.32)

т

где и;2 = а/тп — собственная частота колебаний осциллятора, 7 = (З/m — па­раметр нелинейности. Добавим в левую часть уравнения (22.32) слагаемое Гх, описывающее затухание электронных колебаний. В итоге получим уравнение

х + Гх + ljqX + 7Я2 = — Е.

Итак, уравнение (22.33) описывает колебания атомного осциллятора под дей­ствием поля световой волны. Данное уравнение учитывает нелинейность ос­циллятора, которая становится существенной, если амплитуда колебаний до­статочно велика. Ангармонизм элементарного осциллятора приводит к появле­нию нелинейной поляризации среды.

Поляризация среды. Поляризация среды Р определяется как диполь - ный момент единицы объема. Считая среду однородной, запишем

Р = Np,

где N — число атомов в единице объема,

(22.35)

р — дипольный момент элементарного осциллятора (атома), е — заряд элек­трона, х — смещение электрона относительно положения равновесия, опре­деляемое уравнением (22.33). Таким образом, для вычисления поляризации среды необходимо решить уравнение (22.33).

Точное решение этого уравнения неизвестно. Здесь мы сталкиваемся с ти­пичной для нелинейной оптики ситуацией, когда уравнение, описывающее не­линейный эффект, не имеет точного решения или это решение настолько слож­но, что практически им трудно воспользоваться. В этих условиях приходится прибегать к различным приближенным методам, причем выбор конкретного метода для каждой задачи, вообще говоря, индивидуален.

Метод возмущений. Одним из наиболее универсальных методов анали­за нелинейных систем является метод возмущений. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы сначала описать движение системы в линейном прибли­жении, а затем рассмотреть нелинейный эффект как малую поправку.

Предположим, что амплитуда колебаний осциллятора настолько мала, что в любой момент времени нелинейный член в уравнении (22.33) много меньше линейных слагаемых, в частности,

I712! «С |wgx|,

ИЛИ

(22.37)

Тогда решение уравнения (22.33) можно представить в виде

X — Хл - і - £нл,

где хл — решение линейного уравнения

771

а х„л — нелинейная поправка, малая по сравнению с хл:

(22.40)

Линейное приближение. Запишем световое поле в виде плоской мо­нохроматической волны

Е = if + к. с. (22.41)

и подставим (22.41) в (22.39). Решение уравнения (22.39) ищем в виде

хл = ^х„е^~^ +к. с. (22.42)

Подставив (22.42) в (22.39), находим

е 1

771 Ll>q — оЛ + ІшГ

или

х„ — а(ш)£, (22.44)

где введена величина

“И =---------------------------------------------------- 2----- аТ^г’ (22-45)

тп wg - иг + ъи>Т

которая называется линейной поляризуемостью атома. Тем самым задача в линейном приближении решена.

Расчет нелинейной поправки. Подставив (22.38) в (22.33), получим уравнение

Ёл + Ёнл + Гіл + Гх„л + u)qXji + ш%х„л + j(xl + хл + 2хлхнл) = —Е. (22.46)

т

В силу уравнения (22.39) часть членов в этом уравнении сокращается и оно приобретает вид

Ё„л + Гхнл + и>$хнл + 7(хл + х2нл + 2хлхнл) = 0. (22.47)

Среди оставшихся членов выделим члены низшего порядка малости, а осталь­ными пренебрежем. В силу (22.40)

xl+x^vxl (22.48)

В силу (22.37)

^оХнл + 2^хлхпл = (и)1 + 2'ухл)хнл » ШоХнл. (22.49)

В итоге получаем уравнение

хнл -Ь Гхнл + uJqXhji = Г)/хл. (22.50)

Таким образом мы произвели линеаризацию исходного нелинейного уравнения (22.33) по малому параметру х„л.

Уравнение (22.50) представляет собой линейное уравнение вынужденных колебаний, в котором роль вынуждающей силы играет член 7ХЛ, определяемый решением уравнения движения электрона в линейном приближении. Найдем решение уравнения (22.50). Согласно (22.42)

xl = + \хл2 + к. с. (22.51)

Таким образом, вынуждающая сила содержит постоянную составляющую и переменную компоненту, осциллирующую на частоте второй гармоники 2и. В силу линейности уравнения (22.50), такую же структуру будет иметь и вели­чина х„л. Поэтому ищем решение в виде

Хнл(t) = ^ж2е*(2а,< 2*г) + iz0 + K. c. (22.52)

2 ' 2" Подставив (22.51), (22.52) в (22.50), получим уравнение

^(ыд ~ 4<д2 + 2шТ)х2е^2ші 2кг ) - I - о + к. с. =

в £i

= -^4xlei(2wt-2kf) - ^7|їл|2 + к. с.

(22.53)

4 ' л 4

Приравнивая коэффициенты при экспонентах, а также постоянные слагаемые, находим

Хо~ 2 32,їл|2’ Х2_ 2(wq — 4cJ2 + 2ішТ)Х*' (22-54)

Таким образом, нелинейная поправка вычислена.

Итак, приближенное решение уравнения (22.33) получено. Теперь нетруд­но вычислить поляризацию среды. Подставив (22.38), (22.42), (22.52) в (22.34),

(22.35) , получим

Р = Рл + Рнл, (22.55)

где

Рл = Ьрлеі{ші~~кр) + к. с., (22.56)

Рп — линейная поляризация,

РпЛ = іраеі<2"*-2Й') + ±Vo + К. с., (22.57)

Рыл — нелинейная поляризация, а величины РЛ: Vo, Vo определяются форму­лами

Рл = Nexл, V2 = Nex2, Vo = Nexo (22.58)

или, в силу (22.44), (22.54),

V„ = Nea{u))£,

а)

б)

2т

Рис. 22.11. Спектр возбуждающей световой волны (а) и спектр поляризации (б) в квадратично-нелинейной среде

где а{и>) — линейная поляризуемость атома, определяемая формулой (22.45).

Формулы (22.55)-(22.59) показывают, что поляризация рассматриваемой не­линейной среды содержит три спектральные компоненты: компоненту на ча­стоте возбуждающей световой волны (линейная поляризация), компоненту на частоте 2сд и постоянную составляющую (рис. 22.11). Компонента поляризации на частоте 2из ответственна за генерацию второй оптической гармоники.

Оптические восприимчивости. Линейная оптическая восприимчи­вость среды н{ш) вводится как коэффициент пропорциональности между ком­плексными амплитудами поля и поляризации на частоте ш:

ТЛ = х(ш)£. (22.60)

Введем квадратичную нелинейную восприимчивость среды на частоте второй гармоники (2ш), определив ее как коэффициент пропорциональности между

комплексной амплитудой поляризации среды на этой частоте V2 и квадратом комплексной амплитуды поля:

7>2 = Х[39]( 2ш)£2. (22.61)

Наконец, квадратичную нелинейную восприимчивость среды на нулевой часто­те (0) определим формулой

Vo = х(2)(0)|£|2- (22.62)

Из (22.59)-(22.62) следует, что

х(и>) = Nea(u;),

X(2)(2w) = --vNe q2M__________________________

, х V») 2 Uq — 4а>2 + 2г<дГ’ (22.63)

где

«И = — ~2--------------------------------------------------------- . р, (22.64)

тшл-ыЧ ги>Г

а(ш) — линейная оптическая поляризуемость атома.

Итак, мы вычислили линейную и нелинейные оптические восприимчивости для модельной нелинейной среды, представляющей собой ансамбль нелиней­ных классических осцилляторов. Полученные формулы (22.63) показывают, что нелинейная восприимчивость среды зависит, во-первых, от ангармонично­сти элементарного осциллятора, характеризуемой параметром 7, а во-вторых, от линейной поляризуемости атома а{и>). Поэтому нелинейные среды нуж­но искать, прежде всего, среди сред с большими показателями преломления (жидкости, кристаллы). Кроме того, из (22.63), (22.64) следует, что нелиней­ная восприимчивость среды возрастает в резонансных условиях, когда частота возбуждающей световой волны ш либо частота второй гармоники 2и> близка к собственной частоте колебаний элементарного осциллятора uiq.

Оптическое детектирование. Наш расчет показывает, что под действи­ем мощной световой волны в квадратично-нелинейной среде должна возникать постоянная поляризация, величина которой пропорциональна интенсивности света. Этот эффект называется оптическим детектированием или выпрямле­нием света. Постоянная поляризация, в свою очередь, приводит к появлению постоянного электрического поля в среде, которое может быть зарегистриро­вано и измерено.

На рис. 22.12 показана схема опыта по наблюдению оптического детектиро­вания в кристалле кварца. Световой пучок рубинового лазера пронизывает кри­сталл кварца, помещенный в электрический конденсатор. Вследствие эффекта детектирования световой импульс лазера возбуждает импульс электрического тока в цепи конденсатора. Заметим, что подобные опыты можно использовать для измерения квадратичной оптической нелинейности различных сред.